高中数学最全必修一函数性质详解与知识点总结与题型详解.pdf

.(经经典典)高中数学最全必修一函数性高中数学最全必修一函数性质详质详解及知解及知识识点点总结总结及及题题型型详详解分解分析析一、函数的概念与表示 1、映射：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射集合 A，B 是平面直角坐标系上的两个点集，给定从 AB 的映射 f:(x,y)(x2+y2,xy)，求象(5，2)的原象.3.已知集合 A 到集合 B0，1，2，3的映射 f:x11x，则集合 A 中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合 A.2、函数。构成函数概念的三要素 定义域对应法则值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、下列各对函数中，相同的是 （）A、B、xxgxxflg2)(,lg)(2)1lg()1lg()(,11lg)(xxxgxxxfC、D、f（x）=x，vvvguuuf11)(,11)(2)(xxf2、给出下列四个图形，其中能表示从集合 M 到集合30|,20|yyNxxMN 的函数关系的有 （）A、0个 B、1个 C、2个 D、3个xxxx1211122211112222yyyy3OOOO二、函数的解析式与定义域函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例例 1 设是一次函数，且，求)(xf34)(xxff)(xf配凑法：配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式()f g x()f x()f g x()g x时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。()f x()g x例例 2 已知 ，求 的解析式221)1(xxxxf)0(x()f x三、三、换换元法：元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意()f g x()f x所换元的定义域的变化。.例例 3 已知，求xxxf2)1()1(xf四、代入法：四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例例 4 已知：函数的图象关于点对称，求的解析式)(2xgyxxy与)3,2()(xg五、构造方程五、构造方程组组法：法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例例 5 设求,)1(2)()(xxfxfxf满足)(xf例例 6 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式)(xf)(xg,11)()(xxgxf)()(xgxf和六、六、赋值赋值法：法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例例 7 已知：，对于任意实数 x、y，等式恒成立，求1)0(f)12()()(yxyxfyxf)(xf七、七、递递推法：推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例例 8 设是上的函数，满足，对任意的自然数 都有，求)(xfN1)1(fba,abbafbfaf)()()()(xf1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1；6.（05 江苏卷）函数的定义域为20.5log(43)yxx2 求函数定义域的两个难点问题1()x已知f的定义域是-2,5,求f(2x+3)的定义域。（2）(21)xx已知f的定义域是-1,3,求f()的定义域例 2 设，则的定义域为_2()lg2xf xx2()()2xffx变式练习：，求的定义域。24)2(xxf)(xf三、函数的三、函数的值值域域1 求函数值域的方法.直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y 的取值范围；适合分母为二次且R 的分式；x分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图）；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数必画草图求其值域；利用对号函数几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数1（直接法）2 3（换元法）2123yxx2()2242f xxx12 xxy4.（法）5.6.(分离常数法)432xxy11y22xx1xxy 7.(单调性)8.，31(24)21xyxx 3(1,3)2yxxx 111yxx 9(图象法)10(对勾函数)11yxx 232(12)yxxx 82(4)yxxx11.(几何意义)21yxx四四函数的奇偶性1定定义义:2.性性质质：y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,y若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则 f(0)=0奇奇=奇 偶偶=偶 奇奇=偶 偶偶=偶 奇偶=奇两函数的定义域D1，D2，D1D2要关于原点对称3 奇奇偶偶性性的的判判断断看定义域是否关于原点对称看f(x)与f(-x)的关系1 已知函数是定义在上的偶函数.当时，则当)(xf),()0,(x4)(xxxf时，.),0(x)(xf2 已知定义域为的函数是奇函数。（）求的值；（）若对任意的，R12()2xxbf xa,a btR不等式恒成立，求的取值范围；22(2)(2)0f ttftkk.3 已知在（1，1）上有定义，且满足)(xf),1()()()1,1(,xyyxfyfxfyx有证明：在（1，1）上为奇函数；)(xf4 若奇函数满足，则_)(Rxxf1)2(f)2()()2(fxfxf)5(f五、函数的五、函数的单调单调性性1、函数单调性的定义：2 设是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相反，则 xgfy 在 M 上是减函数；若 f(x)与 g(x)的单调性相同，则在 M 上是增函数。xgfy xgfy 2 例 函数对任意的，都有，并且当时，)(xfRnm,1)()()(nfmfnmf0 x，1)(xf 求证：在上是增函数；若，解不等式)(xfR4)3(f2)5(2aaf3 函数的单调增区间是_)26(log21.0 xxy4(高考真题)已知是上的减函数，那么的取值范围是(31)4,1()log,1aaxa xf xx x(,)a（A）（B）（C）（D）(0,1)1(0,)31 1,)7 31,1)7一：函数一：函数单调单调性的性的证证明明 1.取值 2，作差 3，定号 4，结论二：函数二：函数单调单调性的判定，求性的判定，求单调单调区区间间 322xxy322xxy452xxy3212xxy )23(log22xxyxxy4221xxy21251212xxy （）（）xaxy0axaxy0a三：函数三：函数单调单调性的性的应应用用 1.比比较较大小大小 例：如果函数对任意实数 都有cbxxxf2)(t，那么 A、B、C、C、)2()2(tftf)4()1()2(fff)4()2()1(fff)1()4()2(fff)1()2()4(fff.2.解不等式解不等式例：定义在（1，1）上的函数是减函数，且满足：，求实数的取值范围。()f x(1)()faf aa例：设 是定义在 上的增函数，且，求满足不等式 的 x 的取值范围.3.取取值值范范围围例:函数 在 上是减函数,则 的取值范围是_例：若是上的减函数，那么的取值范围是（）(31)41()log1aaxaxf xxxRaA.B.C.D.(0,1)1(0,)31 1,)7 31,1)74.二次函数最二次函数最值值例：探究函数在区间的最大值和最小值。12)(2axxxf 1,0例：探究函数在区间的最大值和最小值。12)(2xxxf1,aa5.抽象函数抽象函数单调单调性判断性判断例：已知函数的定义域是，当时，且)(xf),0(1x0)(xf)()()(yfxfxyf 求，证明在定义域上是增函数)1(f)(xf如果，求满足不等式2 的的取值范围1)31(f)21()(xfxfx例：已知函数 f(x)对于任意 x，yR，总有 f(x)f(y)f(xy)，且当 x0 时，f(x)1 时，f(x)0.x1x2(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的单调性；(3)若 f(3)1，解不等式 f(|x|)0,a1)互为反函数名称指数函数对数函数一般形式Y=ax(a0 且 a1)y=logax(a0,a1)定义域(-,+)(0,+)值域(0,+)(-,+)过定点（，1）（1，）指数函数 y=ax与对数函数 y=logax(a0,a1)图象关于 y=x 对称图象单调性a 1,在(-,+)上为增函数a1,在(0,+)上为增函数a1?y0?y0)的图象，可将 y=f(x)的图象上的每一点的纵坐标伸长(a1)或缩短(0a0)的图象，可将 y=f(x)的图象上的每一点的横坐标缩短(a1)或伸长(0a1)到原来的 a 倍。十函数的其他性十函数的其他性质质 1函数的单调性通常也可以以下列形式表达：单调递增1212()()0f xf xxx 单调递减1212()()0f xf xxx2函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：奇函数()()0f xfx 偶函数()()0f xfx3函数的凸凹性：凹函数（图象“下凹”，如：指数函数）1212()()()22xxf xf xf 凸函数（图象“上凸”，如：对数函数）1212()()()22xxf xf xf