2025年河北省唐山市第二中学数学高一下期末综合测试试题含解析.doc

2025年河北省唐山市第二中学数学高一下期末综合测试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．过点且与点距离最大的直线方程是（）
A． B．
C． D．
2．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
3．执行下面的程序框图，则输出的的值为（ ）

A．10 B．34 C．36 D．154
4．设等比数列{}的前n项和为，若=3，则=
A． B．2 C． D．3
5． 数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)，那么在此数列中(　　)
A．a7＝a8最大 B．a8＝a9最大
C．有唯一项a8最大 D．有唯一项a7最大
6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则B为（ ）
A． B．或 C． D．或
7．已知角A满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．棱柱的侧面一定是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
9．在中，（，，分别为角、、的对边），则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
10．已知数列的通项为，我们把使乘积为整数的叫做“优数”，则在内的所有“优数”的和为（ ）
A．1024 B．2012 C．2026 D．2036
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．数列满足，则数列的前6项和为_______．
12．把一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，两次都是正面向上的概率为________.
13．若关于x的不等式的解集是，则_________.
14．方程的解集是______.
15．已知等比数列的公比为，关于的不等式有下列说法：
①当吋，不等式的解集
②当吋，不等式的解集为
③当>0吋，存在公比，使得不等式解集为
④存在公比，使得不等式解集为R.
上述说法正确的序号是_______.
16．在数列中，按此规律，是该数列的第 ______项
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设的内角的对边分别为，且满足.
（1）试判断的形状，并说明理由；（2）若，试求面积的最大值.
18．已知为第三象限角，．
(1)化简
(2)若，求的值
19．在平面直角坐标系xOy中，已知点P是直线与直线的交点.
（1）求点P的坐标；
（2）若直线l过点P，且与直线垂直，求直线l的方程.
20．某城市理论预测2020年到2024年人口总数与年份的关系如下表所示：
年份202x（年）
0
1
2
3
4
人口数y（十万）
5
7
8
11
19
（1）请在右面的坐标系中画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（3）据此估计2025年该城市人口总数.
（参考公式：，）
21．设等差数列的前项和为，且（是常数，），.
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
过点且与点距离最大的直线满足: ，根据两直线互相垂直，斜率的关系可以求出直线的斜率，写出点斜式方程，最后化成一般方程，选出正确的选项.
【详解】
因为过点且与点距离最大的直线满足: ，所以有，
而，所以直线方程为，故本题选C.
本题考查了直线与直线垂直时斜率的性质，考查了数学运算能力.
2、C
【解析】
根据框图模拟程序运算即可.
【详解】
第一次执行程序，，，继续循环，
第二次执行程序，，，，继续循环，
第三次执行程序，，，，继续循环，
第四次执行程序，，，，继续循环，
第五次执行程序，，，，跳出循环，输出，结束.故选C.
本题主要考查了程序框图，涉及循环结构，解题关键注意何时跳出循环，属于中档题.
3、B
【解析】
试题分析：第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：结束循环，输出，选B.
考点：循环结构流程图
【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
4、A
【解析】
解：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比，（Sn≠0）
所以，选A
5、A
【解析】
，
所以，
令，解得n≤7，
即n≤7时递增，n＞7递减，所以a1＜a2＜a3＜…＜a7＝a8＞a9＞….
所以a7＝a8最大．
本题选择A选项.
6、C
【解析】
根据正弦定理得到，再根据知，得到答案.
【详解】
根据正弦定理：，即，根据知，故.
故选：.
本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.
7、A
【解析】
将等式两边平方，利用二倍角公式可得出的值．
【详解】
，在该等式两边平方得，
即，解得，故选A.
本题考查同角三角函数的基本关系，考查二倍角正弦公式的应用，一般地，解三角函数有关问题时，遇到，常用平方法来求解，考查计算能力，属于中等题．
8、A
【解析】
根据棱柱的性质可得：其侧面一定是平行四边形，故选A.
9、B
【解析】
利用二倍角公式，正弦定理，结合和差公式化简等式得到，得到答案.
【详解】

故答案选B
本题考查了正弦定理，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.
10、C
【解析】
根据优数的定义，结合对数运算，求得的范围，再用等比数列的前项和公式进行求和.
【详解】
根据优数的定义，

