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理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 1 页 共 25 页v第一章第一章 质点运动学质点运动学本章提要本章提要1、参照系：描述物体运动时作参考的其他物体。2、运动函数：表示质点位置随时间变化的函数。位置矢量：ktzjtyitxtrrrrrrr)()()()(位置矢量：)()(trttrrrrr一般情况下：rrrr3、速度和加速度：；dtrdvrr22dtrddtvdarrr4、匀加速运动：常矢量 ；art avvrrr02210t atvrrrr5、一维匀加速运动：；atvv02210attvxaxvv22026、抛体运动：；0 xagay；cos0vvxgtvvysin0；tvxcos02210singttvy7、圆周运动：tnaaarrr 法向加速度：22RRvan 切向加速度：dtdvat8、伽利略速度变换式：uvvvrv 【典型例题分析与解答典型例题分析与解答】1.如图所示如图所示,湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为 h，滑轮到原，滑轮到原船位置的绳长为船位置的绳长为 l。当人以匀速当人以匀速 v 拉绳，船运动的速度拉绳，船运动的速度为多少为多少?v 解：取如图所示的坐标轴,由题知任一时刻由船到滑轮的绳长为 l=l0-vt则船到岸的距离为：22022)(-h-vtl-hlx因此船的运动速率为：oxvlvh理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 2 页 共 25 页20 vtlhlvdtdxv2.一质点具有恒定的加速度一质点具有恒定的加速度,在在 t=0 时刻时刻,其速度为零其速度为零,位置矢量位置矢量(m).求求:2)46(m/sjiarrrirrr10(1)在任意时刻的速度和位置矢量在任意时刻的速度和位置矢量;(2)质点在质点在 xoy 平面的轨迹方程平面的轨迹方程,并画出轨迹的示意图并画出轨迹的示意图.解.(1)由加速度定义,根据初始条件 t0=0 v0=0 可得 dtvdarr ttv)dtji(dtavd00046rrrr smj ti tv/)46(rr由及 t0=0得 dtrdvrrirrrrr100ttrrdtj ti tdtvrd00)46(0rrrrmjtitjtitrr2)310(2322220rrrr(2)由以上可得质点的运动方程的分量式 x=x(t)y=y(t)即 x=10+3t2y=2t2 消去参数 t,得质点运动的轨迹方程为 3y=2x-20这是一个直线方程.由知mirrr100 x0=10m,y0=0.而直线斜率 ,32tgady/dxk则轨迹方程如图所示1433oa3.质点的运动方程为质点的运动方程为和和,(SI)试求试求:(1)初速度的大小和方向初速度的大小和方向;(2)加速度加速度23010tt-x22015tt-y 的大小和方向的大小和方向.解.(1)速度的分量式为 t-dx/dtvx6010 t-dy/dtvy4015当 t=0 时,v0 x=-10m/s,v0y=15m/s,则初速度的大小为m/s01820200.vvvyx而 v0与 x 轴夹角为 1412300oxyvvarctga (2)加速度的分量式为 260-xxmsdtdva240-yymsdtdva则其加速度的大小为 ms-217222.aaayxXy3y=2x-2010理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 3 页 共 25 页a 与 x 轴的夹角为 (或)1433o-aaarctgxy91326o4.一质点以一质点以 25m/s 的速度沿与水平轴成的速度沿与水平轴成 30角的方向抛出角的方向抛出.试求抛出试求抛出 5s 后后,质点的速度和距抛出点质点的速度和距抛出点的位置的位置.解.取质点的抛出点为坐标原点.水平方向为 x 轴竖直方向为 y 轴,质点抛出后作抛物线运动,其速度为 cos0vvx gtvvysin0则 t=5s 时质点的速度为 vx=21.65m/s vy=-36.50m/s质点在 x,y 轴的位移分别为 x=v0 xt=108.25m m060220.-gtt-v yy质点在抛出 5s 后所在的位置为 m)06025108(j.-i.j yi xr rrrrr5.