高考数学专题复习函数与方程思想教案.doc

专题三 函数与方程思想
函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决．这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路．
　　和函数有必然联系的是方程，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究，要确定变化过程的某些量，往往要转化为求出这些量满足的方程，希望通过方程（组）来求得这些量．这就是方程的思想，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．
就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的．
中学数学问题中的很多条件经常是互相联系、互相制约，可表现为相应变量的互相联系、互相制约，这种变量的互相联系、互相制约常可用变量间的等量关系式或不等量关系式表示。
这时，若将变量间的等量关系看成函数关系，则可以将等量关系式转化成函数解析式，这时妙用函数的有关性质（值域、与坐标轴交点情形等）就可解决问题；若将等量关系式看成关于某个未知量的方程，则利用解方程或考虑根的情形可求得变量；若可将变量间的不等量关系式看成关于某个未知量的不等式 ，则解这个不等式可求得这个变量的取值范围。因此我们在数学的教学中应注重培养下列两种意识。
一、在解题中形成方程意识
将所求的量（或与所求的量相关的量）设成未知数，用它表示问题中的其它各量，根据题中的等量关系，列出方程，通过解方程或对方程进行研究，以求得问题的解决。
例：设点P内分有向线段MN，且,求点M分有向线段PN的比。
分析：将转移成关于MP=PN的方程，设点M分有向线段PN的比为k,则PM=kMN,PM=k(MP+PN)(*)将 MP=PN带入（*）即可得k的值。同样也可求N点分有向线段PM的比。
例：设双曲线的半焦距为C，直线L过（a，0）、（0，b）两点。已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为： （ ）
A、2 B、 C、 D、
该等量关系转换成等于a、b、c的关系等式，即可转换得关于未知量e的方程，解方程即得e的取值。
二、在解题中形成函数意识
在解题中，要对所给的问题观察、分析、判断并善于挖掘题目中的条件，构造出恰当的函数解析式、妙用函数的性质。
例：对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围一例，我们习惯上把x当作自变量，构造函数y＝x2＋(p－4)x＋3－p,于是问题转化为：当p∈[0,4]时，y＞0恒成立，求x的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的．
如果把p看作自变量，x视为参数，构造函数y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)，则y是p的一次函数，就非常简单．即令  f(p)＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)．函数f(p)的图象是一条线段，要使f(p)＞0恒成立，当且仅当f(0)＞0，且f(4)＞0，解这个不等式组即可求得x的取值范围是(－∞,－1)∪(3,＋∞)．本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的目的。
巩固练习（一）
一、选择题
1、不等式在区间内恒成立，则a的取值范围是 （ ）
A B C D
2、方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)
3、如果函数f(x)＝x＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。
A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4)
C. f(2)<f(4)<f(1) D. f(4)<f(2)<f(1)
4、已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a (a是常数) ______。
A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根
C.至少一个实根 D.不同于以上结论
5、已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(，π)，则tanθ的值是_____。
A. － B. － C. D.
6、已知函数f(x)＝|2－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则_____。
A. a<0,b<0,c>0 B. a<0,b>0,c>0
C. 2<2 D. 2＋2<2
7、已知函数f(x)＝log(x－4x＋8)， x∈[0,2]的最大值为－2，
则a＝_____。
A. B. C. 2 D. 4
8、是等差数列前项和，且，，使取得最小值的值为 （ B ）
A 6 B 7 C 8 D 7或8
9、若，则的取值范围 （ B ）
A B C D
10、若不等式的解集为R，则的取值范围是 （ D ）
A B C D 或
二、填空题
11、已知等差数列的前n项和为S，且S＝S (p≠q，p、q∈N)，
则S ＝_________。
12、关于x的方程sinx＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。
13、关于的不等式的解集是，则实数的值为__________。
14、设函数的值域为，则
15、对于满足的所有实数，使不等式都成立的的取值范围是___________________。
变式：设，且在区间上变动时，恒取正值，则的取值范围是_____________________。
16、设，当时，恒成立，则实数的取值范围是______。
变式1：当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_________。
变式2：关于的不等式，当时恒成立，则实数的取值范围是___________________。
三、解答题
17、设等差数列{a}的前n项的和为S，已知a＝12，S>0，S<0 。
①. 求公差d的取值范围； ②.指出S、S、…、S中哪一个值最大，并说明理由。

