2025届江西省靖安中学数学高一第二学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025届江西省靖安中学数学高一第二学期期末质量跟踪监视试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是( )
A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C
2．已知圆，由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B．2 C． D．
3．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A． B． C． D．
4．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（ ）
A． B． C． D．
5．在边长为1的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E为线段AC上一动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．命题“”的否定是（ ）
A．, B．,
C．, D．,
7．一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体是（ ）
A．两个共底面的圆锥 B．半圆锥 C．圆锥 D．圆柱
8．某班现有60名学生，随机编号为0，1，2，…，59.依编号顺序平均分成10组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第7组中随机抽取的号码为（ ）
A．41 B．42 C．43 D．44
9．记为等差数列的前n项和．已知，则
A． B． C． D．
10．是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）

A．这天中有天空气质量为一级 B．这天中日均值最高的是11月5日
C．从日到日，日均值逐渐降低 D．这天的日均值的中位数是
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知关于的不等式的解集为，则__________．
12．已知一扇形的半径为，弧长为，则该扇形的圆心角大小为______.
13．已知数列中，其前项和为，，则_____.
14．设函数的部分图象如图所示，则的表达式______．

15．在中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为______.
16．把一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，两次都是正面向上的概率为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=6，点E为AB的中点，点D、F在边BC、AC上，且，，EF交AD于点P.

(Ⅰ)若∠BAC=，求与所成角的余弦值；
(Ⅱ)求的值.
18．已知向量，，且
（1）求·及；
（2）若，求的最小值
19．高二数学期中测试中，为了了解学生的考试情况，从中抽取了个学生的成绩（满分为100分）进行统计.按照[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出得分在[50,60), [90,100]的数据）.

(1)求样本容量和频率分布直方图中的值；
(2)在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名参加志愿者活动，所抽取的3名同学中至少有一名成绩在[90,100]内的概率．.
20．数列中，，（为常数，1，2，3，…），且.
（1）求c的值；
（2）求证：①；②；
（3）比较++…+与的大小，并加以证明.
21．已知函数.
（1）若，求函数的值；
（2）求函数的值域.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由集合A，B，C，求出B与C的并集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可．
【详解】
由题BA，
∵A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，
∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即BC，
则B不一定等于A∩C，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等，
故选：B．
此题考查了集合间的基本关系及运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键，是易错题
2、A
【解析】
将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求处切线长的最小值，即可得到答案．
【详解】
将圆化为标准方程，得，
所以圆心坐标为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
所以切线长的最小值为，故选A．
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及数形结合思想的应用，属于基础题．
3、B
【解析】
首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.
【详解】
由三点共线，从而得到，
因为，
解得，即，
所以，故选B.
该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.
4、A
【解析】
设甲到达时刻为，乙到达时刻为，依题意列不等式组为，画出可行域如下图阴影部分，故概率为.

5、B
【解析】
由题意，以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，得到，，以及直线的方程，设出点E坐标，根据向量数量积，直接计算，即可得出结果.
【详解】
如图，以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，因为等边三角形的边长为1，所以，，，，
则直线的方程为，整理得，
因为E为线段AC上一动点，设，，
则，，
所以，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，最大值为.
即的取值范围为.
故选B