两辆小车两辆小车 A、B 沿沿 X 轴行驶轴行驶,它们离出发点的距离分别为它们离出发点的距离分别为 XA=4t+t2,XB=2t2+2t3(SI)问问:(1)在它们在它们刚离开出发点时刚离开出发点时,哪个速度较大哪个速度较大?(2)两辆小车出发后经过多少时间才能相遇两辆小车出发后经过多少时间才能相遇?(3)经过多少时间小车经过多少时间小车 A和和 B 的相对速度为零的相对速度为零?解.(1)t/dtdxvAA24 264tt/dtdxvBB当 t=0 时,vA=4m/s vB=0 因此 vA vB (2)当小车 A 和 B 相遇时,xA=xB 即 322224tttt解得 t=0、1.19s -1.69s(无意义)(3)小车 A 和 B 的相对速度为零,即 vA-vB=0 3t2+t-2=0解得 t=0.67s.-1s(无意义).第二章第二章 质点力学（牛顿运动定律）质点力学（牛顿运动定律）本章提要本章提要1、牛顿运动定律牛顿第一定律 时 常矢量oF vvv牛顿第二定律 kmaimaimaamFzyxvvvvv牛顿第三定律 FFvvv0vxvyXY理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 4 页 共 25 页2、技术中常见的几种力：重力 弹簧的弹力 压力和张力gmPvvkxf 滑动摩擦力 Nfkk 静摩擦力 Nfss3、基本自然力：万有引力、弱力、电磁力、强力。4、用牛顿运动定律解题的基本思路：认物体看运动查受力（画示力图）列方程5、国际单位制（SI）量纲：表示导出量是如何由基本量组成的幂次式。【典型例题分析与解答典型例题分析与解答】1.一木块在与水平面成一木块在与水平面成 a 角的斜面上匀速下滑角的斜面上匀速下滑.若使它以速度若使它以速度 v0 沿此斜面向上滑动沿此斜面向上滑动,如图所示如图所示.证明证明它能沿该斜面向滑动的距离为它能沿该斜面向滑动的距离为 v02/4gsina.证.选如图所示坐标,当木块匀速下滑时,由牛顿第二定理有 mgsina-f=0 因此木块受到的摩擦阻力为 f=mgsina (1)当木块上行时,由牛顿第二定律有-mgsina-f=ma (2)联立(1)(2)式可得 a=-2gsina式中负号表示木块沿斜面向上作匀减速直线运动.木块以初速 v0开始向上滑至某高度时,v=0,由v2=v02+2as 可得木块上行距离为 s=-v02/2a=v02/4gsina2.如图所示如图所示,已知已知 F=4.0104N,m1=3.0103kg,m2=2.0103kg 两物体与平面间的摩擦系数为两物体与平面间的摩擦系数为 0.02,设设滑轮与绳间的摩擦系数均不计算滑轮与绳间的摩擦系数均不计算.求质量求质量 m2物体的速度及绳对它的拉力物体的速度及绳对它的拉力.解.如图所示,设 m2的加速度为 a2,m1的加速度为 a1.由牛顿第二定律分别列出 m1,m2的运动方程为 22221111amgm-Tamgm-F-T由于滑轮质量、滑轮与绳之间的摩擦力不计,则有021-TT考虑到,且绳子不被拉长,则有2211T,TTT122aa 联立上述各式,可得2121227844)2(22-m.s.mmmmgF-a N.agmT422210351)(3.在一只半径为在一只半径为 R 的半球形碗内的半球形碗内,有一粒质量为有一粒质量为 m 的小钢球的小钢球.当小钢球以角速度当小钢球以角速度 在水平面内沿碗在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时内壁作匀速圆周运动时,它距碗底有多高它距碗底有多高?解.如图所示,钢球以角速度 在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动.当它距碗底高为v0 xyFNfPPFNfaFa1m1m2m1gm2gFN1f1f2T1T2N21T2T2T理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 5 页 共 25 页h 时,其向心加速度为，钢球所受到的作用力为重力 P 和碗壁对球的sin22Rran支持力 N,其合力就是钢球匀速圆周运动所需的向心力 F.由图有 sinsin2mRNF则 (1)2mRN 考虑到钢球在垂直方向受力平衡,则有 (2)mgPNcos由图可知 .故有 /RR-h)(cos2R-g/h 4.一质量为一质量为 m 的小球最最初位于如图所示的的小球最最初位于如图所示的 A 点点,然后沿半径为然后沿半径为 r 的光滑圆弧的内表面的光滑圆弧的内表面 ADCB 下下滑滑.试求小球在点试求小球在点 C 时的角速度和对圆弧表面的作用力时的角速度和对圆弧表面的作用力.解.