2025届北京市顺义区牛栏山第一中学高一数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025届北京市顺义区牛栏山第一中学高一数学第二学期期末达标检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设等差数列{an}的前n项的和Sn，若a2+a8＝6，则S9＝（　　）
A．3 B．6 C．27 D．54
2．在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若直线恰好与以为直径的圆相切，则圆面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，长方体的体积为，E为棱上的点,且，三棱锥E－BCD的体积为，则=（ ）

A． B． C． D．
5．圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数的图象上所有的点向右平移个单位长度后得到的函数图象关于对称，则的值为
A． B． C． D．
7．为得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（ ）
A．向右平移3个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移3个单位长度 D．向左平移个单位长度
8．已知直线l的方程为2x+3y＝5，点P（a，b）在l上位于第一象限内的点，则的最小值为（　 　）
A． B． C． D．
9．若向量，，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方体中，，分别是，中点，则异面直线与所成的角是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．据监测，在海滨某城市附近的海面有一台风，台风中心位于城市的南偏东30°方向，距离城市的海面处，并以的速度向北偏西60°方向移动（如图示）.如果台风侵袭范围为圆形区域，半径，台风移动的方向与速度不变，那么该城市受台风侵袭的时长为_______小时.

12．在中，角的对边分别为，且面积为，则面积的最大值为_____．
13．等比数列中，若，，则______.
14．已知函数的部分图象如图所示，则的单调增区间是______．

15．已知，则_________.
16．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列的前项和，且；
（1）求它的通项.
（2）若，求数列的前项和.
18．已知函数.
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）若，且，求的值.
19．已知定点，点A在圆上运动，M是线段AB上的一点，且，求出点M所满足的方程，并说明方程所表示的曲线是什么.
20．已知、、是锐角中、、的对边，是的面积，若，，．
（1）求；
（2）求边长的长度．
21．已知点，圆.
（1）求过点且与圆相切的直线方程；
（2）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求实数的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
利用等差数列的性质和求和公式，即可求得的值，得到答案．
【详解】
由题意，等差数列的前n项的和，
由，根据等差数列的性质，可得，
所以，
故选：C．
本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2、A
【解析】
根据题意画出图像，数形结合，根据圆面积最小的条件转化为直径等于原点到直线的距离，再求解圆面积即可.
【详解】
根据题意画出图像如图所示，

圆心为线段中点，
为直角三角形，所以，
作直线且交于点，
直线与圆相切，所以，
要使圆面积的最小，即使半径最小，
由图知，当点、、共线时，圆的半径最小，
此时原点到直线的距离为，
由点到直线的距离公式： ，解得，
所以圆面积的最小值.
故选：A
本题主要考查点到直线距离公式和圆切线的应用，考查学生分析转化能力和数形结合的思想，属于中档题.
3、A
【解析】
根据对数函数的定义域直接求解即可.
【详解】
由题知函数，
所以，
所以函数的定义域是.
故选：A.
本题考查了对数函数的定义域的求解，属于基础题.
4、D
【解析】
分别求出长方体和三棱锥E－BCD的体积，即可求出答案.
【详解】
由题意，，
，
则.
故选D.
本题考查了长方体与三棱锥的体积的计算，考查了学生的计算能力，属于基础题.
5、B
【解析】
根据圆的标准方程形式直接确定出圆心和半径.
【详解】
因为圆的方程为：，所以圆心为，半径，
故选：B.
本题考查给定圆的方程判断圆心和半径，难度较易.圆的标准方程为，其中圆心是，半径是.
6、C
【解析】
先由题意求出平移后的函数解析式，再由对称中心，即可求出结果.
【详解】
函数的图象上所有的点向右平移个单位长度后,可得函数的图像，
又函数的图象关于对称，
，，
故，
又，时，.
故选C.
本题主要考查由平移后的函数性质求参数的问题，熟记正弦函数的对称性，以及函数的平移原则即可，属于常考题型.
7、B
【解析】
先化简得，根据函数图像的变换即得解.
【详解】
因为，
所以函数图象上的所有点向右平移个单位长度可得到函数的图象.
故选：B
本题主要考查三角函数图像的变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8、C
【解析】
由题意可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），将所求式子化为b的关系式，由基本不等式可得所求最小值．
【详解】
直线l的方程为2x+3y＝5，点P（a，b）在l上位于第一象限内的点，
可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），
则
[（11﹣6b）+（9+6b）]（）
（7），
当且仅当时，即b，a，上式取得最小值，
故选：C．
【点评】
本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．
9、B
【解析】
根据向量的坐标运算得到，得到答案.
【详解】
，故.
故选：.
本题考查了向量的坐标运算，意在考查学生的计算能力.
10、D
【解析】

