高考数学专题复习函数与方程思想教案.doc

专题三 函数与方程思想函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路和函数有必然联系的是方程，方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0通过方程进行研究，要确定变化过程的某些量，往往要转化为求出这些量满足的方程，希望通过方程（组）来求得这些量这就是方程的思想，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的中学数学问题中的很多条件经常是互相联系、互相制约，可表现为相应变量的互相联系、互相制约，这种变量的互相联系、互相制约常可用变量间的等量关系式或不等量关系式表示。这时，若将变量间的等量关系看成函数关系，则可以将等量关系式转化成函数解析式，这时妙用函数的有关性质（值域、与坐标轴交点情形等）就可解决问题；若将等量关系式看成关于某个未知量的方程，则利用解方程或考虑根的情形可求得变量；若可将变量间的不等量关系式看成关于某个未知量的不等式 ，则解这个不等式可求得这个变量的取值范围。因此我们在数学的教学中应注重培养下列两种意识。一、在解题中形成方程意识将所求的量（或与所求的量相关的量）设成未知数，用它表示问题中的其它各量，根据题中的等量关系，列出方程，通过解方程或对方程进行研究，以求得问题的解决。例：设点P内分有向线段MN，且,求点M分有向线段PN的比。分析：将转移成关于MP=PN的方程，设点M分有向线段PN的比为k,则PM=kMN,PM=k(MP+PN)(*)将 MP=PN带入（*）即可得k的值。同样也可求N点分有向线段PM的比。例：设双曲线的半焦距为C，直线L过（a，0）、（0，b）两点。已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为： （ ） A、2 B、 C、 D、该等量关系转换成等于a、b、c的关系等式，即可转换得关于未知量e的方程，解方程即得e的取值。二、在解题中形成函数意识在解题中，要对所给的问题观察、分析、判断并善于挖掘题目中的条件，构造出恰当的函数解析式、妙用函数的性质。例：对于满足0p4的一切实数，不等式x2px4xp3恒成立，试求x的取值范围一例，我们习惯上把x当作自变量，构造函数yx2(p4)x3p,于是问题转化为：当p0,4时，y0恒成立，求x的取值范围解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的如果把p看作自变量，x视为参数，构造函数y(x1)p(x24x3)，则y是p的一次函数，就非常简单即令 f(p)(x1)p(x24x3)函数f(p)的图象是一条线段，要使f(p)0恒成立，当且仅当f(0)0，且f(4)0，解这个不等式组即可求得x的取值范围是(,1)(3,)本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的目的。巩固练习（一）一、选择题1、不等式在区间内恒成立，则a的取值范围是 （ ）A B C D 2、方程lgxx3的解所在的区间为_。A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+)3、如果函数f(x)xbxc对于任意实数t，都有f(2t)f(2t)，那么_。A. f(2)f(1)f(4) B. f(1)f(2)f(4) C. f(2)f(4)f(1) D. f(4)f(2)f(1)4、已知函数yf(x)有反函数，则方程f(x)a (a是常数) _。A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 D.不同于以上结论5、已知sincos，(，)，则tan的值是_。A. B. C. D. 6、已知函数f(x)|21|，abf(c)f(b)，则_。A. a0,b0 B. a0,c0 C. 22 D. 220，S0，S13a78d13(122d)78d15652d0。 解得：d3。 Snan(n11)dn(122d)n(n1)dn(5)(5)因为d0，故n(5)最小时，S最大。由d3得6(5)6.5，故正整数n6时n(5)最小，所以S最大。18、【分析】 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。 P MA H B D C【解】 在PB上任取一点M，作MDAC于D，MHAB于H，设MHx，则MH平面ABC，ACHD 。MDx(2rx)sin(sin1)x4rsinx4rsin(sin1)x即当x时，MD取最小值为两异面直线的距离。19、【分析】先将方程化为含字母的一元二次方程，然后利用方程有惟一解的条件及解在0，3上的限制，将次问题解决解：原方程可化为，令，原方程有惟一解，即函数在所给的定义域内图象与x轴只有一个交点=0或者，得变式1：变式2：20、解：（1）当时，由题意知得，所以的两个不动点为（2）、恒有两个相异的不动点 即恒有两个相异的实数根得 （）恒成立 ，所以解得故当，恒有两个相异的不动点时（3）、由题意知A、B在直线上，设，点A、B关于直线对称，设AB的中点为是方程的两根的两根，于是，由点在直线上得，即，当且仅当，即时取等号，故，得最小值为21、（1）、（2）、N在直线上（3）、相切巩固练习（二）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设直线 axbyc0的倾斜角为，且sincos0，则a，b满足ABCD2设P是60的二面角l内一点，PA平面，PB平面，A、B为垂足，PA4，PB2，则AB的长为 A2 B2 C2 D43 