取图所示的坐标系,小球在运动过程中受重力 P 和圆弧内表面的作用力 N.由牛顿第二定律得小球在切向方向运动方向方程为 ttmaF 即 mdv/dta-mgsin由 可得./dtrdds/dtv/vrddt将其代入上式后,有 d-rgvdvsin根据小球从 A 运动到 C 的初末条件对上式两边进行积分,则有 得2)sin(0drgvdvvcos2rgv 小球在 C 点的角速度为 /rgv/rcos2小球在法线方向的运动方程为 Fn=man即 cos2cos2mg/rmvN-mg由此得小球对圆弧的作用力为 cos3mg-NN5.有一个可以水平运动的倾角为有一个可以水平运动的倾角为 的斜面的斜面,斜面上放一质量为斜面上放一质量为 m 的物体的物体,物体与斜面间的静摩擦系数物体与斜面间的静摩擦系数为为,如果要使物体在斜面上保持静止如果要使物体在斜面上保持静止,斜面的水平加速度应如何斜面的水平加速度应如何?解.物体 m 在斜面上保持静止,因而具有和斜面相同的加速度 a.可以直观的看出,如果斜面的加速度太小,则物体将向下滑;如果斜面的加速度过大,则物体会向上滑.(1)假定物体静止在斜面上,但有向下滑的趋势;物体受力分析如图(1)所示,由牛顿运动定律有)(sincos-am-Nf0cossin-mgNf则 Nfgaaaa-asincoscossinFPNRhADCBOraatmganaaaN Nfmgxy理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 6 页 共 25 页(1)假定物体静止在斜面上,但有向上滑的趋势;物体受力分析如图(2)所示,由牛顿运动定律有)(sincos-am-Nf0cossin-mgNf则 Nfgaaaaasincoscossin故gaaaaagaaaa-sincoscossinsincoscossin第三章第三章 功与能功与能本章提要本章提要1、功：rdFdWvv BABABAzyxdzfdyfdxFdrFrdFdWW)(cosvv2、动能定理：21212221mvmvW3、保守力与非保守力：LrdFW0vv保LrdFW0vv非4、势能：对保守内力可以引入势能概念 万有引力势能：以两质点无穷远分离为势能零点。rmmGEp21 重力势能：以物体在地面为势能零点。mghEp 弹簧的弹性势能：以弹簧的自然伸长为势能零点。221kxEp5、机械能受恒定律：在只有保守内力做功的情况下，系统的机械能保持不变。1、用力推地面上的石块、用力推地面上的石块.已知石块的质量为已知石块的质量为 20kg,力的方向和地面平行力的方向和地面平行.推力随位移的增加而线性增推力随位移的增加而线性增加加,即即 F=6x(SI).试求石块由试求石块由 x1=16m 移到移到 x2=20m 的过程中的过程中,推力所作的功推力所作的功.解.由于推力在作功过程中是一变力,按功的定义有J-xdxxdFWxx432)1620(3622201621rr2、一颗速率为、一颗速率为 700m/s 的子弹的子弹,打穿一木块后速率降为打穿一木块后速率降为 500m/s.如果让它继续穿过与第一块完全相同如果让它继续穿过与第一块完全相同的第二块木板的第二块木板.求子弹的速率降到多少求子弹的速率降到多少?解.由动能定理可知,子弹穿过第一块和第二块木板时克服阻力所作的功分别为aaN-fmgxy理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 7 页 共 25 页222123212212122211mv-mvWmv-mvW式中 v1为子弹初速率,v2为穿过第一块木板后的速率,v3为穿过第二块木板后的速率.由题意知两块木板完全相同,因此子弹穿过木板过程中克服阻力所作的功可认为相等,即 W1=W2,故有 2221232121212221mv-mvmv-mv由此得子弹穿过第二块木板后的速率为 m/s-vvv1002212233、.用铁锤把钉子敲入木板用铁锤把钉子敲入木板.设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比.若第一次敲击能把若第一次敲击能把钉子打入木板钉子打入木板.第二次打击时第二次打击时,保持第一次打击钉子的速度保持第一次打击钉子的速度,那么第二次能把钉子打多深那么第二次能把钉子打多深.m101.0-2解.锤敲钉子使钉子获得动能.钉子钉入木板是使钉子将获得的动能用于克服阻力作功.由于钉子所受阻力 f 与进入木板的深度 x 成正比,即 f=kx,其中 k 为阻力系数.而锤打击钉子时,保持相同的速度,故钉子两次进入木板过程中所作功也相等,所以有 xkxdxkxdx01.001.00mx0141.0即钉子经两次敲击进入木板的总深度为 0.0141m.