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高考数列问题的考查特点及变化规律
【高考命题规律】
年份
题号
题型
考查内容
思想方法
分值

2011 年
理：17
解答题
等比数列求通项、求前 n 项和
方程组思想
12 分
文：6
选择题
等差数列的基本公式
方程组思想
5 分
文：17
解答题
等比数列求通项、求前 n 项和
方程组思想
10 分

2012 年
理：5
选择题
等比数列的性质
方程组思想
5 分
理：16
填空题
数列的周期性
利用周期性求和
5 分
文：12
选择题
数列的周期性
利用周期性求和
5 分
文：14
填空题
等比数列前n 项和
方程思想
5 分

2013 年
理：7
选择题
等差数列前n 项和
方程思想
5 分
理：12
选择题
与三角形的综合应用判断数列
的增（减）性
特殊、比较
5 分
理：14
填空题
由an 与Sn 关系求 an
作差法
5 分
文：6
选择题
等比数列通项、前 n 项和
方程思想
5 分
文：17
解答题
等差数列通项、前 n 项和
方程组、列项相消
12 分

2014 年
理：17
解答题
由an 与Sn 关系判定及证明
作差法
12 分
文：17
解答题
等差数列通项 前 n 项和
及一元二次的解法，
乘公比错位相消
方程组
12 分

2015 年
理:17
解答题
由an 与Sn 关系求通项；前 n 项和
换元法，裂项相消
法
12 分
文:7
选择题
等差数列：基本量求某一项；
方程思想
5 分
文:13
填空题
等比数列：基本量求项数
方程思想
5 分
2016 年
理：3
选择题
等差数列，基本量求某一项
方程思想
5 分
理：15
填空题
等比数列，累积求最值
函数思想
5 分
文：17
解答题
等差数列通项公式，等比数列前
n 项和 Sn
赋值，利用公式
求和
12 分
2017 年
理：4
选择题
等差数列，基本量求公差
方程思想
5 分
理：12
选择题
数列分群问题
等比数列求和
5 分
文：17
解答题
等比数列求通项，判定等差
方程思想
12 分
2018 年
理：4
选择题
等差数列，基本量求公差
方程思想
5 分
理：14
选择题
由an 与Sn 关系求通项；前 n 项
作差法
5 分
文：17
解答题
定义判断等比数列
方程思想，
12分
2019年
理：9
选择题
等差数列通项、前 n 项和
方程思想
5 分
理：14
选择题
等比数列求通项、求前 n 项和
方程思想
5 分
文:14
填空题
等比数列：基本量求某一项
方程思想
5 分
文:18
解答题
等差数列通项，不等式
方程不等式思想
12分
全国卷中的数列与三角基本上是交替考查，难度不大，题目多为常规题．从 2011 年至 2019 年，全国Ⅰ卷理科试题共考查了 16道数列题，文科试题共考查了 13 道数列题，都是标准的等差或等比数列，主要考查等差或等比数列的定义、性质、通项、前 n 项和、某一项的值或某几项的和以及证明等差或等比数列等基础知识。
纵观全国Ⅰ卷的数列试题，我们可以发现，全国Ⅰ卷的数列题注重基础，强调双基，讲究解题的通性通法，从全国卷高考试题来看，本专题的热点题型有：
一是等差、等比数列的基本运算；
二是等差、等比数列的判定与证明；
三是数列的求和问题(以裂项求和为主)，难度中等．
但我们也注意到，2013年，2017年的12题是数列题，2019年的22题概率题与数列结合，并且是累和求通项，也应引起我们注意。下面我们看一下的热点题型。

高频热点一 等差等比数列的基本运算问题
【例1】　 (2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}通项公式；
(2)若T3＝21，求S3.
【思维启迪】等差、等比数列的基本运算主要涉及两个数列的通项与求和公式，求解的关键是充分借助方程思想，代入数列的通项或和求公式，求公差d(或公比q)及首项a1，进而写出通项或和．
【解析】[解]　设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.
由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①
(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②
联立①和②解得(舍去)，
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.
解得q＝－5或q＝4.
当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.
当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.
【思维升华】在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．
【通性通法】解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”．

