高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结(全).pdf

1必修四常考公式及高频考点第一部分 三角函数与三角恒等变换考点一 角的表示方法1.终边相同角的表示方法：所有与角 终边相同的角，连同角 在内可以构成一个集合：|=k360+,kZ 2.象限角的表示方法：第一象限角的集合为|k360 k360+90,kZ 第二象限角的集合为|k360+90 k360+180,kZ 第三象限角的集合为|k360+180 k360+270,kZ 第四象限角的集合为|k360+270 0，且 x=0 时的相位（x+=）称为初相.如果不满足 0，先利用诱导公式进行变形，使之满足上述条件，再进行计算.如 y=-3sin(-2x+600)的初相是-600 求解思路：利用三角函数对称性与周期性的关系，解.相邻的对称中心之间的距离是周期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周期的一半；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一.2.“一图、两域、四性”“一图”：学好三角函数，图像是关键。易错提醒：“左加右减、上加下减”中“左加右减”仅仅针对自变量 x，不可针对-x 或 2x 等.例：“两域”：(1)定义域求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解.(2)值域(最值)：a.直接法（有界法）：利用 sinx，cosx 的值域.b.化一法：化为 y=Asin(x+)+k 的形式逐步分析 x+的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值).c.换元法：把 sinx 或 cosx 看作一个整体，化为求一元二次函数在给定区间上的值域(最值)问题.例：1.y=asinx2+bsinx+c52.y=asinx2+bsinxcosx+ccosx23.y=(asinx+c)/(bcosx+d)4.y=a(sinxcosx)+bsinxcosx+c“四性”：(1)单调性 函数 y=Asin(x+)(A0,0)图象的单调递增区间由 2k-x+2k，kZ 解得,单调递减区间由222k+x+0,0)图象的单调递增区间由 2k+x+2k2,kZ 解得,单调递减区间由2kx+0,0)图象的单调递增区间由 k-x+k，kZ 解得,.22规律总结：注意、A 为负数时的处理技巧(2)对称性函数 y=Asin(x+)的图象的对称轴由 x+=k(kZ)解得,对称中心的横坐标由 x+=k(kZ)解得;2函数 y=Acos(x+)的图象的对称轴由 x+=k(kZ)解得,对称中心的横坐标由 x+=k(kZ)解得;2函数 y=Atan(x+)的图象的对称中心由 x+=k(kZ)解得.规律总结：可以是单个角或多个角的代数式.无需区分、A 符号.(3)奇偶性函数 yAsin(x)，xR 是奇函数k(kZ)，函数 yAsin(x)，xR 是偶函数k(kZ)；2函数 yAcos(x)，xR 是奇函数k(kZ)；函数 yAcos(x)，xR 是偶函数2k(kZ)；函数 yAtan(x)，xR 是奇函数(kZ)k2规律总结：可以是单个角或多个角的代数式.无需区分、A 符号.(4)周期性函数 yAsin(x)或 yAcos(x)的最小正周期 T，2|yAtan(x)的最小正周期 T.|考点六 常见公式常见公式要做到“三用”：正用、逆用、变形用1.同角三角函数的基本关系6；=22sincos1tancossin2.三角函数化简思路：“去负、脱周、化锐”（1）去负，即负角化正角：sin(-a)=-sina；cos(-a)=cosa；tan(-a)=-tana；（2）脱周，即将不在（0,2）的角化为（0,2）的角：sin(2k+a)=sina；cos(2k+a)=cosa；tan(2k+a)=-tana；（3）化锐，即将在（0,2）的角化为锐角：6 组诱导公式，1 sin 2sinkcos 2cosktan 2tankk，2 sinsin coscos tantan，3 sinsin coscostantan，4 sinsincoscos tantan，5 sincos2cossin2，6 sincos2cossin2 口诀：奇变偶不变，符号看象限.均化为“k/2a”,做到“两观察、一变”。一观察：k 是奇数还是偶数；二观察：k/2a 终边所在象限，再由 k/2a 终边所在象限，确定原函数对应函数值的正负.一变：正弦变余弦、余弦变正弦、正切利用商的关系变换.其中公式（1）也可理解为终边相同角的三角函数值相同，公式（3）也可按照函数奇偶性理解3.两角和差公式；sin()sincoscossincos()coscossinsinm,tantantan()1tantanm 4.二倍角公式；sin2sincos2222cos2cossin2cos11 2sin ，22tantan21tan二倍角公式是两角和的正弦、余弦、正切公式，当=时的特殊情况倍角是相对的，如 0.5 是 0.25 的倍角，3 是 1.5 的倍角5.升降幂公式（升幂缩角）.2222cos2cossin2cos11 2sin 7（降幂扩角），221 cos21 cos2cos,sin226.辅助角公式=(辅助角所在象限由点的象限决定,，-、cos、tan1、sin-、cos-、tan2i考点二 向量的线性运算1.向量的加法法则（1）平行四边形法则：共起点，指向对角线；起点相同、终点相同，首尾相连、路径不限（2）三角形法则：首尾相连，可理解为“条条大路通罗马”2.向量的减法原则：起点相同、指向被减OAOBOC OAOBBA (a+b)=OC,(a-b)=BA12121212两个向量共线只可用三角形法则；封闭图形、首尾相连、相加为零3.向量的数乘运算实数与向量的积叫做向量的数乘，记作其几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩arar（1）aarr（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，0arar0arar00arr104.a 与 b 的数量积运算ab=|a|b|cos=|a|b|cos=x1x2+y1y2（1）|a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；|b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影（2）ab 的几何意义：ab 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影|b|cos的乘积（3）为 a 与 b 的夹角，0（4）零向量与任一向量的数量积为0（5）ab=-ba（6）向量没有除法，“a/b”没有意义,注意与复数运算的区别 B vb O D A va（7）向量的加法、减法、数乘结果为向量，向量的数量积结果为实数易错提醒：向量的数量积与实数运算的区别：（1）向量的数量积不满足结合律，即：(ab)ca(bc)（2）向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac(a0)，推不出 b=c（3）由|a|=|b|，推不出 a=b 或 a=-b（4）|ab|a|b|考点三 向量的运算律1.