由此可知第二次打击使钉子进入木板的深度为 m.x-xd0041014、一半径为、一半径为 R 的光滑球固定在水平面上的光滑球固定在水平面上.另有一个粒子从球的最高点由静止沿球面滑下另有一个粒子从球的最高点由静止沿球面滑下.摩擦力略摩擦力略去不计去不计.求粒子离开球的位置以及粒子在该位置的速度求粒子离开球的位置以及粒子在该位置的速度.解.如图所示,粒子在光滑球面上滑动时仅受球面支持力和地球引力 mg 的作用.由于 N 始终与球的运动方向垂直,故系统机械能守恒.当粒子从最高点 A 滑至离开球的位置 B 时,有 cos221mgR mv mgR根据牛顿第二定律,有21cosmvNmgR而粒子刚好离开时,N=0.因此有coscos21mgRmgRmgR则物体刚离开球面处的角位置为此时,粒子的速率为RggRv32cosv 的方向与 P 夹角为oo8.4190a5、一劲度系数为、一劲度系数为 K 的水平轻弹黉的水平轻弹黉,一端固定在墙上一端固定在墙上,另一端系一质量为另一端系一质量为 M 的物体的物体 A 放在光滑的水平放在光滑的水平面上面上.当把弹黉压缩当把弹黉压缩 x0后后,再靠着再靠着 A 放一质量为放一质量为 m 的物体的物体 B,如图所示如图所示.开始时系统处于静止开始时系统处于静止,若不计一若不计一切摩擦切摩擦.试求试求:(1)物体物体 A 和和 B 分离时分离时,B 的速度的速度;(2)物体物体 A 移动过程中离开移动过程中离开 o 点的最大距离点的最大距离.解.(1)以 A、B 及弹黉为系统,假定 A、B 分离时的共同速度为 v.由机械能守恒定律,有2021221)(kxvmMo248arccos32.RoPNvABA Bx0 x理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 8 页 共 25 页则 0)(xmMK/v(2)若设 x 为物体 A 离开 o 点的最大距离,由系统机械能守恒,有221221kxMv 则0)(xmMM/x第四章第四章 动量动量本章提要本章提要1、动量定理：合外力的冲量等于质点（或质点系）动量的增量。21ppdtFv对于质点系iippvv2、动量受恒定律：系统所受合外力为零时，常矢量。iippvv3、质心的概念 质心的位矢：iiiiiicrmmmrmr)1(vvvdmrmrcvv14、质心运动定律：质点系所受的合外力等于其总质量乘以质心的加速度。camFvv 质点系的动量受恒等同于它的质心速度不变。1、如图所示、如图所示,质量为质量为 m、速度为、速度为 v 的子弹的子弹,射向质量为射向质量为 M 的靶的靶,靶中有一小孔靶中有一小孔,内有劲度系数为内有劲度系数为 k 的的弹黉弹黉,此靶最初处于静止状态此靶最初处于静止状态,但可在水平面作无摩擦滑动但可在水平面作无摩擦滑动.求子弹射入靶内弹黉后求子弹射入靶内弹黉后,弹黉的最大压缩距弹黉的最大压缩距离离.解.质量为 m 的子弹与质量为 M 的靶之间的碰撞是从子弹与固定在靶上的弹黉接触时开始的,当弹黉受到最大压缩时,M 和 m 具有共同的速度 v1,此时弹黉的压缩量为 x0.在碰撞过程中,子弹和靶组成的系统在水平方向上无外力作用,故由动量守恒定律可得 (1)1)(vMmmv在碰撞过程中,系统的机械能守恒,有 (2)20212121221)(kxvMmmv联立(1)(2)式,得)(0MmkmMvx2、质量为、质量为、速率为、速率为的粒子的粒子 A,与另一个质量为其一半而静止的粒子与另一个质量为其一半而静止的粒子 Bkg107.2-23m/s106.07Mmv理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 9 页 共 25 页发生完全弹性的二维碰撞发生完全弹性的二维碰撞,碰撞后粒子碰撞后粒子 A 的速率为的速率为.求求(1)粒子粒子 B 的速率及相对粒子的速率及相对粒子 Am/s105.07原来速度方向的偏角原来速度方向的偏角;(2);粒子粒子 A 的偏转角的偏转角.解.取如图所示的坐标.当 A、B 两粒子发生碰撞时,系统的动量守恒.在 xoy 平面内的二维直角坐标中,有cosmvcosmv21mvB221A222A1xBxAmvmvinsmvsinmv0B221A2由碰撞前后系统机械能守恒,有2A2212B2212A121mv(m/2)vmv则碰撞后粒子 B 的速率为m/s.104.69v7B2粒子 B 相对于粒子 A 原方向的偏转角,654o粒子 A 的偏转角2022oa3、如图所示为一弹黉振子、如图所示为一弹黉振子,弹黉的劲度系数为弹黉的劲度系数为 K,质量不计质量不计.