17-18版附加题部分第1章第61课独立性及二项分布.doc

第61课 独立性及二项分布
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
条件概率及相互独立事件
√

n次独立重复试验的

模型及二项分布

√

1．条件概率及其性质
(1)对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率叫作条件概率，用符号P(A|B)来表示，其公式为P(A|B)＝(P(B)>0)．
在古典概型中，若用n(B)表示事件B中基本事件的个数，则P(A|B)＝.
(2)条件概率具有的性质：
①0≤P(A|B)≤1；
②如果B和C是两个互斥事件，
则P(B＋C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．相互独立事件
(1)对于事件A、B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A、B是相互独立事件．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．
3．二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中0<p<1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(　　)
(2)P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．(　　)
(3)相互独立事件就是互斥事件．(　　)
(4)二项分布是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．
　[所求概率P＝C·1·3－1＝.]
3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为________．
　[设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P(A)＝＝，P(AB)＝＝.
故P(B|A)＝＝.]
4．(2015·全国卷Ⅰ改编)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为________．
0．648　[3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.]
5．如图61­1，用K，A1，A2三类不同的元件连结成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为________．

图61­1
0．864　[系统正常工作的概率P＝0.9×[1－(1－0.8)(1－0.8)]＝0.864.]

条件概率
　(1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.
(2)如图61­2，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________.
【导学号：62172330】

图61­2
(1)　(2)　[(1)法一：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，即n(A)＝4，
事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形，即n(AB)＝1.
故由古典概型概率P(B|A)＝＝.
法二：P(A)＝＝，P(AB)＝＝.
由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝＝.
(2)由题意可得，事件A发生的概率
P(A)＝＝＝.
事件AB表示“豆子落在△EOH内”，
则P(AB)＝＝＝.
故P(B|A)＝＝＝.]
[规律方法]　条件概率的求法
(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)．
(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.
[变式训练1]　1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是________．
　[设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B.
由题意，P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，
所以两次都取到红球的概率为.]

相互独立事件同时发生的概率
　某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的概率分布.
【导学号：62172331】
[解]　记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．
(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝，于是P()＝P()P()＝×＝.
故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.
(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.因为P(X＝0)＝P()＝×＝，
P(X＝100)＝P(F)＝×＝，
P(X＝120)＝P(E)＝×＝，
P(X＝220)＝P(EF)＝×＝.
故所求X的概率分布为
X
0
100
120
220
P

[规律方法]　1.求解该类问题的关键是正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．
2．求相互独立事件同时发生的概率的主要方法．
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
(2)正面计算较繁(如求用“至少”表达的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
[变式训练2]　在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X≥2”的事件概率．
[解]　(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，
则P(A)＝＝，P(B)＝＝.
∵事件A与B相互独立，A与相互独立，则A表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”．
∴P(A)＝P(A)·P()＝P(A)·[1－P(B)]＝×＝.
(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，
则P(C)＝＝.
依题意，A，B，C相互独立，，，相互独立，
且AB，AC，BC，ABC彼此互斥．
又P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝.
∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.

独立重复试验与二项分布
　在2016～2017赛季CBA联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表(注：表中分数，N表示投篮次数，n表示命中次数)，假设各场比赛相互独立.
　　场次
球员　　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲

乙

根据统计表的信息：
(1)从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；
(2)试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；
(3)在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X的概率分布．
[解]　(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，甲球员投篮命中率超过0.5的场次有5场，分别是4,5,6,7,10，所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是.
(2)在10场比赛中，乙球员投篮命中率超过0.5的场次有4场，分别是3,6,8,10，所以在随机选择的一场比赛中，乙球员的投篮命中率超过0.5的概率是.
设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过0.5为事件A，甲队员命中率超过0.5且乙队员命中率不超过0.5为事件B1，乙队员命中率超过0.5且甲队员命中率不超过0.5为事件B2，
则P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝×＋×＝.
(3)X的可能取值为0,1,2,3，依题意X～B.
P(X＝0)＝C03＝；
P(X＝1)＝C12＝；
P(X＝2)＝C21＝；
P(X＝3)＝C3＝，
X的概率分布如下表：
X
0
1
2
3
P

[规律方法]　1.求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件，还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．
2．(1)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．
(2)牢记公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，并深刻理解其含义．
[变式训练3]　某架飞机载有5位空降兵依次空降到A，B，C三个地点，每位空降兵都要空降到A，B，C中的任意一个地点，且空降到每一个地点的概率都是，用ξ表示地点C空降人数，求：
(1)地点A空降1人，地点B，C各空降2人的概率；
(2)随机变量ξ的概率分布．
[解]　(1)设“地点A空降1人，地点B，C各空降2人”为事件M，易知基本事件的总数n＝35＝243个，事件M发生包含的基本事件M＝CC＝30个．
故所求事件M的概率P(M)＝＝＝.
(2)依题意，5位空降兵空降到地点C相当于5次独立重复试验．
∴ξ～B，且ξ的取值可能为0,1,2,3,4,5.
则P(ξ＝k)＝Ck5－k.
∴P(ξ＝0)＝C05＝，P(ξ＝1)＝C4＝，
P(ξ＝2)＝C23＝，P(ξ＝3)＝C32＝，
P(ξ＝4)＝C4＝，P(ξ＝5)＝C5＝.
∴随机变量ξ的概率分布为：
ξ
0
1
2
3
4
5
P

