2025届河南省唐河县友兰实验高中高一下数学期末统考试题含解析.doc

2025届河南省唐河县友兰实验高中高一下数学期末统考试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在的二面角内，放置一个半径为3的球，该球切二面角的两个半平面于A，B两点，那么这两个切点在球面上的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，那么下列式子：①；②；③；④；其中恒成立的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
3．是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）

A．这天中有天空气质量为一级 B．这天中日均值最高的是11月5日
C．从日到日，日均值逐渐降低 D．这天的日均值的中位数是
4．已知在等差数列中，的等差中项为，的等差中项为,则数列的通项公式（ ）
A． B．-1 C．+1 D．-3
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=
A．6 B．5 C．4 D．3
6．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是（），为预测人口数，为初期人口数，为预测期内年增长率，为预测期间隔年数．如果在某一时期有，那么在这期间人口数
A．呈下降趋势 B．呈上升趋势 C．摆动变化 D．不变
7．在等差数列中，，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
8．下列函数中最小正周期为的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．小于的角是锐角 B．钝角是第二象限的角
C．第二象限的角大于第一象限的角 D．若角与角的终边相同，则
10．已知点是直线上一动点，与是圆的两条切线，为切点，则四边形的最小面积为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数的部分图象如图所示，则的值为_________.

12．半径为的圆上，弧长为的弧所对圆心角的弧度数为________．
13．平面⊥平面,,，，直线，则直线与的位置关系是___．
14．已知数列满足，（），则________.
15．关于的不等式，对于恒成立，则实数的取值范围为_______.
16．方程的解集是____________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．为了解学生的学习情况，某学校在一次考试中随机抽取了20名学生的成绩，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，绘制了如图所示频率分布直方图.求：

(Ⅰ)图中m的值；
(II)估计全年级本次考试的平均分；
(III)若从样本中随机抽取分数在[80，100]的学生两名，求所抽取两人至少有一人分数不低于90分的概率.
18．已知：（，为常数）．
（1）若，求的最小正周期；
（2）若在，上最大值与最小值之和为3，求的值．
19．设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
20．如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
21．半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．
根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；
用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在中的概率．

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据题意，作出截面图，计算弧长即可.
【详解】
根据题意，作出该球过球心且经过A、B的截面图如下所示：

由题可知：
则，
故满足题意的最短距离为弧长BA，
在该弧所在的扇形中，弧长.
故选：A.
本题考查弧长的计算公式，二面角的定义，属综合基础题.
2、A
【解析】
根据正弦函数的周期性及对称性，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】
由，得，所以的最小正周期为，即，故①正确；
由，令，得的对称轴为，所以是的对称轴，不是的对称轴，故②正确，③不正确；
由，令，得的对称中心为，所以不是的对称中心，故④不正确.
故选：A
本题主要考查正弦函数的周期性以及对称性.
3、D
【解析】
由折线图逐一判断各选项即可.
【详解】
由图易知：第3,8,9,10天空气质量为一级，故A正确，11月5日日均值为82，显然最大，故B正确，从日到日，日均值分别为：82,73,58,34,30，逐渐降到，故C正确，中位数是，所以D不正确，故选D.
本题考查了频数折线图，考查读图，识图，用图的能力，考查中位数的概念，属于基础题.
4、D
【解析】
试题分析：由于数列是等差数列，所以的等差中项是，故有，又有的等差中项是，所以，从而等差数列的公差，因此其通项公式为，故选Ｄ．
考点：等差数列．
5、A
【解析】
利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.
【详解】
详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得
，故选A．
本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．
6、A
【解析】
可以通过与之间的大小关系进行判断．
【详解】
当时，，
所以，呈下降趋势．
判断变化率可以通过比较初始值与变化之后的数值之间的大小来判断．
7、C
【解析】
直接利用等差数列公式解方程组得到答案.
【详解】

故答案选C
本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题型.
8、C
【解析】
对A选项，对赋值，即可判断其最小正周期不是；利用三角函数的周期公式即可判断B、D的最小正周期不是，问题得解.
【详解】
对A选项，令，则
，不满足，
所以不是以为周期的函数，其最小正周期不为；
对B选项，的最小正周期为：；
对D选项，的最小正周期为：；排除A、B、D
故选C
本题主要考查了三角函数的周期公式及周期函数的定义，还考查了赋值法，属于基础题．
9、B
【解析】
可通过举例的方式验证选项的对错.
【详解】
A：负角不是锐角，比如“”的角，故错误；
B：钝角范围是“”，是第二象限的角，故正确；
C：第二象限角取“”，第一象限角取“”，故错误；
D：当角与角的终边相同，则.
故选B.
本题考查任意角的概念，难度较易.
10、A
【解析】
利用当与直线垂直时，取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出的最小值，然后利用勾股定理计算出、的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形面积的最小值．
【详解】
如下图所示：