有一质量为有一质量为 m、速度为、速度为 v 的子弹打入质的子弹打入质量为量为 M 的物体的物体,并停留在其中并停留在其中,若弹黉被压缩的长度为若弹黉被压缩的长度为 x,物体与平面间的滑动摩擦系数为物体与平面间的滑动摩擦系数为,求子弹求子弹的初速度的初速度.解.以 M、m 和弹黉为研究对象,系统在水平方向动量守恒,有 mv=(m+M)u (1)子弹打入物体后,在弹黉被压缩的过程中,由功能原理,可得 (2)M)gx(mKxM)u(m221221联立(1)(2)式得gx2m)/(MKxmMmv24、质量为、质量为 m 的物体从斜面上高度为的物体从斜面上高度为 h 的的 A 点处由静止开始下滑点处由静止开始下滑,滑至水平段滑至水平段 B 点停止点停止.今有一质量今有一质量为为 m 的子弹射入物体中的子弹射入物体中,使物体恰好能返回到斜面上的使物体恰好能返回到斜面上的 A 点处点处.求子弹的速率求子弹的速率.解.以地球和物体为研究系统,物体从 A 处滑到 B处的过程中,由功能原理可得摩擦力的功的数值为 Wf=mgh取子弹和物体为系统,子弹射入物体的过程系统的动量守恒,有 mv=2mu再以地球、物体和子弹为系统,由功能原理有2mgh-(2m)u2W221f由此可得gh4v 5、如图所示、如图所示,质量为质量为 m 的小球沿斜坡在的小球沿斜坡在 h 处由静止开始无摩擦滑下处由静止开始无摩擦滑下,在最低点与质量为在最低点与质量为 M 的钢块的钢块作完全弹性碰撞作完全弹性碰撞.yxvA1VB2VA2omMvAmBmh理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 10 页 共 25 页求:(1)碰撞后小球沿斜坡上升的高度.(2)若钢块和地面间摩擦系数为,碰撞后钢块经过多长时间后停下来.解.小球沿斜坡滑下过程中系统机械能守恒221mvmgh 小球 m 以速度 v 在斜坡底端和 M 发生完全弹性碰撞,有21Mvmvmv22212121221Mvmvmv小球沿斜坡上升过程中系统机械能守恒,有mghmv2121若钢块 M 在平面上运动经秒后停下来,由动量定理有t2Mv-0tMg-联立求解可得 hmMmMh2ghmMmt/2)(2第五章第五章 刚体的转动刚体的转动本章提要：本章提要：1、刚体的定轴转动：角速度：dtd角加速度；dtd匀加速转动：t022100tt22022、刚体的定轴转动定律：JM 3、刚体的转动惯量：iiirmJ2dmrJ2平行轴定理2mdJJc4、力矩的功：MdW转动动能：221JEk刚体定轴转动的动能定理：2021221JJW刚体的重力势能：cpmghE AmMh理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 11 页 共 25 页机械能守恒定律：只有保守力做功时，常量pkEE5、角动量：质点的角动量：vrmPrLrrrrr质点的角动量定理：LdtdMrr质点的角动量守恒定律：常矢量vmrLMrrr ,0刚体定轴转动的角动量：JL 刚体定轴转动的角动量定理：LdtdM 刚体定轴转动的角动量受恒定理：当合外力矩为零时 常量J1、设某机器上的飞轮的转动惯量为 63.6kg.m2,转动的角速度为 31.4s-1,在制动力矩的作用下,飞轮经过 20s 匀减速地停止转动,求角加速度和制动力矩.解.由题意知飞轮作匀减速运动,角加速度 应为常量,故有.-1.57rad/s31.4)/20-(0)/t-(0根据转动定律,可得制动力矩-99.9N.m(-1.57)63.6JM式中负号表示角加速度、制动力矩的方向均与飞轮转动的角速度方向相反.2、如图(a)所示为一阿脱伍德(Atwood)机.一细而轻的绳索跨过一定滑轮,绳的两端分别悬有质量为m1和 m2的物体,且 m1m2.设定滑轮是一质量为 M、半径为 r 的圆盘,绳的质量不计,且绳与滑轮间无相对运动.试求物体的加速度和绳的张力.如果略去滑轮的运动,将会得到什么结果?解.分别作出滑轮 M,物体 m1和 m2的受力分析图如图(b)所示.由于绳索质量不计,且长度不变,故 m1和 m2两物体运动的加速度 a 和 a大小相等,均为 a,但方向相反.