本题主要考查平面向量的数量积，利用建立坐标系的方法求解即可，属于常考题型.
6、B
【解析】
含有一个量词的命题的否定，注意“改量词，否结论”.
【详解】
改为，改成，则有：.
故选：B.
本题考查含一个量词的命题的否定，难度较易.
7、C
【解析】
根据旋转体的知识，结合等腰三角形的几何特征，得出正确的选项.
【详解】
由于等腰三角形三线合一，故等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体是圆锥.故选C.
本小题主要考查旋转体的知识，考查等腰三角形的几何特征，属于基础题.
8、A
【解析】
由系统抽样．先确定分组间隔，然后编号成等差数列来求所抽取号码．
【详解】
由题知分组间隔为以，又第1组中抽取的号码为5，所以第7组中抽取的号码为.
故选：A.
本题考查系统抽样，掌握系统抽样的概念与方法是解题基础．
9、A
【解析】
等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．
【详解】
由题知，，解得，∴，故选A．
本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
10、D
【解析】
由折线图逐一判断各选项即可.
【详解】
由图易知：第3,8,9,10天空气质量为一级，故A正确，11月5日日均值为82，显然最大，故B正确，从日到日，日均值分别为：82,73,58,34,30，逐渐降到，故C正确，中位数是，所以D不正确，故选D.
本题考查了频数折线图，考查读图，识图，用图的能力，考查中位数的概念，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、-2
【解析】
为方程两根,因此
12、
【解析】
利用扇形的弧长除以半径可得出该扇形圆心角的弧度数.
【详解】
由扇形的弧长、半径以及圆心角之间的关系可知，该扇形的圆心角大小为.
故答案为：.
本题考查扇形圆心角的计算，解题时要熟悉扇形的弧长、半径以及圆心角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
13、1
【解析】
本题主要考查了已知数列的通项式求前和，根据题目分奇数项和偶数项直接求即可。
【详解】
，
则
．
故答案为：1．
本题主要考查了给出数列的通项式求前项和以及极限。求数列的前常用的方法有错位相减、分组求和、裂项相消等。本题主要利用了分组求和的方法。属于基础题。
14、
【解析】
根据图象的最高点得到，由图象得到，故得，然后通过代入最高点的坐标或运用“五点法”得到，进而可得函数的解析式．
【详解】
由图象可得，
∴，
∴，
∴．
又点在函数的图象上，
∴，
∴，
∴．
又，
∴．
∴．
故答案为．
已知图象确定函数解析式的方法
（1）由图象直接得到，即最高点的纵坐标．
（2）由图象得到函数的周期，进而得到的值．
（3）的确定方法有两种．
①运用代点法求解，通过把图象的最高点或最低点的坐标代入函数的解析式求出的值；
②运用“五点法”求解，即由函数最开始与轴的交点(最靠近原点)的横坐标为(即令，)确定．
15、
【解析】
在中，延长交于，由重心的性质，找到、和的关系，在和中利用余弦定理分别表示出和，求出，再利用余弦定理表示出，利用基本不等式和的范围求解即可.
【详解】
画出，连接，并延长交于，
因为是的重心，所以为中点，
因为，所以，
由重心的性质，，
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得
，
因为，所以，
又，
所以，
在中，由余弦定理和基本不等式，
，
又，所以，
故.

故答案为：
本题主要考查三角形重心的性质、余弦定理解三角形和基本不等式求最值，考查学生的分析转化能力，属于中档题.
16、
【解析】
把一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，利用列举法求出基本事件有4个，由此能求出两次都是正面向上的概率．
【详解】
把一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，
基本事件有4个，分别为：正正，正反，反正，反反，
两次都是正面向上的概率为．
故答案为：．
本题考查古典概型的概率计算，求解时注意列举法的应用，即列举出所有等可能结果.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)以AC所在直线为x轴，过B且垂直于AC的直线于AC的直线为y轴建系,得到，，，，再由向量数量积的坐标表示，即可得出结果；
(Ⅱ)先由A、P、D三点共线，得到，再由平面向量的基本定理，列出方程组，即可求出结果.
【详解】
(Ⅰ)以AC所在直线为x轴，过B且垂直于AC的直线于AC的直线为y轴建系如图，
则，，，，

∴，
∴
(Ⅱ)∵A、P、D三点共线，可设
同理，可设
由平面向量基本定理可得，解得
∴，.
本题主要考查平面向量的夹角运算，以及平面向量的应用，熟记向量的数量积运算，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型.
18、（1）见解析；
（2）.
【解析】
（1）运用向量数量积的坐标表示，求出·；
运用平面向量的坐标运算公式求出，然后求出模．
（2）根据上（1）求出函数的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．
【详解】
（1）

∵∴∴
（2）
∵∴∴
本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．
19、 (1)40,0.025,0.005 (2)
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，100）内的学生有6人，分数在[90，100]内的学生有2人，结合古典概型概率公式和对立事件概率公式可求得至少有一名成绩在[90,100]内的概率
试题解析：（1）由题意可知，样本容量，，
.……………………………6分
（2）由题意，分数在内的有4人，分数在内的有2人，成绩是分以上（含分）的学生共6人.从而抽取的名同学中得分在的学生人数的所有可能的取值为.
，所以所求概率为
考点：频率分布直方图；茎叶图
20、 (1)；(2) ①见证明；②见证明；(3)++…+，证明见解析
【解析】
（1）将代入，结合可求出的值；（2）可知，，即可证明结论；（3）由题意可得，从而可得到，求和可得，然后作差，通过讨论可比较二者大小.
【详解】
（1）由题意：，.
而，得，即，
解得或，
因为，所以满足题意.
（2）因为，
所以.
则.
，
因为，，所以，
所以.
（3）由，可得，
从而，所以.
因为，所以，
所以
.
，，，,
当n=1时，,故；
当n=2时，，；
当n≥3时，，则，.
本题主要考查了数列的递推关系式和数列的求和，考查了不等式的证明，考查了学生的逻辑推理能力与计算能力，属于难题.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）,
.
（2）由（1）,
,
∴函数的值域为[1，2].