高频热点二 等比等差数列的定义判断与证明
【例2】　(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
【思维启迪】等差(比)数列的判定与证明是高考中的常见题型之一，其基本方法是利用等差(比)数列定义，即证明an＋1－an＝常数.难度不大．
【解析】[解]　(1)证明：由题设知
anan＋1＝λSn－1，
an＋1an＋2＝λSn＋1－1，
两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，
由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.
所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，
因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．
【思维升华】该类问题常以递推关系为载体，求解的关键是依据题目信息重新构造递推关系，并结合等差(比)数列的定义给予相应的证明．

高频热点三 数列的通项求和问题
数列的通项与求和是高考的必考题型，求通项属于基本问题，常涉及等差、等比数列的定义、性质、基本量的运算；求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择适当的求和方法．常考的求和方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等
【例3】（2015年全国一17）Sn为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.
【思维启迪】（Ⅰ）用数列第n项与前n项和的关系求出数列{}的递推公式，判断数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式；（
Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{}的通项公式，再用裂项消去法求其前项和.

【例4】(2016·全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和，且①.记②，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.
(1)求b1，b11，b101；
(2)求③.
【思维启迪】①等差数列的求和公式；②等差数列的通项公式及对数的运算性质；③数列的常见求和方法．
【解析】[解](1)设{an}的公差为d，S7＝7a4＝28，
所以a4＝4，·所以d＝＝1，
所以an＝a1＋(n－1)d＝n. ·
所以b1＝[lg a1]＝[lg 1]＝0，
b11＝[lg a11]＝[lg 11]＝1，
b101＝[lg a101]＝[lg 101]＝2.
(2)记{bn}的前n项和为Tn，则
T1 000＝b1＋b2＋…＋b1 000＝[lg a1]＋[lg a2]＋…＋[lg a1 000]，
当0≤lg an＜1时，n＝1,2，…，9；·
当1≤lg an＜2时，n＝10，…，99；
当2≤lg an＜3时n＝100,…，999
当lg an＝3时，n＝1 000，
所以T1 000＝0×9＋1×90＋2×900＋3×1＝1 893. ·

【例5】　在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝，证明：数列{bn}为等比数列；
(3)求数列{nbn}的前n项和Tn

【思维升华】这几年全国一卷一直没有考成公比错位相减法，但今年考了累和求通项。也应该引起我们的注意。由于数列具有函数的性质，在高考中数列常与函数、不等式、向量、解析几何等综合命题，近年来由于对数列的要求有所降低，但在高考中仍有数列与其他知识综合的题目出现．归纳起来常见的题型有：
题型一 数列与函数问题

【例6】　已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N＋)均在函数y＝f(x)的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N＋都成立的最小正整数m.

【思维升华】数列与函数的综合一般体现在两个方面：
(1)以数列的特征量n，an，Sn等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；
(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．
练.如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2，再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn.记Pk点的坐标为(xk,0)(k＝1,2，…，n)．
(1)试求xk与xk－1的关系(2≤k≤n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋…＋|PnQn|.

题型二 数列与不等式问题

【例7】　已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋2＋Sn＝2Sn＋1＋1(n∈N＋)；数列{bn}中，b1＝a1，bn＋1＝4bn＋6(n∈N＋)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝bn＋2＋(－1)n－1λ·2an(λ为非零整数，n∈N＋)，试确定λ的值，使得对任意n∈N＋，都有cn＋1>cn成立．

【思维启迪】(1)先求an，再构造等比数列求bn；
(2)不等式cn＋1>cn恒成立，可以转化为求函数的最值问题．

【思维升华】数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为函数的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．
【通性通法】数列与不等式的综合问题常涉及不等式的证明、比较大小或关于项(和)的恒成立问题，解题时要善于根据题目类型选用作差(商)法、放缩法，或利用不等式的性质或基本不等式求解．
题型三 数列与解析几何的问题

【例8】　已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(，)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn}是等比数列；
(3)若cn＝an·bn，求证：cn＋1<cn

【思维升华】数列与解析几何的综合问题往往是以曲线方程为载体，建立起数列中的项与项或项与前n项和之间的关系，然后利用数列的有关知识求解

题型四 数列与概率问题

【例9】〖2019全国Ⅰ理〗为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．
为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X．
(1)求的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，，1，，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，2，，，其中，，．假设，．
证明：，1，2，，为等比数列；
求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．

题型五 数列的实际应用问题

【例10】(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________
【思维升华】解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，然后求解．