对物体 m1和 m2以及滑轮 M 分别应用牛顿第二定律和转动定律,可得 m1g-T1=m1a (1)T2-m2g=m2a (2)(3)J)rT-(T21而 (4)221MrJ (5)ra 联立(1)(2)(3)(4)(5)式,可得 gM/2mmm-ma2221 gmM/2mmM/22mTl2221gmM/2mmM/22mT22212如果略去滑轮的运动,即 T1=T2=T,有m2m1MaaT2P2T1P1T1T2PN理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 12 页 共 25 页 2121mm)gm-(ma212121mmgm2mTTT3、质量为 0.50kg,长为 0.40m 的均匀细棒,可绕垂直于棒的一端的水平轴转动.如将此棒放在水平位置,然后任其下落.求:(1)在开始转动时的角加速度;(2)下落到铅直位置时的动能;(3)下落到铅直位置时的角速度.解.(1)如图所示,棒绕端点 o 的转动惯量 J=ml2/3.在水平位置时,棒所受的重力矩 =mgl/2,根据转动定律,得-236.8rad.s)3g/(2M/Jl (2)取棒和地球为系统,以棒处于竖直位置时其中心点 A 处为重力势能零点.在棒的转动过程中只有保守内力作功,系统的机械能守恒.棒从静止时的水平位置下落到竖直位置时,其动能为 Ek=mgl/2=0.98J (3)棒在竖直位置时的动能就是此刻棒的转动动能,则有 Ek=1/2 J2,所以竖直位置时棒的角速度为8.57rad/s3g/J2Ekl4、如图所式,A、B 两个轮子的质量分别为 m1和 m2,半径分别为 r1和 r2.另有一绳绕在两轮上,并按图示连接.其中 A 轮绕固定轴 o 转动.试求:(1)B 轮下落时,其轮心的加速度;(2)细绳的拉力.解.取竖直向下为 x 轴正向,两轮的受力分析如图示.A 轮绕轴 o 作定轴转动,故有 且 A211211rmr T1AA/ra故 (1)A121am T 对于 B 轮除了绕其轴 C 的转动外,还有 B 轮质心 C 的平动.根据牛顿定律,B 轮质心运动方程为 (2)c22amT-gm又根据转动定律,对 B 的转动有 B222212rmTr且有 2BB/ra故 (3)B221amT 而 T=T aA=ac-aB (4)联立求解可得 2T/m1=ac-2T/m2故 (5)21c212m2mammT联立(2)(5)式可得 2121c2m3m)gm2(ma2121c2m3mgmm)a-(gmTAPr1m1ABr2m2r1m1ATTp2Bx理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 13 页 共 25 页5、在图示的装置中,弹黉的劲度系数 K=2.0N/m,滑轮的转动惯量 J=0.50kg.m2,半径 R=0.30m,物体质量 m=610-2kg.开始时用手将物体托住使弹黉为原长,系统处于静止状态.若不计一切摩擦,求物体降落 0.4m 处的速率.解.以滑轮、物体、弹黉和地球为系统,在物体下落过程中,系统的机械能守恒.设物体下落 h=0.4m时的速率为 v,则 221221221mvJ(v/R)Khmgh0.16m/s)(J/RmKh)h-(2mgv26、如图所示,质量为 m1和 m2 的两物体通过定滑轮用轻绳连接在一起,滑轮与轴、物体与桌面的摩擦忽略不计.当 m1由静止下降距离 h 时,求:(1)若滑轮质量不计,此时 m1的速率是多少?(2)若滑轮的转动惯量 J=MR2/2,此时 m1的速率又为多少?(3)若在(2)中把 m1换成拉力 F,此时滑轮的角加速度为多少?解.(1)物体在下落过程中系统的机械能守恒,有 221211)vm(mghm)mgh/(m2mv211 (2)考虑到滑轮的转动,在物体下落的过程中,系统的机械能仍然守恒,因此有 221221212J)vm(mghmM/2)mgh/(m2mv211 (3)由转动定律,有 JT)R-(F而 RmmT22a则 M/2)RF/(m2第六章第六章 气体动理论气体动理论本章提要本章提要1、系统和外界，宏观量和微观量；2、平衡态和平衡过程；3、理想气体状态方程：RTmPV普适气体常数：-1-1kmol8.31JR阿佛加德罗常数：123mol10023.6AN玻尔兹曼常数：123kJ1038.1ANRkmRkm2m1h理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 14 页 共 25 页4、理想气体的压强：knvnmP322315、温度的统计概念：kT23k6、能均分定理：每一个自由度的平动动能为：kT21一个分子的总平均动能为：kT2i理想气体的内能为：molMRT2iME7、速率分布函数：NdvdNvf)(三速率：最概然速率RT2kT2mvp 平均速率 RT8kT8mv 方均根速率RT3kT32mv8、分子的平均自由程：Pdnd222kT219、输送过程：内摩擦（输送分子定向动量）热传导（输送无规则运动能量）扩散（输送分子质量）1、目前实验室所能获得的真空,其压强为 1.3310-8pa.