如图，平移直线到，则直线与直线所成角，由于点都是中点，所以，则，而，所以，即，应选答案D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】
设台风移动M处的时间为th，则|PM|＝20t，利用余弦定理求得AM，而该城市受台风侵袭等价于AM≤60，解此不等式可得．
【详解】
如图：设台风移动M处的时间为th，则|PM|＝20t，
依题意可得，
在三角形APM中，由余弦定理可得：

依题意该城市受台风侵袭等价于AM≤60，即AM2≤602，
化简得：，
所以该城市受台风侵袭的时间为6﹣1＝1小时．
故答案为：1．

本题考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.
12、
【解析】
利用三角形面积构造方程可求得，可知，从而得到；根据余弦定理，结合基本不等式可求得，代入三角形面积公式可求得最大值.
【详解】

，
由余弦定理得：（当且仅当时取等号）

本题正确结果：
本题考查解三角形问题中的三角形面积的最值问题的求解；求解最值问题的关键是能够通过余弦定理构造等量关系，进而利用基本不等式求得边长之积的最值，属于常考题型.
13、
【解析】
设的首项为，公比为，根据，列出方程组，求出和即可得解.
【详解】
设的首项为，公比为，则：，解之得，
所以：.
故答案为：.
本题考查等比数列中某项的求法，解题关键是根据题意列出方程组，需要注意的是为了简化运算不用直接求解，解出即可，属于基础题.
14、 （区间端点开闭均可）
【解析】
由已知函数图象求得，进一步得到，再由五点作图的第二点求得，则得到函数的解析式，然后利用复合函数的单调性求出的单调增区间．
【详解】
由图可知，，则，．
又，．则．
由，，解得，．
的单调增区间是．
本题主要考查由函数的部分图象求函数解析式以及复合函数单调区间的求法．
15、
【解析】
由题意可得：

点睛：熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；
注意公式的变形应用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在．
16、
【解析】
讨论斜率不存在和斜率存在两种情况，分别计算得到答案.
【详解】
抛物线的焦点F为，
当斜率不存在时，易知，故；
当斜率存在时，设，故，即，
故，.
综上所述：.
故答案为：.
本题考查了抛物线中线段长度问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）由，利用与的关系式，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求得数列的前项和.
【详解】
（1）由，
当时，；
当时，，
当也成立，
所以则通项；
（2）由（1）可得，-
，
，
两式相减得

所以数列的前项和为.
本题主要考查了数列和的关系、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，着重考查了的逻辑思维能力及基本计算能力等.
18、（1）最小正周期为，单调递减区间为（2）.
【解析】
（1）利用二倍角降幂公式和辅助角公式将函数的解析式化为，利用周期公式可得出函数的最小正周期，然后解不等式可得出函数的单调递减区间；
（2）由可得出角的值，再利用两角和的正切公式可计算出的值.
【详解】
（1）．
函数的最小正周期为，
令，解得.
所以，函数的单调递减区间为；
（2），即，，.
，故，因此.
本题考查三角函数基本性质，考查两角和的正切公式求值，解题时要利用三角恒等变换思想将三角函数的解析式化简，利用正弦、余弦函数的性质求解，考查运算求解能力，属于中等题.
19、；
方程所表示的曲线是以为圆心，为半径的圆.
【解析】
设出点的坐标，结合向量的关系式及圆的方程可求.
【详解】
设，，因为，所以；
，，
因为点A在圆上运动，所以；
化简得；
方程所表示的曲线是以为圆心，为半径的圆.
本题主要考查曲线方程的求解，相关点法是常用的方法，侧重考查数学运算的核心素养.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用三角形的面积公式结合为锐角可求出的值；
（2）利用余弦定理可求出边长的长度．
【详解】
（1）由三角形的面积公式可得，得.
为锐角，因此，；
（2）由余弦定理得，因此，.
本题考查利用三角形的面积公式求角，同时也考查了利用余弦定理求三角形的边长，考查计算能力，属于基础题.
21、（1）或；（2）.
【解析】
（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r，直接求解圆的切线方程即可．
（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a即可．
【详解】
（1）由圆的方程得到圆心，半径.
当直线斜率不存在时，直线与圆显然相切；
当直线斜率存在时，设所求直线方程为，即，
由题意得：，解得，
∴ 方程为，即.
故过点且与圆相切的直线方程为或.
（2）∵ 弦长为，半径为2.
圆心到直线的距离，
∴，
解得.
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力．