2025届贵州省毕节市实验高级中学高一数学第二学期期末经典试题含解析.doc

2025届贵州省毕节市实验高级中学高一数学第二学期期末经典试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．的值等于( )
A． B．－ C． D．－
2．若，，表示三条不重合的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题中，正确的个数是（ ）
①若，，则 ②，，，则
③若，，则 ④若，，则
A．0 B．1 C．2 D．3
3．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
4．在中，角所对的边分别为，已知下列条件，只有一个解的是( )
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．一个长方体共一顶点的三条棱长分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )
A．12π B．18π C．36π D．6π
6．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
8．如图，已知四面体为正四面体，分别是中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）.

A． B． C． D．
9．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号为（　　）
A．522 B．324 C．535 D．578
10．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（ ）

A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
12．若是等比数列，，，且公比为整数，则______.
13．化简：______.（要求将结果写成最简形式）
14．已知数列的前项和，那么数列的通项公式为__________．
15．在正四面体中，棱与所成角大小为________.
16．已知的三边分别是，且面积，则角__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设函数和都是定义在集合上的函数，对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“互换函数”．
（1）函数与在上互为“互换函数”，求集合；
（2）若函数 （且）与在集合上互为“互换函数”，求证：；
（3）函数与在集合且上互为“互换函数”，当时,，且在上是偶函数,求函数在集合上的解析式．
18．求适合下列条件的直线方程：
经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的倍；
经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形。
19．设函数，且
(1)求的值；
(2)试判断在上的单调性，并用定义加以证明；
(3)若求值域；
20．在中，角的对边分别为．若．
（1）求；
（2）求的面积的最大值．
21．已知集合，数列的首项，且当时，点，数列满足.
（1）试判断数列是否是等差数列，并说明理由；
（2）若，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
利用诱导公式把化简成.
【详解】

本题考查诱导公式的应用，即把任意角的三角函数转化成锐角三角函数，考查基本运算求解能力.
2、B
【解析】
①根据空间线线位置关系的定义判定；
②根据面面平行的性质判定；
③根据空间线线垂直的定义判定；
④根据线面垂直的性质判定．
【详解】
解：①若，，与的位置关系不定，故错；
②若，，，则或、异面，故错；
③若，，则或、异面，故错；
④若，，则，故正确．
故选：．
本题考查了空间线面位置关系，考查了空间想象能力，属于中档题．
3、D
【解析】
四个交点中的任何一个到焦点的距离和都是，然后分析正六边形中的长度和焦距的关系，从而建立等式求解.
【详解】
设椭圆的焦点是，圆与椭圆的四个交点是,
设，，，
，
.
故选D.
本题考查了椭圆的定义和椭圆的性质，属于基础题型
4、D
【解析】
首先根据正弦定理得到，比较与的大小关系即可判定A，B错误，再根据大边对大角即可判定C错误，根据勾股定理即可判定D正确.
【详解】
对于A，因为，，
所以，有两个解，故A错误.
对于B，因为，，
所以，无解，故B错误.
对于C，因为，所以，即，，
所以无解，故C错误.
对于D，，为直角三角形，故D正确.
故选：D
本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理判断为解题的关键，属于简单题.
5、A
【解析】
先求长方体的对角线的长度，就是球的直径，然后求出它的表面积.
【详解】
长方体的体对角线的长是，
所以球的半径是：，
所以该球的表面积是，
故选A.
该题考查的是有关长方体的外接球的表面积问题，在解题的过程中，首先要明确长方体的外接球的球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求得结果.
6、D
【解析】
由已知中直线和互相平行，求出的值，再根据两条平行线间的距离公式求得它们之间的距离．
【详解】
∵直线和互相平行，则，
将直线的方程化为，
则两条平行直线之间的距离，＝＝＝.
故选：D．
本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行线间的距离公式的应用，属于中档题．
7、B
【解析】
根据不等式组画出可行域，数形结合解决问题.
【详解】
不等式组确定的可行域如下图所示：

因为可化简为
与直线平行，且其在轴的截距与成正比关系，
故当且仅当目标函数经过和的交点时，取得最小值，
将点的坐标代入目标函数可得.
故选：B.
本题考查常规线性规划问题，属基础题，注意数形结合即可.
8、A
【解析】
通过补体，在正方体内利用截面为平行四边形,有，进而利用基本不等式可得解.
【详解】
补成正方体，如图.