实数与向量的积的运算律设、为实数，那么(1)结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.2.向量的数量积的运算律：(1)ab=ba（交换律）;(2)（a）b=（ab）=ab=a（b）;(3)（a+b）c=a c+bc.考点四 向量的坐标表示及坐标运算1.平面向量基本定理 如果 e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 1、2，使得a=1e1+2e2不共线的向量（隐含另一条件为非零向量，基底不唯一）e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底该定理作用：证明三点共线、两直线平行或两个向量 a、b 共线.解题思路：可用两个不共线的向量 e1、e2表示向量 a、b，设 b=a（a0），化成关于 e1、e 2的方程，即 f()e1+g()e2=0,由于 e1、e 2不共线，则 f()=0，g()=0112.向量的坐标表示ijxy，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，使得ax iy jxyaaxy，称，为向量的坐标，记作：，即为向量的坐标()表示(1)设 a=,b=，则 a+b=11(,)x y22(,)xy1212(,)xxyy(2)设 a=,b=，则 a-b=11(,)x y22(,)xy1212(,)xxyy(3)设 axyxy1111，(4)设 a=,b=，则 ab=|a|b|cos=x x2+y1y211(,)x y22(,)xy1（5）设 A，B,则11(,)x y22(,)xy2121(,)ABOBOAxx yyuuu ruuu ruu u r（6）|ABxxyyAB212212，、两点间距离公式易错提醒：公式（2）与公式（5）的区别向量坐标与该向量有向线段的端点无关，仅与其相对位置有关考点四 向量的常见公式1.线段的定比分公式（1）定比分点向量公式：设，是线段的分点,是实数，且，则的111(,)P x y222(,)P xy(,)P x y12PP12PPPPuuu ruuu r坐标是，即1212,11xxyy121211xxxyyy121OPOPOPuuu ruuu ruuu r（）.12(1)OPtOPt OPuuu ruuu ruuu r11t（2）定比分点坐标公式：设，分点，设、是直线 上两点，点在P xyP xyP xyPPP11122212ll上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做 分有向线段PPP PPPP1212P PPP PPP P12121200所成的比（，在线段内，在外），且xxxyyyPP Pxxxyyy12121212121122，为中点时，如：，ABCA xyB xyC xy112233，则重心的坐标是，ABCGxxxyyy123123332.三角形五“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则OABC,A B C,a b c（1）为的外心.OABC222OAOBOCuu u ruuu ruuu r（2）为的重心.OABC0OAOBOCuu u ruuu ruuu rr12（3）为的垂心.OABCOA OBOB OCOC OAuu u r uuu ruuu r uuu ruuu r uu u r（4）为的内心.OABC0aOAbOBcOCuu u ruuu ruuu rr（5）为的的旁心.OABCAaOAbOBcOCuu u ruuu ruuu r3.A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点共线OC=OA+OB,且+=1(x1-x2)(y2-y3)=(x2-x3)(y1-y2)等4.向量的三角形不等式和方程（1）a-ba+ba+b 当且仅当 a、b 反向时，左边取等号；当且仅当 a、b 同向时，右边取等号（2）a-ba-ba+b 当且仅当 a、b 同向时，左边取等号；当且仅当 a、b 反向时，右边取等号记忆规律：（1）与（2）的几何意义为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（3）a+b2+a-b2=2（a2+b2），该式几何意义为平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和（4）ab0 推不出 a 与 b 的夹角为锐角，可能为 0；ab0 推不出 a 与 b 的夹角为钝角，可能为 1805.点的平移公式 .xxhxxhyykyykOPOPPPuuu ruuu ruuu r注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐标为.F(,)P x yPPuuu r(,)h k6.“按向量平移”的几个结论(1)点按向量 a=平移后得到点.(,)P x y(,)h k(,)P xh yk(2)函数的图象按向量 a=平移后得到图象,则的函数解析式为.()yf xC(,)h kCC()yf xhk(3)图象按向量 a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.C(,)h kCC()yf xC()yf xhk(4)曲线:按向量 a=平移后得到图象,则的方程为.C(,)0f x y(,)h kCC(,)0f xh yk(5)向量 m=按向量 a=平移后得到的向量仍然为 m=.(,)x y(,)h k(,)x y考点五 向量的的四种常见题型设 a=,b=11(,)x y22(,)xy1.两个向量的平行或共线关系：a/bb=a（a0）（交叉相乘差为零），12210 x yx y若 a=0,则 a=0，当 b=0，不唯一；当 b0，不存在.限定 a0 是保证 的唯一性和存在性不可写为 x1/x2=y1/y22.两个向量的垂直关系 abab=0|a|b|cos=0（对应相乘和为零）12120 x xy y3.两个向量的夹角公式：,其中 为a与 b 的夹角121222221122cosx xy yxyxy4.两个向量的模运算：若，则或,ax yr222axyr22axyr（ab）2=a22ab+b2,（a+b）（a-b）=a2-b2解题技巧：1.如向量用模表示，且已知两个向量的夹角，遇模，先平方后开方，如2wbawba2.如向量用坐标表示，遇模不平方，直接按照坐标运算