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中考数学有关二次函数大题
1、（2007天津市）知一抛物线与x轴的交点是、B（1，0），且经过点
C（2，8）。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标。

图1

2、（2007贵州省贵阳）二次函数的图象如
图1所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程的两个根．（2分）
（2）写出不等式的解集．（2分）
（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．（2分）
（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．（4分）

3、（2007河北省）如图2，已知二次函数的图像经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
x
y
O
3
 －9
－1
－1
A
B
图2
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．

4、（2008•茂名）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（0，﹣4）、B（x1，0）、C（x2，0）三点，且x2﹣x1=5．
（1）求b、c的值；
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形；若不存在，请说明理由．

图3

5、（2008•宁波）如图4，平行四边形ABCD中，AB=4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴上的点A，B．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．

图4

6、（2008•南充）如图5，已知平面直角坐标系xoy中，有一矩形纸片OABC，O为坐标原点，AB∥x轴，B（3，），现将纸片按如图折叠，AD，DE为折痕，∠OAD=30°．折叠后，点O落在点O1，点C落在线段AB点C1处，并且DO1与DC1在同一直线上．
（1）求折痕AD所在直线的解析式；
（2）求经过三点O，C1，C的抛物线的解析式；
（3）若⊙P的半径为R，圆心P在（2）的抛物线上运动，⊙P与两坐标轴都相切时，求⊙P半径R的值．

图5

7、（2007浙江省）如图6，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。

图6

8、（2007山东日照）容积率t是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比，即t=，为充分利用土地资源，更好地解决人们的住房需求，并适当的控制建筑物的高度，一般地容积率t不小于1且不大于8.一房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积M（m2）与容积率t的关系可近似地用如图（1）中的线段l来表示；1m2建筑面积上的资金投入Q（万元）与容积率t的关系可近似地用如图（2）中的一段抛物线段c来表示．

（Ⅰ）试求图（1）中线段l的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积；
（Ⅱ）求出图（2）中抛物线段c的函数关系式.

9、（2008•南昌）如图9，抛物线y1=﹣ax2﹣ax+1经过点P（﹣，），且与抛物线y2=ax2﹣ax﹣1相交于A，B两点．
（1）求a值；
（2）设y1=﹣ax2﹣ax+1与x轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），y2=ax2﹣ax﹣1与x轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边），观察M，N，E，F四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；
（3）设A，B两点的横坐标分别记为xA，xB，若在x轴上有一动点Q（x，0），且xA≤x≤xB，过Q作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值，其最大值为多少？

图9

10、（2008•梅州）如图10所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；
（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L；
（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使△PDB为等腰三角形的点P有几个？（不必求点P的坐标，只需说明理由）

图10

11、（2008•泸州）如图11，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），它的顶点为M，又正比例函数y=kx的图象于二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点．
（1）求该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；
（2）已知点E（2，3），且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围；
（3）0＜k＜2时，求四边形PCMB的面积s的最小值．
【参考公式：已知两点D（x1，y1），E（x2，y2），则线段DE的中点坐标为】

图11

12、（2008•宁德）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，点D在AC上，CD=3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），△DCQ的面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米．
（1）求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象；
（2）如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长；
（3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点0＜OG＜6，过G作EF垂直于x轴，分别交y1、y2的图象于点E、F．
①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；
②当0＜x＜6时，求线段EF长的最大值．

13、（2007四川成都）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；
y
x
1
1
O
（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围．

14、（2007四川）如图14，矩形A’BC’O’是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上)绕B点逆时针旋转得到的．O’点在x轴的正半轴上，B点的坐标为(1，3)．
(1)如果二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过O、O’两点且图象顶点M的纵坐标为
—1．求这个二次函数的解析式；
(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得ΔPOM为直角三角形?若存在，请求出P点的坐标和ΔPOM的面积；若不存在，请说明理由；
(3)求边C’O’所在直线的解析式

图14

1.（1）设这个抛物线的解析式为
由已知，抛物线过，B（1，0），C（2，8）三点，得
（3分）解这个方程组，得
∴ 所求抛物线的解析式为（6分）
（2）
∴ 该抛物线的顶点坐标为
2.（1）， （2） （3） （4）
3. （1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入得
解得 ∴二次函数的表达式为．
（2）对称轴为；顶点坐标为（2，-10）．
（3）将（m，m）代入，得 ，
解得．∵m＞0，∴不合题意，舍去．
∴ m=6．∵点P与点Q关于对称轴对称，∴点Q到x轴的距离为6．
4．
5. 解：（1）在平行四边形ABCD中，CD∥AB且CD=AB=4，∴点C的坐标为（4，8）
设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，则AH=BH=2，
∴点A，B的坐标为A（2，0），B（6，0）．

（2）由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（4，8），可设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2+8，（5分）把A（2，0）代入上式，解得a=﹣2．（6分）
设平移后抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣4）2+8+k，
把（0，8）代入上式得k=32，（7分）
∴平移后抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣4）2+40，（8分）即y=﹣2x2+16x+8．