试问在 27的条件下,在这样的真空中每立方厘米内有多少个气体分子?解.由 P=nkT 可得单位体积内的分子数 n=P/(kT)=3.211012m-3故每立方厘米内的分子数为 3.21106个2、2g 氢气装在 2010-3m3的容器中,当容器内的压强为 3.99104Pa 时,氢气分子的平均平动动能为多大?解.理想气体分子的平均平动动能取决于温度,且有,而一定量气体在确定的体积和kTmv23221压强的前提下,其温度可由状态方程得 则 MRPVTJ101.99MRPV23kmv21-2213、求温度为 127的氢气分子和氧气分子的平均速率,方均根速率及最概然速率.解.分别按平均速率,方均根速率和最概然速率的计算公式,可求得氢分子相对应的各种速率为 m/s102.06RT/1.60v3理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 15 页 共 25 页 m/s102.23RT/1.73v32 m/s101.82RT/1.41v3p由于三种速率与分子的摩尔质量成反比,而,则氧分子的三种速率均为氢分子速率的 1/4.4/H0即 v0=5.16102m/s,m/s105.58v220 (vp)0=4.45102m/s4、在 3010-3m3的容器中装有 20g 气体,容器内气体的压强为 0.506105Pa,求气体分子的最概然速率 解.最概然速率,式中气体的温度 T 可根据状态方程,以压强 P 和体积 V 代替,即 RT/1.41vp,PV/(MR)T故 389m/sPV/M1.41vP5、收音机所用电子管的真空度为 1.3310-3Pa.试求在 27时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直经 d=3.010-8cm).解.由压强公式可得单位体积中的分子数 n=P/(kT)=3.211017m-3 分子的平均自由程为 7.77mP)d2kT/(2第七章第七章 热力学基础热力学基础本章提要1、准静态过程：过程中的每一个时刻，系统的状态都接近于平衡态。准静态过程中系统对外做的体积功 pdVdW 21VVPdVW2、热量：系统和外界或两个物体由于温度不同而交换的热运动能量。3、热力学第一定律：W)E(EQ12dWdEdQ4、理想气体的摩尔摩尔热容量：RC2iVRC22iP迈耶公式：摩尔热容比：RCCVPi2iCCVP理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 16 页 共 25 页5、理想气体的四种过程：等体过程：0PdVdWVRdTdTCEdQ2VViMMd)TR(T)T(TCEEQ12212V12ViMM等压过程：PdVdEdQP)T(TC )TR(T)T(TC PdVEEQ12P12212VV12P21MiMMV等温过程：0dT 0dE pdVdWdQTT 1212TTPPRTlnVVRTlnPdVQWMM绝热过程：0dQ)T(TCPdVW12VMa绝热方程：常量 常量 常量PVTV1TP16、循环过程：热循环（正循环）：系统从高温热源吸热，对外做功，向低温热源放热。循环效率：121QQ1QW致冷循环（逆循环）：系统从低温热源吸热，接收外界做功，向高温热源放热。致冷系数：21212QQQWQ7、卡诺循环：系统只与两个恒温热源进行热量交换的准静态循环过程。正循环的效率：12TT1c逆循环的致冷系数：212TTTc8、热力学第二定律：克劳修斯说法（热传导）开尔文说法（功热转换）9、可逆过程和不可逆过程 不可逆：各种实际宏观过程都是不可逆的，而它们的不可逆性又是相互沟通的。三个实例：功热转换、热传导、气体自由膨胀。理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 17 页 共 25 页可逆过程：外界条件改变无穷小的量就可以使过程反向进行的过程（其结果是系统和外界能同时回到初态），无摩擦的准静态过程是可逆过程。1、一定质量的空气,吸收了 1.17103J 的热量,并保持在 1.013105Pa 下膨胀,体积从 10-2m3增加到1510-3m3,问空气对外作了多少功?内能增加了多少?解.空气等压膨胀所作的功为 W=P(V2-V1)=5.07102J由热力学第一定律,可得空气内能的改变为WEQ J101.12W-QE32、100g 水蒸气自 120升到 140.问(1)在等体过程中,(2)在等压过程中,各吸收了多少热量.解.