若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是 A4005 B4006 C4007 D40084每个顶点的棱数均为三条的正多面体共有A2种 B3种 C4种 D5种5设函数，区间Ma，b(ag(a)g(b)成立的是Aab0Bab0Dab010ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边如果a、b、c成等差数列B30，ABC的面积为，那么bAB1CD2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在横线上11两个正数a、b的等差中项是5，等比中项是4若ab，则双曲线的离心率e等于 12若的展开式中常数项为20，则自然数n 13x0是x的方程axlogax(0a1)的解，则x0，1，a这三个数的大小关系是 14已知函数互为反函数，又的图象关于直线对称，若_ _;_ 15已知矩形的边平面现有以下五个数据： 当在边上存在点，使时，则可以取_（填上一个正确的数据序号即可）16、已知关于的方程有实数解，则实数的范围为_。三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知集合Ax|x2axa2190，集合Bx|log2(x25x8)1，集合Cx|m1，m0，|m|1满足AB， AC，求实数a的值18（本小题满分12分）有一组数据的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据 的算术平均值为11 （1）求出第一个数关于的表达式及第个数关于的表达式; （2）若都是正整数，试求第个数的最大值，并举出满足题目要求且取到最大值的一组数据19（本小题满分14分）某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A型商品定价为每件70元，年销售量为118万件第二年，商场开始对该商品征收比率为p%的管理费（即销售100元要征收p元），于是该商品的定价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件 （1）将第二年商场对该商品征收的管理费y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域； （2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p%的范围是多少？ （3）第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？20（本小题满分14分）已知二次函数f(x)ax2bx（a，b为常数，且a0）满足条件：f(x1)f(3x)且方程f(x)2x有等根 （1）求f(x)的解析式； （2）是否存在实数m，n（mn），使f(x)的定义域和值域分别为m，n和4m，4n，如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由21（本小题满分14分）设无穷等差数列an的前n项和为Sn （1）若首项，公差，求满足的正整数k； （2）求所有的无穷等差数列an，使得对于一切正整数k都有成立答案一、选择题（每小题5分，共50分）题号12345678910答案DCBAABCBAB二、填空题（每小题4分，共20分）(11) (12) 3； (13) 10或10(14) ；(15) 或 16、三、解答题（共80分）17解：由条件即可得B2，3，C4，2，由AB，AC，可知3A，2A将x3代入集合A的条件得：a23a100 a2或a5当a2时，Ax|x22x1505，3，符合已知条件当a5时，Ax|x25x602，3，不符合条件“AC”，故舍去综上得：a218解：（1） 依条件得：由得：，又由得：（2）由于是正整数，故 ，故当10时， ， 此时，19 解：（1）依题意，第二年该商品年销售量为（118p）万件，年销售收入为（118p）万元，则商场该年对该商品征收的总管理费为（118p）p%（万元） 故所求函数为:y（11810p）p 118p0及p0得定义域为0p （2）由y14，得（11810p）p14化简得p212p200，即（p2）（p10）0，解得2p10故当比率在2%，10%内时，商场收取的管理费将不少于14万元 （3）第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时，厂家的销售收入为g（p）（118p）（2p10） g（p）（118p）700（10）为减函数，g（p）maxg（2）700（万元）故当比率为2%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元 20解：(1)方程ax2bx2x0有等根，(b2)20，得b2由f(x1)f(3x)知此函数图像的对称轴方程为x1，得a1，故f(x)x22x(2)f(x)(x1)211，4n1，即n而抛物线yx22x的对称轴为x1，当n时，f(x)在m，n上为增函数若满足题设条件的m，n存在，则即又mnm2，n0，这时，定义域为2，0，值域为8，0由以上知满足条件的m，n存在，m2，n021 解：（1）当时， 由，即 又（2）设数列an的公差为d，则在中分别取k1，2，得（1）（2）由（1）得 当若成立若 故所得数列不符合题意当若若综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：an : an0，即0，0，0，；an : an1，即1，1，1，；an : an2n1，即1，3，5，第 12 页 共 12 页