由切线的性质可知，，，且，
，
当取最小值时，、也取得最小值，
显然当与直线垂直时，取最小值，且该最小值为点到直线
的距离，即，
此时，，
四边形面积的最小值为，故选A.
本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算以及四边形的面积，本题在求解切线长的最小值时，要抓住以下两点：
（1）计算切线长应利用勾股定理，即以点到圆心的距离为斜边，切线长与半径为两直角边；
（2）切线长取最小值时，点到圆心的距离也取到最小值．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据图像可得，根据0所在位置，处于函数的单调减区间，即可得解.
【详解】
由图可得：，或
由于0在函数的单调减区间内，
所以.
故答案为：
此题考查根据三角函数的图象求参数的取值，常用代入法求解，判定初相的取值时，根据图象结合单调性取值.
12、
【解析】
根据弧长公式即可求解.
【详解】
由弧长公式可得

故答案为：
本题主要考查了弧长公式的应用，属于基础题.
13、
【解析】
利用面面垂直的性质定理得到平面，又直线，利用线面垂直性质定理得.
【详解】
在长方体中，设平面为平面，平面为平面，
直线为直线，由于，，由面面垂直的性质定理可得：平面，
因为，由线面垂直的性质定理，可得.

空间中点、线、面的位置关系问题，一般是利用线面平行或垂直的判定定理或性质定理进行求解.
14、31
【解析】
根据数列的首项及递推公式依次求出、、……即可.
【详解】
解：，

故答案为：
本题考查利用递推公式求出数列的项，属于基础题.
15、或
【解析】
利用换元法令，则对任意的恒成立，再对分两种情况讨论，令求出函数的最小值，即可得答案.
【详解】
令，则对任意的恒成立，
（1）当，即时，上式显然成立；
（2）当，即时，
令
①当时，，显然不成立，故不成立；
②当时，，
∴解得：
综上所述：或.
故答案为：或.
本题考查含绝对值函数的最值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意分段函数的最值求解.
16、
【解析】
由方程可得或，然后分别解出规定范围内的解即可.
【详解】
因为
所以或
由得或
因为，所以
由得
因为，所以
综上：解集是
故答案为：
方程的等价转化为或，不要把遗漏了.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (I)0.045; (II)75;(III)0.7
【解析】
(Ⅰ)根据频率之和为1，结合题中数据，即可求出结果；
(II)每组的中间值乘以该组频率，再求和，即可得出结果；
(III)用列举法列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求的概率.
【详解】
(Ⅰ)由题意可得：
(Ⅱ)各组的频率分别为0.05，0.25，0.45，0.15，0.1，所以可估计全年级的平均分为；
(Ⅲ)分数落在[80，90)的人数有3人，设为a，b，c，落在[90，100的人数有2人，设为A、B，则从中随机抽取两名的结果有{ab}，(ac}，{a4}，(aB}，{bc}，(bA}，(bB)，{cA}，{cB)，{AB}共10种，其中至少有一人不低于90分的有7种，故概率为0.7.
本题主要考查由频率分布直方图求参数，以及求均值的问题，同时考查古典概型的问题，熟记古典概型的概率公式，以及均值的求法即可，属于常考题型.
18、（1）；（2）1
【解析】
（1）利用二倍角和辅助角公式化简，即可求出最小正周期；
（2）根据在，上，求解内层函数范围，即可求解最值，由最大值与最小值之和为3，求的值．
【详解】
解：

，
（1）的最小正周期；
（2），，
当时，即，取得最小值为，
当时，即，取得最大值为，
最大值与最小值之和为3，，，
故的值为1．
本题主要考查三角函数的性质和图象的应用，属于基础题．
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式；
(Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.
【详解】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，
因为成等比数列，所以，
即，解得，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
所以；
当或者时，取到最小值.
等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
20、（1）24；（2）8
【解析】
（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长．
（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．
【详解】
(1) 在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°
由正弦定理得

(2) 在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°，解得CD=．
所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile．
点睛：解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
21、（1）（2）
【解析】
⑴用频率分布直方图中的每一组数据的平均数乘以对应的概率并求和即可得出结果；
⑵首先可通过分层抽样确定6人中在分数段以及分数段中的人数，然后分别写出所有的基本事件以及满足题意中“两名同学数学成绩均在中”的基本事件，最后两者相除，即可得出结果．
【详解】
⑴由频率分布表，估计这50名同学的数学平均成绩为：
；
⑵由频率分布直方图可知分数低于115分的同学有人，
则用分层抽样抽取6人中，分数在有1人，用a表示，
分数在中的有5人，用、、、、表示，
则基本事件有、、、、、、、、
、、、、、、，共15个，
满足条件的基本事件为、、、、、、、、、，共10个，
所以这两名同学分数均在中的概率为．
本题考查了频率分布直方图以及古典概型的相关性质，解决本题的关键是对频率分布直方图的理解以及对古典概型概率的计算公式的使用，考查推理能力，是简单题．