令，则可得
令，解得
则在内的所有“优数”的和为：

故选：C.
本题考查新定义问题，本质是考查对数的运算，等比数列前项和公式.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、84
【解析】
根据分组求和法以及等差数列与等比数列前n项和公式求解.
【详解】
因为，
所以.
本题考查分组求和法以及等差数列与等比数列前n项和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
12、
【解析】
把一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，利用列举法求出基本事件有4个，由此能求出两次都是正面向上的概率．
【详解】
把一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，
基本事件有4个，分别为：正正，正反，反正，反反，
两次都是正面向上的概率为．
故答案为：．
本题考查古典概型的概率计算，求解时注意列举法的应用，即列举出所有等可能结果.
13、－14
【解析】
由不等式的解集求出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出的值，从而可得结果.
【详解】
不等式的解集是，
所以对应方程的实数根为和，且，
由根与系数的关系得，解得，
，故答案为.
本题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次不等式的根之间的关系，以及韦达定理的应用，属于简单题.
14、或
【解析】
根据三角函数的性质求解即可
【详解】
，如图所示：

则
故答案为：或
本题考查由三角函数值求解对应自变量取值范围，结合图形求解能够避免错解，属于基础题
15、③
【解析】
利用等比数列的通项公式，解不等式后可得结论．
【详解】
由题意，
不等式变为，即，
若，则，
当或时解为，当或时，解为，
时，解为；
若，则，
当或时解为，当或时，解为，
时，不等式无解．
对照A、B、C、D，只有C正确．
故选C．
本题考查等比数列的通项公式，考查解一元二次不等式，难点是解一元二次不等式，注意分类讨论，本题中需对二次项系数分正负，然后以要对两根分大小，另外还有一个是相应的一元二次方程是否有实数解分类（本题已经有两解，不需要这个分类）．
16、
【解析】
分别求出，，，结果构成等比数列，进而推断数列是首相为2，公比为2的等比数列，进而求得数列的通项公式，再由求得答案．
【详解】
，，，依此类推可得，
，
，即.
，解得.
故答案为：7.
本题考查利用数列的递推关系求数列的通项公式，求解的关键在于推断是等比数列，再用累加法求得数列的通项公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由，利用正、余弦定理，得，化简整理即可证明：为直角三角形；
（2）利用，，根据基本不等式可得：，即可求出面积的最大值.
试题解析：
解法1：（1）∵，
由正、余弦定理，得
，
化简整理得：，
∵，所以，
故为直角三角形，且；
（2）∵，
∴，
当且仅当时，上式等号成立，∴.故，
即面积的最大值为.
解法2
（1）由已知：，
又∵，
，
∴，
而，∴，
∴，
故，∴为直角三角形.
（2）由（1），∴.
∵，∴，
∴，
令，∵，∴，
∴.
而在上单调递增，
∴.
18、 (1)见解析;(2).
【解析】
利用指数运算、指对互化、对数运算求解
试题分析：
（1）

（2）由，得．又已知为第三象限角，
所以，所以，
所以=………………10分
考点：本题主要考查了诱导公式、同角三角函数基本关系以及三角函数符号的判定．
点评：解决此类问题的关键是掌握诱导公式、同角三角函数基本关系以及三角函数符好的判定方法．诱导公式的记忆应结合图形记忆较好，难度一般．
19、（1）；（2）
【解析】
（1）由两条直线组成方程组，求得交点坐标；
（2）设与直线垂直的直线方程为，代入点的坐标求得的值，可写出的方程．
【详解】
（1）由直线与直线组成方程组，
得，
解得，
所以点的坐标为；
（2）设与直线垂直的直线的方程为，
又直线过点，所以，解得，
直线的方程为．
本题考查直线方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
20、（1）见解析；（2）；（3）2025年该城市人口总数为196万人
【解析】
（1）由表中数据描点即可；
（2）由最小二乘法的公式得出的值，即可得出该线性方程；
（3）将代入（2）中的线性方程，即可得出2025年该城市人口总数.
【详解】
（1）画出散点图如图所示.

（2），，，
，
，，
则线性回归方程.
（3）时，（十万）（万）.
答：估计2025年该城市人口总数为196万人
本题主要考查了绘制散点图，求回归直线方程以及根据回归方程进行数据估计，属于中档题.
21、 (1) ； (2)
【解析】
（1）先令得出，再令，利用作差法得出，于此得出，可由和的值求出等差数列的公差，于此可求出等差数列的通项公式；
（2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法求出数列的前项和.
【详解】
（1）因为，所以当时，，解得.
当时，，即.
解得，所以，解得，则.
数列的公差.所以；
（2）因为，
所以，①
，②
由①－②可得，
所以.
本题考查等差数列通项的求解，考查错位相减法求和，解题时要注意错位相减求和法所适用数列通项的结构类型，要熟练错位相减法求和的基本步骤，难点在于计算量较大，属于中等题．