2024-2025学年河北省承德一中高一下数学期末学业水平测试试题含解析.doc

2024-2025学年河北省承德一中高一下数学期末学业水平测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
2．下列关于极限的计算，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．已知，则
3．已知数列是等比数列，若，且公比，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
4．集合，那么 ( )
A． B．
C． D．
5．若,则（ ）
A． B． C． D．
6．数列1，，，…，的前n项和为
A． B． C． D．
7．( )
A． B． C． D．
8．设为两个不同的平面，直线，则“”是“”成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知等比数列的首项，公比，则（ ）
A． B． C． D．
10．圆被轴所截得的弦长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．中，，则A的取值范围为______．
12．若一组样本数据，，，，的平均数为，则该组样本数据的方差为
13．关于的不等式的解集是，则______．
14．已知函数，若对任意都有（）成立，则的最小值为__________．
15．已知a，b为常数，若，则______；
16．在数列中，按此规律，是该数列的第 ______项
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列和满足：，，，，且是以q为公比的等比数列．
（1）求证：；
（2）若，试判断是否为等比数列，并说明理由．
（3）求和：．
18．已知，且与的夹角.
（1）求的值；
（2）记与的夹角为，求的值.
19．已知函数.
（1）当时，，求的值；
（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值.
20．已知函数，（，，）的部分图象如图所示，其中点是图象的一个最高点．

（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）已知且，求.
21．已知圆的半径是2，圆心在直线上，且圆与直线相切.
（1）求圆的方程；
（2）若点是圆上的动点，点在轴上，的最大值等于7，求点的坐标.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
由可求得所处的范围，进而得到函数最大值.
【详解】

的最大值为
故选：
本题考查函数最值的求解，关键是明确余弦型函数的值域，属于基础题.
2、B
【解析】
先计算每个极限，再判断，如果是数列和的极限还需先求和，再求极限．
【详解】
，A正确；
∵，
∴，B错；
，C正确；
若，需按奇数项和偶数项分别求和后再极限，即 ，D正确．
故选：B．
本题考查数列的极限，掌握极限运算法则是解题基础．在求数列前n项和的极限时，需先求出数列的前n项和，再对和求极限，不能对每一项求极限再相加．
3、C
【解析】
由可得，结合可得结果.
【详解】
，
，
，
，
，
，故选C.
本题主要考查等比数列的通项公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
4、D
【解析】
根据并集定义计算．
【详解】
由题意．
故选D．
本题考查集合的并集运算，属于基础题．
5、A
【解析】
试题分析：，故选A.
考点：两角和与差的正切公式．
6、B
【解析】
数列为，则
所以前n项和为．故选B
7、A
【解析】
将根据诱导公式化为后，利用两角和的正弦公式可得.
【详解】