18、如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。

P

M
A H B
D C
。

19、方程在上有唯一解，求的取值范围

变题1：已知满足不等式的整数解只有1，求实数的取值范围

变题2：关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围

20、对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点，已知函数
（1）、当时，求函数的不动点
（2）、若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围
（3）、在问题（2）的条件下，若图象上A、B两点的横坐标是函数的不动点。且A、B两点关于直线对称，求的最小值。

21、已知动点M到点的距离比它到直线的距离小
（1）、求动点M的轨迹方程
（2）、已知A、B、C为（1）中轨迹上三个不同的点
①、若（A、B异于原点O），求证：直线OB与过点A且与轴垂直的直线的交点N在一条定直线上
②、若AB和AC都与圆相切，试判断直线BC与此圆的位置关系，并证明你的结论。

答案
一、选择题

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
B
A
B
A
B
B
D
二、填空题
11、0 12、 13、 14、
15、 （变）
16、 （变1） （变2）
三、解答题
17、【分析】 ①问利用公式a与S建立不等式，容易求解d的范围；②问利用S是n的二次函数，将S中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时S取最大值的函数最值问题。
【解】① 由a＝a＋2d＝12,得到a＝12－2d，所以
S＝12a＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0，
S＝13a＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0。
解得：－<d<－3。
② S＝na＋n(n1－1)d＝n(12－2d)＋n(n－1)d
＝[n－(5－)]－[(5－)]
因为d<0，故[n－(5－)]最小时，S最大。由－<d<－3得6<(5－)<6.5，故正整数n＝6时[n－(5－)]最小，所以S最大。
18、【分析】 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。
P

M
A H B
D C
【解】 在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，
设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。
∴MD＝x＋[(2r－x)sinθ]＝(sin＋1)x－4rsinθx＋4rsinθ
＝(sinθ＋1)[x－]＋
即当x＝时，MD取最小值为两异面直线的距离。
19、【分析】先将方程化为含字母的一元二次方程，然后利用方程有惟一解的条件及解在
[0，3上的限制，将次问题解决
解：原方程可化为，令，
原方程有惟一解，即函数在所给的定义域内图象与x轴只有一个交点
△=0或者，得
变式1：
变式2：
20、解：（1）当时，由题意知得
，所以的两个不动点为
（2）、恒有两个相异的不动点
即恒有两个相异的实数根
得△ （）恒成立 ，所以△解得
故当，恒有两个相异的不动点时
（3）、由题意知A、B在直线上，设，
点A、B关于直线对称，
设AB的中点为
是方程的两根的两根，
于是，由点在直线上得，
即，，当且仅当，即时取等号，故，得最小值为
21、（1）、
（2）、N在直线上
（3）、相切

巩固练习（二）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．设直线 ax＋by＋c＝0的倾斜角为，且sin＋cos＝0，则a，b满足
A． B． C． D．
2．设P是60°的二面角α－l－β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A、B为垂足，PA＝4，PB＝2，则AB的长为
A．2 B．2 C．2 D．4
3． 若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是
A．4005 B．4006 C．4007 D．4008
4．每个顶点的棱数均为三条的正多面体共有
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
5．设函数，区间M＝[a，b](a<b)，集合N＝{}，则使M＝N成立的实数对(a，b)有
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数多个
6．设是函数的反函数，若，则的值为
A．1 B．2 C．3 D．
7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为
A．90° B．60° C．45° D．30°
8．若函数f(x)＝(1－m)x2－2mx－5是偶函数，则f(x)
A．先增后减 B．先减后增 C．单调递增 D．单调递减
9．定义在(－∞，＋∞)上的奇函数f(x)和偶函数g(x)在区间(－∞，0上的图像关于x轴对称，且f(x)为增函数，则下列各选项中能使不等式f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)成立的是
A．a>b>0 B．a<b<0 C．ab>0 D．ab<0
10．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．如果a、b、c成等差数列∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b＝
A． B．1＋ C． D．2＋