水蒸气为三原子分子,其自由自由度为 i=6,定体摩尔热容 Cv=(i/2)R,定压摩尔热容 Cp=(i/2+1)R,则 (1)等体过程中吸收的热量为 J102.77 )T-)R(T(M/)T-(T)C(M/dT)C(M/Q3122i12vvv (2)等压过程中吸收的热量为 J103.69 )T-1)R(T)(i/2(M/)T-(T)C(M/dT)C(M/Q31212ppp3、压强为 1.013105Pa,体积为 10-3m3的氧气 0加热到 100,问(1)当压强不变时,需要多少热量?(2)当体积不变时,需要多少热量?(3)在等压或等体过程中各作多少功?解.在给定状态下该氧气的摩尔数为 )/(RTPVM/11 (1)压强不变的过程即等压过程,氧气所需的热量为 130J)T-)(T/T(PV )T-)R(T/(RTPV)T-(T)C(M/Q12112712112712pp (2)体积不变的过程即等体过程,氧气所需的热量为 92.8J)T-)(T/T(PV )T-)R(T/(RTPV)T-(T)C(M/Q12112512112512vv (3)由热力学第一定律 得等压过程中氧气所作的功为WEQ 37.1J )T-)(i/2)R(T(M/-)T-1)R(T)(i/2(M/E-QW1212pp此结果亦可由 及 V1/V2=T1/T2得到.)V-P(VPdVW12p 在等体过程中氧气所作的功为 0)T-(T)C(M/-)T-(T)C(M/E-QW12v12vvv理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 18 页 共 25 页此结果亦可直接由 得到.0PdVWv4、如图所示,使 1mol 的氧气(1)由 a 等温的到 b;(2)由 a 等体的变到 c;再由 c 等压变到 b.试分别计算所作的功和所吸收的热量.解.(1)氧气在 a 到 b 的等温过程中所作的功为 J103.15)/Vln(VVP )/VRTln(VPdVW3abbbabMbaT由于等温过程中内能不变,由热力学第一定律,可得氧气在 a 到 b 过程中所WEQ吸收的热量为 Q=WT=3.15103J (2)由于等体过程中气体不作功,而等压过程中所作的功为,图中 ac 为等体过程,cb 为VPWP等压过程.因此,氧气在 acb 过程中所作的功为 W=Wac+Wcb=Wcb=Pc(Vb-Vc)=2.27103J氧气在 acb 过程中所吸收的热量为 ac 和 cb 两个过程中吸收热量之和,即 J102.27)V-(VP )R/(M/)VP-V P)(C-(C)(M/)T-(T)C(M/)T-(T)C(M/QQQ3cbcbbccpvcbpacvcbac5、一卡诺热机的低温热源温度为 7,效率为 40,若将其效率提高到 50,求高温热源的温度提高多少度?解.由卡诺热机的效率=1-(T2/T1)可知,具有相同低温热源而效率分别为 和 的两热机,其高温热源的温度分别为 T1=T2/(1-)T1=T2/(1-)因此,为提高效率而需提高的温度为 T=T1-T1=93.3K第八章第八章 静电场静电场本章提要：1、电荷的基本性质：两种电荷；量子性；电荷守恒；相对不变性2、库仑定律：两个静止的点电荷之间的作用力：0221041Errqqrr真空中的介电常数：212120mNC1085.83、电场力叠加原理：iiFFrrP（1.013105pa21o22.444.8V（10-3m3）cba理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 19 页 共 25 页4、电场强度：0qFErr5、场强叠加原理：iiEErri0i2ii0rrq41Err020rrdq41Err6、电通量：seSdErr7、高斯定律：iisq01SdErr8、典型静电场：均匀带电球面：（球面外）（球面内）020rrq410rE均匀带电无限长直线：，方向垂直于带电直线。r02E均匀带电无限大平面：，方向垂直于带电平面。02E9、静电场对电荷的作用力：EqFrr10、静电场是保守力场：0dELlrr11、电势差：QQPdEUUPlrr电势：PlrrdEUP电势叠加原理：iUU12、电荷的电势：r04qU电荷连续分布的带电体的电势：r04dqU13、场强和电势的关系：ErU 积分形式：PlrrdEUP 微分形式：UEr理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 20 页 共 25 页 电场线处处与等势面垂直，并指向电势降低方向，电场线密处等势面间间距小。14、电荷在外电场的电势能：qUW 移动电荷时电场力做的功：QpQPPQWW)Uq(UA1、有一