2024-2025学年河北省保定市博野中学数学高一下期末调研模拟试题含解析.doc

2024-2025学年河北省保定市博野中学数学高一下期末调研模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知向量，，则与夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．已知为等差数列的前项和，，，则（ ）
A．2019 B．1010 C．2018 D．1011
3．角的终边过点，则等于 （ ）
A． B． C． D．
4．若满足约束条件，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．3
5．已知函数在上单调递增，且的图象关于对称.若，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．在钝角中，角的对边分别是，若，则的面积为
A． B． C． D．
8．水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中，,则绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）

A． B． C． D．
9．在集合且中任取一个元素，所取元素x恰好满足方程的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．已知某区中小学学生人数如图所示，为了解学生参加社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查。若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的人数为（）

A．30 B．40 C．70 D．90
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，函数的最小值为__________．
12．已知（），则________.（用表示）
13．已知正三角形的边长是2，点为边上的高所在直线上的任意一点，为射线上一点，且.则的取值范围是____
14．在等差数列中，若，则______．
15．已知是定义在上的奇函数，对任意实数满足，，则________.
16．若直线上存在点可作圆的两条切线，切点为，且，则实数的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点．
（1）若，证明：函数必有局部对称点；
（2）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围；
（3）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围．
18．如图，在中，，角的平分线交于点，设，其中．

（1）求；
（2）若，求的长．
19．在数列中，，.
（1）分别计算，，的值；
（2）由（1）猜想出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
20．设函数，其中，.
（1）设，若函数的图象的一条对称轴为直线，求的值；
（2）若将的图象向左平移个单位，或者向右平移个单位得到的图象都过坐标原点，求所有满足条件的和的值；
（3）设，，已知函数在区间上的所有零点依次为，且，，求的值.
21．已知平面向量，且
（1）若是与共线的单位向量，求的坐标；
（2）若，且，设向量与的夹角为，求．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据向量，的坐标及向量夹角公式，即可求出，从而
根据向量夹角的范围即可求出夹角．
【详解】
向量，，
则；
∴；
∵0≤<a，b>≤π；
∴<a,b>=.
故选：D.
本题考查数量积表示两个向量的夹角，已知向量坐标代入夹角公式即可求解，属于常考题型，属于简单题.
2、A
【解析】
利用基本元的思想，将已知条件转化为和的形式，列方程组，解方程组求得，进而求得的值.
【详解】
由于数列是等差数列，故，解得，故.
故选：A.
本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，属于基础题.
3、B
【解析】
由三角函数的定义知，x＝－1，y＝2，r＝＝，∴sinα＝＝.
4、A
【解析】
可行域为一个三角形及其内部,其中，所以直线过点时取最小值，选B.
5、D
【解析】
首先根据题意得到的图象关于轴对称，，再根据函数的单调性画出草图，解不等式即可.
【详解】
因为的图象关于对称，
所以的图象关于轴对称，.
又因为在上单调递增，
所以函数的草图如下：

所以或，
解得：或.
故选：D
本题主要考查函数的对称性，同时考查了函数的图象平移变换，属于中档题.
6、D
【解析】
直接利用同角三角函数基本关系式以及二倍角公式化简求值即可．
【详解】

．故选．
本题主要考查应用同角三角函数基本关系式和二倍角公式对三角函数的化简求值．
7、A
【解析】
根据已知求出b的值，再求三角形的面积.
【详解】
在中，，
由余弦定理得：，
即，
解得：或.
∵是钝角三角形，∴（此时为直角三角形舍去）.
∴的面积为.
故选A.
本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
8、B
【解析】
先根据斜二测画法的性质求出原图形,再分析绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积即可.
【详解】
根据斜二测画法的性质可知,原是以为底,高为的等腰三角形.又.故为边长为2的正三角形.
则绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体可看做两个以底面半径为,高为的圆锥组合而成.
故表面积为.
故选：B
本题主要考查了斜二测画法还原几何图形与旋转体的侧面积求解.需要根据题意判断出旋转后的几何体形状再用公式求解.属于中档题.
9、B
【解析】
写出集合中的元素，分别判断是否满足即可得解.
【详解】
集合且的元素，,，，，，.基本事件总数为，满足方程的基本事件数为.故所求概率.
故选：B.
本题考查了古典概型概率的求解，属于基础题.
10、C
【解析】
根据高中抽取的人数和高中总人数计算可得抽样比；利用小学和初中总人数乘以抽样比即可得到结果.
【详解】
由题意可得，抽样比为：
则小学和初中共抽取：人
本题正确选项：
本题考查分层抽样中样本数量的求解，关键是能够明确分层抽样原则，准确求解出抽样比，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、5
【解析】
变形后利用基本不等式可得最小值．
【详解】
∵，∴ 4x-5>0,
∴
当且仅当时，取等号，即 时，有最小值5
本题考查利用基本不等式求最值，凑出可利用基本不等式的形式是解决问题的关键，使用基本不等式时要注意“一正二定三相等”的法则．
12、
【解析】
根据同角三角函数之间的关系，结合角所在的象限，即可求解.
【详解】
因为，
所以，
故，解得，
又，，
所以.
故填.
本题主要考查了同角三角函数之间的关系，三角函数在各象限的符号，属于中档题.
13、
【解析】
以AB所在的直线为x轴，以AB的中点为坐标原点，AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求出A.C,P,Q的坐标，运用平面向量的坐标表示和性质，求出的表达式，
利用判别式法求出的取值范围.
【详解】
以AB所在的直线为x轴，以AB的中点为坐标原点，AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如下图所示：