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在横线上．
11．两个正数a、b的等差中项是5，等比中项是4．若a＞b，则双曲线的离心率e等于 ．
12．若的展开式中常数项为－20，则自然数n＝ ．
13．x0是x的方程ax＝logax(0<a<1)的解，则x0，1，a这三个数的大小关系是 ．
14．已知函数互为反函数，又的图象关于直线对称，若__ _;　　_______ ．
15．已知矩形的边平面现有以下五个数据：
当在边上存在点，使时，则可以取_____________．（填上一个正确的数据序号即可）
16、已知关于的方程有实数解，则实数的范围为_________。

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，集合B＝{x|log2(x2－5x＋8)＝1}，集合C＝{x|m＝1，m≠0，|m|≠1}满足A∩B， A∩C＝，求实数a的值．

18．（本小题满分12分）
有一组数据的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据 的算术平均值为11．
（1）求出第一个数关于的表达式及第个数关于的表达式;
（2）若都是正整数，试求第个数的最大值，并举出满足题目要求且取到最大值的一组数据．

19．（本小题满分14分）
某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售．第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A型商品定价为每件70元，年销售量为11．8万件．第二年，商场开始对该商品征收比率为p%的管理费（即销售100元要征收p元），于是该商品的定价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．
（1）将第二年商场对该商品征收的管理费y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p%的范围是多少？
（3）第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？

20．（本小题满分14分）
已知二次函数f(x)＝ax2＋bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：
f(x－1)＝f(3－x)且方程f(x)＝2x有等根．
（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在实数m，n（m<n），使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]，如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由．

21．（本小题满分14分）
设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．
（1）若首项，公差，求满足的正整数k；
（2）求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有成立．

答案
一、选择题（每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
A
A
B
C
B
A
B
二、填空题（每小题4分，共20分）
(11) (12)． 3； (13)． 10或10(14)． ；
(15)． ①或② 16、
三、解答题（共80分）
17．解：由条件即可得B＝{2，3}，C＝{－4，2}，
由A∩B，A∩C＝，可知3∈A，2A．
将x＝3代入集合A的条件得：a2－3a－10＝0 ∴a＝－2或a＝5
当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{－5，3}，符合已知条件．
当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，不符合条件“A∩C”＝，故舍去．
综上得：a＝－2．
18．解：（1） 依条件得：由得：，又由得：
（2）由于是正整数，故 ，，故当＝10时， ，，， 此时，，，，，，，，．
19． 解：（1）依题意，第二年该商品年销售量为（11．8－p）万件，
年销售收入为（11．8－p）万元，
则商场该年对该商品征收的总管理费为（11．8－p）p%（万元）．
故所求函数为:y＝（118－10p）p．
11．8－p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜．
（2）由y≥14，得（118－10p）p≥14．
化简得p2－12p＋20≤0，即（p－2）（p－10）≤0，解得2≤p≤10．
故当比率在［2%，10%］内时，商场收取的管理费将不少于14万元．
（3）第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时，
厂家的销售收入为g（p）＝（11．8－p）（2≤p≤10）．
∵g（p）＝（11．8－p）＝700（10＋）为减函数，
∴g（p）max＝g（2）＝700（万元）．
故当比率为2%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元．

20．解：(1)∵方程ax2＋bx－2x＝0有等根，∴△＝(b－2)2＝0，得b＝2．
由f(x－1)＝f(3－x)知此函数图像的对称轴方程为x＝－＝1，得a＝－1，
故f(x)＝－x2＋2x．
(2)∵f(x)＝－(x－1)2＋1≤1，∴4n≤1，即n≤．
而抛物线y＝－x2＋2x的对称轴为x＝1，∴当n≤时，f(x)在[m，n]上为增函数．
若满足题设条件的m，n存在，则
即又m<n≤．
∴m＝－2，n＝0，这时，定义域为[－2，0]，值域为[－8，0]．
由以上知满足条件的m，n存在，m＝－2，n＝0．
21． 解：（1）当时，
由，
即 又．
（2）设数列{an}的公差为d，则在中分别取k＝1，2，得
（1）
（2）

由（1）得
当
若成立
若
故所得数列不符合题意．
当
若
若．
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：
①{an} : an＝0，即0，0，0，…；
②{an} : an＝1，即1，1，1，…；
③{an} : an＝2n－1，即1，3，5，…，

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