人教版九年级数学上个单元知识点总结.pdf

第二十二章一元二次方程第二十二章一元二次方程一、一元二次方程 1、一元二次方程含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。二、降次-解一元二次方程 1降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次)2、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 x2=b 或的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是 b 的平方根，当时，当 b0 时，方程有两个实数根。当=0 时，方程有两个相等实数根。当0 时，方程没有实数根。5、因式分解法：先将一元二次方程因式分解，化成两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种解叫因式分解法。这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。三、一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即四、一元二次方程根与系数的关系 如果方程的两个实数根是，由求根公式可算出，。第二十二章第二十二章 二次函数二次函数一、二次函数概念：一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2.二次函数的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式，的最高次数是 2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二、二次函数的基本形式二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2.的性质：上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3.的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4.的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值 三、二次函数三、二次函数图图象的平移象的平移 1.平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）四、二次函数四、二次函数与与的比的比较较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中五、二次函数五、二次函数图图象的画法象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与 轴的交点，（若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.六、二次函数六、二次函数的性的性质质 1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随 的增大而减小；当时，随 的增大而增大；当时，有最小值 2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随 的增大而增大；当时，随 的增大而减小；当时，有最大值 七、二次函数解析式的表示方法七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：（，为常数，）；2.顶点式：（，为常数，）；3.两根式：（，是抛物线与 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的八、二次函数的图图象与各象与各项项系数之系数之间间的关系的关系 1.二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2.一次项系数 在二次项系数 确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在 轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是 轴；当时，即抛物线对称轴在 轴的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在 轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是 轴；当时，即抛物线对称轴在 轴的左侧总结起来，在 确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”总结：3.常数项 当时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；当时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为；当时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与 轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的九、二次函数解析式的确定：九、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式十、二次函数十、二次函数图图象的象的对对称称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1.关于 轴对称 关于 轴对称后，得到的解析式是；关于 轴对称后，得到的解析式是；2.关于 轴对称 关于 轴对称后，得到的解析式是；关于 轴对称后，得到的解析式是；3.关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180）关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是 5.关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十一、二次函数与一元二次方程：十一、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与 轴的交点个数：当时，图象与 轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离.当时，图象与 轴只有一个交点；当时，图象与 轴没有交点.当时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有；当时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 2.抛物线的图象与 轴一定相交，交点坐标为，；3.二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合；抛物线与轴有两个交点二次三项式的值一元二次方程有两个不相等实根可正、可零、可负抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母 的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：十二、二次函数十二、二次函数图图像参考：像参考：十三、函数的十三、函数的应应用用二次函数应用 第二十三章第二十三章 旋旋转转一、旋转 1、定义：把一个图形绕某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中 O 叫做旋旋转转中心中心，转动的角叫做旋旋转转角角。2、性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。旋转前后的图形全等。二、中心对称 1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心中心对对称称图形，这个点就是它的对对称中心称中心。2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。3、判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。4、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。5、关于原点对称的点的特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点 P（x，y）关于原点的对称点为 P（-x，-y）6、关于 x 轴对称的点的特征：两个点关于 x 轴对称时，它们的坐标中，x 相等，y 的符号相反，即点 P（x，y）关于 x 轴的对称点为 P（x，-y）。7、关于 y 轴对称的点的特征：两个点关于 y 轴对称时，它们的坐标中，y 相等，x 的符号相反，即点 P（x，y）关于 y 轴的对称点为 P（-x，y）。第二十四章第二十四章 圆圆 一、圆的相关概念 1、圆的定义：在一个个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆圆心心，线段 OA 叫做半径半径。2、圆的几何表示：以点 O 为圆心的圆记作“O”，读作“圆O”二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的 AB）（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。（如途中的 CD）直径等于半径的 2 倍。（3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（4）弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以 A，B 为端点的弧记作“”，读作“圆弧 AB”或“弧AB”。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）三、垂径定理及其推论 1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。四、圆的对称性 1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。六、圆周角定理及其推论 1、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。七、点和圆的位置关系 设O 的半径是 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则有：dr点 P 在O 外。八、过三点的圆 1、过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）：圆内接四边形对角互补。九、反证法 先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。十、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d,那么：直线 l 与O 相交dr；十一、切线的判定和性质 1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。十二、切线长定理 1、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。十三、三角形的内切圆 1、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。十四、圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为 R 和 r，圆心距为 d，那么两圆外离dR+r两圆外切d=R+r两圆相交R-rdr）两圆内含dr）4、两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。十五、正多边形和圆 1、正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。2、正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。十六、与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。2、正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。3、正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。4、中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。十七、正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形。一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心。2、正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。3、正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。十八、弧长和扇形面积 1、弧长公式：n的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为2、扇形面积公式：其中 n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。3、圆锥的侧面积：其中 l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。4、弦切角定理：弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。即：BAC=ADC5、切割线定理PA 为O 切线，PBC 为O 割线，则 第二十五章第二十五章 概率初步概率初步一、概率 1随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件一般的，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性大小有可能不同。(确定事件：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，)二、概率1.概率：（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件 A 发生的频率 mn会稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率，记为 P（A）=p。（频频率接近概率）率接近概率）（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现。概率反映可能性大小的一般规律。（3）概率取值范围：0p1（4）必然发生的事件的概率 P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0（5）事件发生的可能性越大，概率越接近与 1，事件发生的可能性越小，概率越接近于 0三、求概率方法一般地，如果在一次一次实验实验中中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件发生的概率为 P（A）=mn。1.列举法：一次一次实验实验中，中，涉及 1 个因素，并且可能出现的结果数目数目有限有限多个，并且它们发生的可能性都相等可能性都相等，把可能的结果都列出来，求 P（A）=mn 的方法。2.列表法：当一次一次实验实验要涉及 2 个因素，并且可能出现的结果数数目目较较多多，并且它们发生的可能性都相等可能性都相等，为不重不漏地列出所有可能的结果，采用列表法。（频频率等于概率）率等于概率）（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，求出概率 3.树状法：当一次一次实验实验要涉及 3 个个或更多的因素，列表法就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法（频频率率等于概率）等于概率）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果 n 4.游戏公平性（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平 四、利用频率估计概率1.利用频率估计概率（频频率接近概率）率接近概率）（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值 p 就是这个事件的概率（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率2.模拟实验（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟实验（2）模拟实验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果（3）模拟实验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据新课标要求，只要设计出一个模拟实验即可