[思想与方法]
1．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝＝，其中，在实际应用中P(B|A)＝是一种重要的求条件概率的方法．
2．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
3．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看作是C个互斥事件的和，其中每一个事件发生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为Cpk(1－p)n－k.
[易错与防范]
1．易混淆“相互独立”和“事件互斥”
两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．
2．易混淆P(B|A)与P(A|B)
前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．
3．易混淆二项分布与两点分布
由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布．
课时分层训练(五)
A组　基础达标
(建议用时：30分钟)
1．(2017·苏州模拟)假定某射手射击一次命中目标的概率为.现有4发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，求：X的概率分布. 【导学号：62172332】
[解]　耗用子弹数X的所有可能取值为1,2,3,4.
当X＝1时，表示射击一次，命中目标，则P(X＝1)＝；
当X＝2时，表示射击两次，第一次未中，第二次射中目标，则P(X＝2)＝×＝；
当X＝3时，表示射击三次，第一次、第二次均未击中，第三次击中，则P(X＝3)＝××＝；
当X＝4时，表示射击四次，前三次均未击中，第四次击中或四次均未击中，
则P(X＝4)＝×××＋×××＝.
X的概率分布为
X
1
2
3
4
P

2.(2017·南京模拟)一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．
(1)求恰好摸4次停止的概率；
(2)记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X，求随机变量X的概率分布．
[解]　(1)设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，则
P＝C×2××＝.
(2)由题意，得X＝0,1,2,3，
P(X＝0)＝C×4＝，
P(X＝1)＝C××3＝，
P(X＝2)＝C×2×2＝，
P(X＝3)＝1－－－＝，
∴X的概率分布为
X
0
1
2
3
P

3.(2017·无锡模拟)乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．
(1)求甲以4比1获胜的概率；
(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；
(3)求比赛局数的概率分布. 【导学号：62172333】
[解]　(1)由已知，得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是.记“甲以4比1获胜”为事件A，
则P(A)＝C34－3·＝.
(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.乙以4比2获胜的概率为P1＝C35－3·＝，乙以4比3获胜的概率为P2＝C3·6－3·＝，所以P(B)＝P1＋P2＝.
(3)设比赛的局数为X，则X的可能取值为4,5,6,7.
P(X＝4)＝2C4＝，
P(X＝5)＝2C34－3·＝，P(X＝6)＝2C35－3·＝，P(X＝7)＝2C36－3·＝.
所以比赛局数的概率分布为
X
4
5
6
7
P

4.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的概率分布；
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率．
[解]　(1)设“每盘游戏中击鼓三次后，出现音乐的次数为ξ”．
依题意，ξ的取值可能为0,1,2,3，且ξ～B，
则P(ξ＝k)＝Ck3－k＝C·3.
又每盘游戏得分X的取值为10,20,100，－200.根据题意：
则P(X＝10)＝P(ξ＝1)＝C3＝，
P(X＝20)＝P(ξ＝2)＝C3＝，
P(X＝100)＝P(ξ＝3)＝C3＝，
P(X＝－200)＝P(ξ＝0)＝C3＝.
所以X的概率分布为
X
10
20
100
－200
P

(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，
则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.
所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为
1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝.
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.
B组　能力提升
(建议用时：15分钟)
1．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的概率分布．
[解]　(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A，
则P(A)＝××＝.
(2)依题意得，X所有可能的取值是1,2,3.
又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.
所以X的概率分布为
X
1
2
3
P

2.(2017·南通三模)甲，乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(n∈N＋)局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为P(n)．
(1)求P(2)与P(3)的值；
(2)试比较P(n)与P(n＋1)的大小，并证明你的结论．
[解]　(1)若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，
所以P(2)＝C 4＋C4＝，
同理 P(3)＝C6＋C6＋C6＝.
(2)在2n局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为n＋1局
故 P(n)＝C 2n＋C2n＋…＋C2n
＝·2n＝·2n＝，
所以P(n＋1)＝.
又因为 ＝＝＝＝>1，
所以>，所以P(n)<P(n＋1)．
3．(2017·无锡模拟)某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．
(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；
(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；
(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的概率分布．
[解]　(1)设X为射手在5次射击中击中目标的次数，
则X～B.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P(X＝2)＝C×2×3＝.
(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则
P(A)＝P(A1A2A345)＋P(1A2A3A45)＋P(1·2A3A4A5)
＝3×2＋×3×＋2×3＝.
(3)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1,2,3)．
由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.
P(ξ＝0)＝P(123)＝3＝；
P(ξ＝1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)
＝×2＋××＋2×＝；
P(ξ＝2)＝P(A12A3)＝××＝；
P(ξ＝3)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)
＝2×＋×2＝；
P(ξ＝6)＝P(A1A2A3)＝3＝.
所以ξ的概率分布是
ξ
0
1
2
3
6
P

4．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表所示：
作物产量(kg)
300
500
概率
0.5
0.5

作物市场价格(元/kg)
6
10
概率
0.4
0.6
(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的概率分布；
(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．
[解]　(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，
B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，
因为利润＝产量×市场价格－成本，
所以X所有可能的取值为
500×10－1 000＝4 000，
500×6－1 000＝2 000，
300×10－1 000＝2 000，
300×6－1 000＝800.
P(X＝4 000)＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，
P(X＝2 000)＝P()P(B)＋P(A)P()＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，
P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，
所以X的概率分布为
X
4 000
2 000
800
P
0.3
0.5
0.2
(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i＝1,2,3)，
由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，
P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，
3季的利润均不少于2 000元的概率为
P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；
3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(C2C3)＋P(C1C3)＋P(C1C2)＝3×0.82×0.2＝0.384，
所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.