∴截面为平行四边形,可得，
又 且
可得当且仅当时取等号，选A.
本题主要考查了线面的位置关系，截面问题，考查了空间想象力及基本不等式的应用，属于难题.
9、D
【解析】
根据随机抽样的定义进行判断即可．
【详解】
第行第列开始的数为（不合适），，（不合适），，，，（不合适），（不合适），，（重复不合适），
则满足条件的6个编号为，，，，，
则第6个编号为
本题正确选项：
本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．
10、A
【解析】
由于频率分布直方图的组距为5，去掉C、D，又[0,5)，[5,10)两组各一人，去掉B，应选A．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、.
【解析】
根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径．
【详解】
由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，故圆柱的体积为．
本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合，考查了空间想象力，属于基础题.
12、512
【解析】
由题设条件知和是方程的两个实数根，解方程并由公比q为整数，知，，由此能够求出公比，从而得到.
【详解】
是等比数列，
，，
，，
和是方程的两个实数根，
解方程，
得，，
公比q为整数，
，，
，解得，
.故答案为：512
本题考查等比数列的通项公式的求法，利用了等比数列下标和的性质，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.
13、
【解析】
结合诱导公式化简，再结合两角差正弦公式分析即可
【详解】

故答案为：
本题考查三角函数的化简，诱导公式的使用，属于基础题
14、
【解析】
运用数列的递推式即可得到数列通项公式．
【详解】
数列的前项和，
当时，得；
当时，；
综上可得
故答案为：
本题考查数列的通项与前项和的关系，考查分类讨论思想的运用，求解时要注意把通项公式写成分段的形式．
15、
【解析】
根据正四面体的结构特征，取中点，连，，利用线面垂直的判定证得平面，进而得到，即可得到答案.
【详解】
如图所示，取中点，连，，
正四面体是四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等，
所以，，且，
所以平面，又由平面，
所以，
所以棱与所成角为.

本题主要考查了异面直线所成角的求解，以及直线与平面垂直的判定及应用，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
16、
【解析】
试题分析：由，可得，整理得，即，所以.
考点：余弦定理；三角形的面积公式.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）见解析（3），
【解析】
（1）利用列方程，并用二倍角公式进行化简，求得或，进而求得集合.
（2）由，得（且），化简后根据的取值范围，求得的取值范围.
（3）首先根据为偶函数，求得当时，的解析式，从而求得当时，的解析式.依题意“当，恒成立”，化简得到，根据函数解析式的求法，求得时，以及，进而求得函数在集合上的解析式.
【详解】
（1）由得
化简得，，所以或．
由解得或，，
即或，．
又由解得 ，．
所以集合，或，
即集合．
（2）证明：由，得（且）．
变形得 ，所以．
因为，则 ，所以 ．
（3）因为函数在上是偶函数，则 ．当，则，所以．所以 ，
因此当时，．
由于与函数在集合上“互换函数”，
所以当，恒成立．
即对于任意的恒成立．
即．
于是有，
，．
上述等式相加得 ，即．
当（）时,，
所以 ．
而，，
所以当时，
，
本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查二倍角公式和特殊角的三角函数值，考查指数运算和指数函数的值域，考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.
18、（1）（2）或
【解析】
（1）根据倾斜角等于直线的倾斜角的倍，求出直线的倾斜角，再利用点斜式写出直线。
（2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为.
【详解】
（1）已知，
直线方程为化简得
（2）由题意可知，所求直线的斜率为.
又过点，由点斜式得，
所求直线的方程为或
本题考查直线方程，属于基础题。
19、 (1)m=1;（2）单调递减，证明见解析；（3）.
【解析】
（1）由由（1）即可解得；（2）利用减函数的定义可以判断、证明；（3）利用函数的
单调性求函数的值域.
【详解】
（1）由（1），得，．
（2）在上单调递减．
证明：由（1）知，，
设，则．
因为，所以，，
所以，即，
所以函数在上单调递减．
（3）由于函数在上单调递减．
所以.
所以函数的值域为.
本题考查函数的单调性及其应用，定义证明函数单调性的常用方法，意在考查学生对这些知
识的理解掌握水平，属于基础题.
20、（1）（2）
【解析】
（1）用正弦定理将式子化为，进行整理化简可得的值，即得角B；（2）由余弦定理可得关于的等式，再利用基本不等式和三角形面积公式可得面积最大值。
【详解】
（1）由题得，，，，解得，，.（2），由余弦定理得，，整理得，又，即，则的面积的最大值为.
本题考查用正弦定理求三角形内角，由余弦定理和基本不等式求三角形面积最大值，是基础题型。
21、（1）是；（2）.
【解析】
（1）依据题意，写出递推式，由等差数列得定义即可判断；（2）求出，
利用极限知识，求出，即可求得的值。
【详解】
（1）当时，点，所以 ，
即
由得，当时，，
将代入，

，故数列是以为公差的等差数列。
（2）因为，所以，，
由得，， ，故 ，
。
本题主要考查等差数列的定义和通项公式的运用，以及数列极限的运算。