，设，，设，可得，由
，可得即，
，
令，可得，
当时，成立，
当时，，即，
，即，
所以的取值范围是.
本题考查了平面向量数量积的性质和运算，考查了平面向量模的取值范围，构造函数，利用判别式法求函数的最值是解题的关键.
14、
【解析】
利用等差中项的性质可求出的值.
【详解】
由等差中项的性质可得，解得.
故答案为：.
本题考查利用等差中项的性质求项的值，考查计算能力，属于基础题.
15、
【解析】
由奇函数的性质得出，由题中等式可推出函数是以为周期的周期函数，再利用周期性和奇偶性求出的值.
【详解】
函数是定义在上的奇函数，则，
且对任意实数满足，，
所以，函数是以为周期的周期函数，
，，
因此，，故答案为：.
本题考查抽象函数求值，利用题中条件推导出函数的周期是解题的关键，在计算时充分利用函数的周期性将自变的值的绝对值变小，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.
16、
【解析】
试题分析：若，则，直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离公式可得,解之可得.
考点：点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用.
【方法点晴】本题主要考查了点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用，涉及到圆心到直线的距离公式和不等式的求解，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点是解答的关键．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
试题分析：(1)利用题中所给的定义，通过二次函数的判别式大于0，证明二次函数有局部对称点；(2)利用方程有解，通过换元，转化为打钩函数有解问题，利用函数的图象，确定实数c的取值范围；(3)利用方程有解，通过换元，转化为二次函数在给定区间有解，建立不等式组，通过解不等式组，求得实数的取值范围.
试题解析：(1)由得=,代入得,
=,得到关于的方程=).
其中,由于且,所以恒成立,
所以函数=)必有局部对称点.
(2)方程=在区间上有解,于是,
设),,,
其中，所以.
(3),由于,
所以=.
于是=(*)在上有解.
令),则,
所以方程(*)变为=在区间内有解,
需满足条件:.
即,，化简得.
18、（1）；（2）5.
【解析】
（1）根据求出和的值，利用角平分线和二倍角公式求出，即可求出；
（2）根据正弦定理求出，的关系，利用向量的夹角公式求出，可得，正弦定理可得答案
【详解】
解：（1）由，且，
，
，
，
则

；
（2）由正弦定理，得，即，，
又，，
由上两式解得，又由，得，
解得
本题考查了二倍角公式和正弦定理的灵活运用和计算能力，是中档题．
19、 (1) ,；
(2) ,证明见解析
【解析】
(1)分别令即可运算得出，，的值；
(2)由(1)可猜想出,当时成立,再假设当时,
成立,再利用推导出
即可.
【详解】
(1)令有；
令有；
令有
所以，，
(2)由(1)可得,,,,故可猜想.
证明：当时, 成立；
假设当时, 成立,
且即
当时, ,即
,化简得,
,
即也满足,当时成立,
故对于任意的,有,证毕.
所以.
本题主要考查了数学归纳法的运用，其中步骤为：
(1)证明当取第一个值时命题成立.对于一般数列取值为0或1；
(2)假设当()且为自然数）时命题成立,证明当时命题也成立.
综合(1)(2),对一切自然数,命题都成立.
20、（1）；（2），；（3）
【解析】
（1）根据对称轴对应三角函数最值以及计算的值；（2）根据条件列出等式求解和的值；（3）根据图象利用对称性分析待求式子的特点，然后求值.
【详解】
（1），因为是一条对称轴，对应最值；又因为，所以，所以，则；（2）由条件知： ，可得，则，又因为，所以，则，
故有：，当为奇数时，令，
所以 ，当为偶数时，令，所以
，当时，
，又因为，所以；（3）分别作出（部分图像）与图象如下：

因为，故共有个；记对称轴为，据图有：，，，，，
则，令，
则，又因为，所以，由于与仅在前半个周期内有交点，所以，
则.
本题考查三角函数图象与性质的综合运用，难度较难.对于三角函数零点个数问题，可将其转化为函数图象的交点个数问题，通过数形结合去解决问题会更方便.
21、或
【解析】
分析：（1）由与共线，可设，又由为单位向量，根据，列出方程即可求得向量的坐标；
（2）根据向量的夹角公式，即可求解向量与的夹角．
详解：与共线，又，则，为单位向量，，
或，则的坐标为或

，，．
点睛：对于平面向量的运算问题，通常用到：1、平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；2、由向量的数量积的性质有，，，因此利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题；3、本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立的方程.