.
故选：A
本题考查了诱导公式，考查了两角和的正弦公式，属于基础题.
8、A
【解析】
试题分析：当满足时可得到成立，反之，当时，与可能相交，可能平行，因此前者是后者的充分不必要条件
考点：充分条件与必要条件
点评：命题：若则是真命题，则是的充分条件，是的必要条件
9、B
【解析】
由等比数列的通项公式可得出.
【详解】
解：由已知得，
故选：B.
本题考查等比数列的通项公式的应用，是基础题.
10、C
【解析】
先计算圆心到轴的距离，再利用勾股定理得到弦长.
【详解】
，圆心为
圆心到轴的距离
弦长
故答案选C
本题考查了圆的弦长公式，意在考查学生的计算能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由正弦定理将sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C 变为，然后用余弦定理推论可求，进而根据余弦函数的图像性质可求得角A的取值范围．
【详解】
因为sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，所以，即 ．
所以 ，
因为，所以．
在三角形中，已知边和角或边、角关系，求角或边时，注意正弦、余弦定理的运用．条件只有角的正弦时，可用正弦定理的推论，将角化为边．
12、
【解析】
因为该组样本数据的平均数为2017，所以，解得，则该组样本数据的方差为 .
13、
【解析】
利用二次不等式解集与二次方程根的关系，由二次不等式的解集得到二次方程的根，再利用根与系数的关系，得到和的值，得到答案.
【详解】
因为关于的不等式的解集是，
所以关于的方程的解是，
由根与系数的关系得，解得，
所以.
本题考查二次不等式解集和二次方程根之间的关系，属于简单题.
14、
【解析】
根据和的取值特点，判断出两个值都是最值，然后根据图象去确定最小值.
【详解】
因为对任意成立，所以取最小值，取最大值；
取最小值时，与必为同一周期内的最小值和最大值的对应的，则，且，故.
任何一个函数，若有对任何定义域成立，此时必有：，.
15、2
【解析】
根据极限存在首先判断出的值，然后根据极限的值计算出的值，由此可计算出的值.
【详解】
因为，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
本题考查根据极限的值求解参数，难度较易.
16、
【解析】
分别求出，，，结果构成等比数列，进而推断数列是首相为2，公比为2的等比数列，进而求得数列的通项公式，再由求得答案．
【详解】
，，，依此类推可得，
，
，即.
，解得.
故答案为：7.
本题考查利用数列的递推关系求数列的通项公式，求解的关键在于推断是等比数列，再用累加法求得数列的通项公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析（2）是等比数列，详见解析（3）答案不唯一，具体见解析
【解析】
（1）由即可证明；
（2）证明即可
（3）由（1）可知，是以为公比的等比数列，
也是以为公比的等比数列，讨论和分组求和即可
【详解】
（1）因为，且是以q为公比的等比数列，
所以，
则，所以.
（2）是等比数列
因为；
所以，又
所以是以5为首项，为公比的等比数列．
（3）由（1）可知，是以为公比的等比数列，
也是以为公比的等比数列，
所以当时，，
当时.
本题考查等比数列的证明，分组求和，考查推理计算及分类讨论思想，是中档题
18、（1）；（2）.
【解析】
(1)求向量的模先求向量的平方；
(2)由向量的夹角公式可以求得.
【详解】
（1）根据题意可得：

故
（2），则
故.
本题考查向量的数量积运算，求向量的模和夹角，属于基础题.
19、（1）；（2）
【解析】
（1）根据得，得或，结合取值范围求解；
（2）结合换元法处理二次不等式恒成立求参数的取值范围.
【详解】
（1），即，
即有，
所以或，
即或
由于，
，
所以；
（2），令，
对任意都有恒成立，
即对恒成立，
只需，解得：，
所以的最大值为.
此题考查根据三角函数值相等求自变量取值的关系，利用换元法转化为二次函数处理不等式问题，根据不等式恒成立求参数的取值范围，涉及根的分布的问题.
20、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由最值和两个零点计算出和的值，再由最值点以及的的范围计算的值；
（Ⅱ）先根据（Ⅰ）中解析式将表示出来，然后再利用两角和的正弦公式计算的值.
【详解】
解：（Ⅰ）由函数最大值为2，得
由
∴
又，，∴，，
又，∴
∴
（Ⅱ）∵，且，
∴
∴

根据三角函数图象求解析式的步骤：（1）由最值确定的值；（2）由周期确定的值；（3）由最值点或者图像上的点确定的取值.这里需要注意确定的值时，尽量不要选取平衡位置上的点，这样容易造成多解的情况.
21、（1）或；（2）或．
【解析】
（1）利用圆心在直线上设圆心坐标，利用相切列方程即可得解；
（2）利用最大值为7确定圆，设点的坐标，找到到圆上点的最大距离列方程得解．
【详解】
解：（1）设圆心的坐标为，
因为圆与直线相切，
所以，
即，
解得或，
故圆的方程为：，或；
（2）由最大值等于可知，若圆的方程为，则的最小值为，故不故符合题意；
所以圆的方程为：，
设，
则，
的最大值为：，
得，
解得或．
故点的坐标为或．
此题考查了圆方程的求法，点到圆上点的距离最值等，属于中档题．