留数在定积分计算中的应用PPT文档.ppt

5.3 留数在定积分 计算中的应用,一,、形如 的积分,二,、形如 的积分,三,、形如 的积分,一,、形如 的积分,思想方法:,封闭路线的积分（围道积分法）.,把定积分化为一个复变函数沿某条,两个重要工作:,1)积分区域的转化,2)被积函数的转化,当,历经,时,绕行一周.,z,沿正向单位圆周,从而积分化为沿正向单位圆周的积分：,z,的有理函数,且在,单位圆周上分母不,为零,满足留数定,理的条件.,包围在单位圆周,内的诸孤立奇点.,例1,解,故积分有意义.,因此,例2 计算,解,令,极点为:,(在单位圆内),(在单位圆外),二,、形如 的积分,若有理函数,R,(,x,)的分母至少比分子高两次,并且,分母在实轴上无孤立奇点,.,一般设,分析,可先讨论,最后令,即可.,2.,积分区域的转化:,取一条连接区间两端的按段光滑曲线,使与区间,一起构成一条封闭曲线,并使,R,(,z,)在其内部除有,限孤立奇点外处处解析.,(此法常称为,“围道积分法”,),1.,被积函数的转化:,(当,z,在实轴上的区间内变动时,R,(,z,)=,R,(,x,),可,取,f,(,z,)=,R,(,z,),.,O,这里可补线,(以原点为中心,R,为半径,的在上半平面的半圆周),与,一起构成封闭曲线,C,R,(,z,)在,C,及其,内部(除去有限孤立奇点）处处解析.,取,R,适当大,使,R,(,z,)所有的在上半平面内的极点,都包在这积分路线内.,根据留数定理得:,z,1,z,2,z,3,-,R,R,x,z,n,y,C,R,即,从而,例3 计算积分,解,在上半平面有二级极点,一级极点,例4 计算积分,解,在上半平面有两个单极点：,三,、形如 的积分,积分存在要求:,R,(,x,)是,x,的有理函数而分母的次,数至少比分子的次数高一次,并且,R,(,x,)在实轴上,无孤立奇点,.,z,1,z,2,z,3,z,n,-,R,R,O,x,y,C,R,同前一类型:,补线,与,曲线,C,使,R,(,z,)所有的在上半,都包在这积分路线内.,一起构成封闭,平面内的极点,由留数定理:,就可以求出积分,则,约当引理：,证,得,由约当不等式（如右图）,从而,根据约当引理,及以上的讨论得：,将实虚部分开，可得积分,例5 计算积分,解,在上半平面只有二级极点,又,注意 以上两型积分中被积函数中的,R,(,z,)在实轴,上无孤立奇点.,例6 计算积分,解,因函数,在实轴上有一级极点,若被积函数中的,R,(,z,)在实轴上有孤立奇点，则,小结与思考,本课应用“围道积分法”计算了三类实积分,熟练,掌握应用留数计算定积分是本章的难点.,思考题,思考题答案,作业：,P93,5.9（1）、（4）、（6）,