二阶系统的斜坡响应.doc

二阶系统的斜坡响应、脉冲响应分析
一、 要求
（1）时域响应函数
（2）时域指标
（3）与阶跃响应的对比
（4）结合matlab进行相关分析
二、二阶标准传递函数
开环传函： Gs=ωn2s(s+2ζωn)
闭环传函： ∅s=C(s)R(s)=ωn2s2+2ζωns+ωn2
输出： C(s)=ωn2s2+2ζωns+ωn2R(S)
二阶系统的时间响应取决于ωn和ζ这两个参数，由上面的公式数学模型来研究二阶系统时间响应及动态性能指标。
二、阶系统的响应分析
时域响应函数：
1、单位斜坡响应
Rs=1s2
Cs=ωn2s2+2ζωns+ωn2*1s2
由上式取反拉氏变换可以得到单位斜坡响应的时间函数：Ct=t-2ζωn+1ωn1-ζ2e-ζωntsin(ωdt+2β)
ωd=1-ζ2 , β=arctan1-ζ2ζ
2、单位脉冲响应
Rs=1
Cs=ωn2s2+2ζωns+ωn2
单位脉冲响应的时间函数：
Ct=ωn21-ζ2e-ζωntsin(ωdt)
ωd=1-ζ2
3、单位阶跃响应
Rs=1s
Cs=ωn2s2+2ζωns+ωn2*1s
单位阶跃响应的时间函数：
Ct=1-11-ζ2e-ζωntsin(ωdt+β)
ωd=1-ζ2 , β=arctan1-ζ2ζ
实域指标：
ωn2=16
a、单位斜坡响应
1、 无阻尼情况（ζ=0）
p =0 + 4i和0- 4i

稳态误差：ess∞=2ζωn=0
系统的斜坡响应在斜坡函数上等幅震荡
2、欠阻尼情况（0<ζ<1）
p = -2.0000 + 3.4641i和 -2.0000 - 3.4641i

取ζ=0.7

调节时间：ts=3ζω=30.7*4=1.071s, 稳态误差：ess∞=2ζωn=0.7*24=0.35

取ζ=0.5

调节时间：ts=3ζω=30.5*4=1.5s, 稳态误差：ess∞=2ζωn=0.5*24=0.25

3、临界阻尼情况（ζ=1）
p=-4

调节时间：ts=4.1ωn=4.14=1.025, 稳态误差：ess∞=2ωn=24=0.5

4、过阻尼情况（ζ>1）取ζ=2
p =-14.9282和 -1.0718

稳态误差：ess∞=2ζωn=2*24=1

由以上图及计算公式可以看出：减小系统的阻尼比ζ，可以减小系统的稳态误差和峰值时间，但是最大偏离量要增大、调节时间会加长，从而使动态性能恶化。
b、 单位脉冲响应
1、无阻尼情况（ζ=0）

与单位斜坡响应相似有一对纯虚根，由输出可以看出其响应为等幅振荡响应与单位阶跃响应相近。
2、欠阻尼情况0<ζ<1

取ζ=0.7

ts=1.77 tp=0.28
取ζ=0.5

ts=2.32 tp=0.3
3、临界阻尼情况（ζ=1）

ts=1.71 tp=0.25
4、过阻尼情况（ζ>1）取ζ=2

ts=3.91 tp=0.19

综合上图，我们看出随着系统的阻尼比ζ的增大，可以看出输出峰值和峰值时间不断减小，调节时间不断增大，从而反映了阻尼比越大，系统响应时间越快，但达到稳定所需的调节时间也相应的加大了，从中反映了阻尼比对系统特性的影响。
c、单位阶跃响应
1、无阻尼情况（ζ=0）

2、 欠阻尼情况0<ζ<1
取ζ=0.7

ts=1.49 tp=1.1 tr=0.532 σ%=4.6%

取ζ=0.5

ts=2.02 tp=0.94 tr=0.409 σ%=16.3%

3、临界阻尼情况（ζ=1）

ts=1.46 tr=0.84 σ%=0%

4、过阻尼情况（ζ>1）取ζ=2

ts=3.72 tr=2.06 σ%=0%
通过与单位阶跃响应的对比，我们可以发现在相同阻尼比的情况下，单位脉冲响应的时间较其他响应要长，单位斜坡响应最短，但通过比较发现单位脉冲响应和阶跃反应比较相似,但阶跃响应在某些方面特性如调节时间、上升时间等有着较好的特性。