6．（1）由已知得OA=，∠OAD=30度． ∴OD=OA•tan30°==1，
∴A（0，），D（1，0）
设直线AD的解析式为y=kx+b．把A，D坐标代入上式得：
， 解得：，折痕AD所在的直线的解析式是y=﹣x+．
（2）过C1作C1F⊥OC于点F，由已知得∠ADO=∠ADO1=60°，
∴∠C1DC=60°． 又∵DC=3﹣1=2，
∴DC1=DC=2．∴在Rt△C1DF中，C1F=DC1•sin∠C1DF=2×sin60°=．
则DF=DC1=1，∴C1（2，），而已知C（3，0）．
设经过三点O，C1，C的抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，（a≠0）．
把O，C1，C的坐标代入上式得：，
解得， ∴y=﹣x2+x为所求．
（3）设圆心P（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x．
由y=x，得﹣x2+x=x，解得x1=0（舍去），．
由y=﹣x，得﹣x2+x=﹣x解得x1=0（舍去），．
∴所求⊙P的半径R=3﹣或R=3+．
7、（1）令y=0，解得或（1分）
∴A（－1，0）B（3，0）；（1分）
将C点的横坐标x=2代入得y=－3，∴C（2，－3）（1分）
∴直线AC的函数解析式是y=－x－1
（2）设P点的横坐标为x（－1≤x≤2）（注：x的范围不写不扣分）
则P、E的坐标分别为：P（x，－x－1），（1分）
E（（1分）
∵P点在E点的上方，PE=（2分）
∴当时，PE的最大值=（1分）
（3）存在4个这样的点F，分别是
8．解：（Ⅰ）设线段l函数关系式为M=kt+b，由图象得
解之，得
∴线段l的函数关系式为M＝13000t+2000, 1≤t≤8.
由t=知，当t=1时，S用地面积=M建筑面积，
把t=1代入M＝13000t+2000中，得M=15000 m2.
即开发该小区的用地面积是15000 m2.
（Ⅱ）根据图象特征可设抛物线段c的函数关系式为Q＝a( t－4)2+k, 把点（4,0.09）, （1,0.18）代入，得 解之，得
∴抛物线段c的函数关系式为 Q＝( t－4)2+,即Q＝t2-t +, 1≤t≤8.
9、（1）∵点在抛物线
y1=﹣ax2﹣ax+1上，∴，（2分）解得．（3分）
（2）如图，由（1）知，∴抛物线，．（5分）
当时，解得x1=﹣2，x2=1．
∵点M在点N的左边 ∴xM=﹣2，xN=1．（6分）
当时，解得x3=﹣1，x4=2．
∵点E在点F的左边， ∴xE=﹣1，xF=2．（7分）
∵xM+xF=0，xN+xE=0， ∴点M与点F对称，点N与点E对称．（8分）

（3）∵． ∴抛物线y1开口向下，抛物线y2开口向上．（9分）
根据题意，得CD=y1﹣y2=．（11分）
∵xA≤x≤xB， ∴当x=0时，CD有最大值2．（12分）
10、解：（1）∵DC∥AB，AD=DC=CB，
∴∠CDB=∠CBD=∠DBA （5分）∠DAB=∠CBA，
∴∠DAB=2∠DBA，（1分）∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠DAB=60°（5分）∠DBA=30°，
∵AB=4，∴DC=AD=2，（2分）Rt△AOD，OA=1，OD=，AD=2．（5分）
∴A（﹣1，0），D（0，），C（2，）．（4分）
（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（﹣1，0），B（3，0），故可设所求为y=a（x+1）（x﹣3）（6分）
将点D（0，）的坐标代入上式得，a=．
所求抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），（7分）其对称轴L为直线x=1．（8分）
（3）△PDB为等腰三角形，有以下三种情况：
①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B，
△P1DB为等腰三角形；（9分）
②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3，△P2DB，△P3DB为等腰三角形；
③与②同理，L上也有两个点P4、P5，使得BD=BP4，BD=BP5．（10分）
由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使△PDB为等腰三角形的点P有5个．
11、（1）由y=ax2+bx+c，则得
，解得，
故函数解析式是：y=﹣x2+2x+3．
由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4知，点M（1，4）．
（2）由点E（2，3）在正比例函数y=kx的图象上得，3=2k，得k=，
故y=x， 由， 解得D点坐标为（），
由图象可知，当二次函数的函数值大于正比例函数时，自变量x的取值范围是﹣＜x＜2．
（3），
解得，点D、E坐标为D（）、
E（），
则点P坐标为P（）由0＜k＜2，知点P在第一象限．由点B（3，0），C（0，3），M（1，4），得S四边形COBM=，
则S四边形PCMB=，
整理，配方得S四边形PCMB=．
故当时，四边形PCMB的面积值最小，最小值是．
12、（1）∵S△DCQ=•CQ•CD，CD=3，CQ=x，∴y1=x．图象如图所示；
（2）S△PCQ=•CQ•CP，CP=8k﹣xk，CQ=x，
∴y2=×（8k﹣kx）•x=﹣kx2+4kx．
∵抛物线顶点坐标是（4，12），∴﹣k•42+4k•4=12．
解得k=． 则点P的速度每秒厘米，AC=12厘米；
（3）①观察图象，知线段的长EF=y2﹣y1，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ面积）．
②由（2）得y2=﹣x2+6x．∴EF=﹣x2+6x﹣x=﹣x2+x，
∵二次项系数小于0，∴在0＜x＜6范围，
当x=3时，EF=最大．

13、（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和，
由 解得此二次函数的表达式为 ．
14、