资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
2．如果双曲线y＝经过点（3、﹣4），则它也经过点（ ）
A．（4、3） B．（﹣3、4） C．（﹣3、﹣4） D．（2、6）
3．用配方法解方程时，原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
4．在一个万人的小镇，随机调查了人，其中人看某电视台的早间新闻，在该镇随便问一个人，他看该电视台早间新闻的概率大约是（ ）
A． B． C． D．
5．人教版初中数学教科书共六册，总字数是978000，用科学记数法可将978000表示为（ ）
A．978×103 B．97.8×104 C．9.78×105 D．0.978×106
6．已知下列命题：①等弧所对的圆心角相等；②90°的圆周角所对的弦是直径；③关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则ac< 0；④若二次函数y= 的图象上有两点（－1，y1）、（2，y2），则>；其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．20cm2 B．20πcm2 C．10πcm2 D．5πcm2
8．对于二次函数,下列说法正确的是（ ）
A．当x>0，y随x的增大而增大
B．当x=2时，y有最大值－3
C．图像的顶点坐标为（－2，－7）
D．图像与x轴有两个交点
9．二次函数的图象如图所示，反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是
A． B． C． D．
10．已知，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
11．如图，中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系内，正方形OABC的顶点A，B在第一象限内，且点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点C在第四象限内．其中，点A的纵坐标为2，则k的值为（ ）
A．2﹣2 B．2﹣2 C．4﹣4 D．4﹣4
二、填空题（每题4分，共24分）
13．两同学玩扔纸团游戏，在操场上固定了如下图所示的矩形纸板，E为AD中点，且∠ABD＝60°，每次纸团均落在纸板上，则纸团击中阴影区域的概率是________.
14．如图，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合连接CD，则∠BDC的度数为_____度．
15．反比例函数图像经过点（2，－3），则它的函数表达式是 ．
16．一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是_____．
17．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的两点，且DEBC，BD＝AE，若AB＝12cm，AC＝24cm，则AE＝_____．
18．如图，已知点A、B分别在反比例函数，的图象上，且，则的值为______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）现有甲、乙、丙三名学生参加学校演讲比赛，并通过抽签确定三人演讲的先后顺序．
（1）求甲第一个演讲的概率；
（2）画树状图或表格，求丙比甲先演讲的概率．
20．（8分）综合与探究：
如图，将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到的抛物线，平移后的抛物线与轴分别交于,两点，与轴交于点.抛物线的对称轴与抛物线交于点.
（1）请你直接写出抛物线的解析式；（写出顶点式即可）
（2）求出,,三点的坐标；
（3）在轴上存在一点，使的值最小，求点的坐标.
21．（8分）如图1，在中，是的直径，交于点，过点的直线交于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，试求的长；
（3）如图2，点是弧的中点，连结，交于点，若，求的值．
22．（10分）某化肥厂2019年生产氮肥4000吨，现准备通过改进技术提升生产效率，计划到2021年生产氮肥4840吨.现技术攻关小组按要求给出甲、乙两种技术改进方案，其中运用甲方案能使每年产量增长的百分率相同，运用乙方案能使每年增长的产量相同.问运用哪一种方案能使2020年氮肥的产量更高？高多少？
23．（10分）综合与探究：三角形旋转中的数学问题．
实验与操作： Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°． 将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到Rt△AB′C′（点B′，C′分别是点B，C的对应点）． 设旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中直线B′B和线段CC′相交于点D．
猜想与证明：
（1）如图1，当AC′经过点B时，探究下列问题：
①此时，旋转角α的度数为 °；
②判断此时四边形AB′DC的形状，并证明你的猜想；
（2）如图2，当旋转角α＝90°时，求证：CD＝C′D；
（3）如图3，当旋转角α在0°＜α＜180°范围内时，连接AD，直接写出线段AD与C之间的位置关系（不必证明）．
24．（10分）甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．
25．（12分）如图，是的直径，，为弧的中点，正方形绕点旋转与的两边分别交于、（点、与点、、均不重合），与分别交于、两点.
（1）求证：为等腰直角三角形；
（2）求证：；
（3）连接，试探究：在正方形绕点旋转的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由.
26．如图，点E是矩形ABCD对角线AC上的一个动点（点E可以与点A和点C重合），连接BE．已知AB=3cm，BC=4cm．设A、E两点间的距离为xcm，BE的长度为ycm．
某同学根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究．
下面是该同学的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了x与y的几组值，如下表：
说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BE=2AE时，AE的长度约为 cm．（结果保留一位小数）
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】∵在反比例函数y＝中，k＜0，
∴此函数图象在二、四象限，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴点A（﹣3，y1），B（﹣1，y1）在第二象限，
∴y1＞0，y1＞0，
∵函数图象在第二象限内为增函数，﹣3＜﹣1＜0，
∴0＜y1＜y1．
∵3＞0，
∴C（3，y3）点在第四象限，
∴y3＜0，
∴y1，y1，y3的大小关系为y3＜y1＜y1．
故选：C．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
2、B
【解析】将（3、﹣4）代入即可求得k，由此得到答案.
【详解】解：∵双曲线y＝经过点（3、﹣4），
∴k＝3×（﹣4）＝﹣12＝（﹣3）×4，
故选：B．
此题考查反比例函数的性质，比例系数k的值等于图像上点的横纵坐标的乘积.
3、B
【分析】先将二次项系数化为1，将常数项移动到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，结合完全平方公式进行化简即可解题．
【详解】
故选：B．
本题考查配方法解一元二次方程，其中涉及完全平方公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4、D
【解析】根据等可能事件的概率公式，即可求解．
【详解】÷=，
答：他看该电视台早间新闻的概率大约是．
故选D．
本题主要考查等可能事件的概率公式，掌握概率公式，是解题的关键．
5、C
【详解】解：978000用科学记数法表示为：9.78×105，
故选C．
本题考查科学记数法—表示较大的数．
6、B
【分析】利用圆周角定理、一元二次方程根的判别式及二次函数的增减性分别判断正误后即可得到正确的选项．
【详解】解：①等弧所对的圆心角也相等，正确，是真命题；
②90°的圆周角所对的弦是直径，正确，是真命题；
③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，
则b2－ac＞0，但不能够说明ac< 0，所以原命题错误，是假命题；
④若二次函数的图象上有两点（－1，y1）（2，y2），则y1＞y2，不确定，因为a 的正负性不确定，所以原命题错误，是假命题；
其中真命题的个数是2，
故选：B．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆周角定理、一元二次方程根的判别式及二次函数的增减性，难度不大．
7、C
【解析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入,圆锥的侧面积=2π×2×5÷2=10π．
故答案为C
8、B
【详解】二次函数,
所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误；
当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确；
顶点坐标为（2，-3），选项C错误；
顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，
故答案选B.
考点：二次函数的性质.
9、B
【解析】试题分析：∵由二次函数的图象知，a＜1， ＞1，∴b＞1．
∴由b＞1知，反比例函数的图象在一、三象限，排除C、D；
由知a＜1，一次函数的图象与y国轴的交点在x轴下方，排除A．
故选B．
10、C
【分析】根据比例的性质得出再代入要求的式子，然后进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴a=4b，c=4d，
∴，
故选C．
此题考查了比例的性质，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键，是一道基础题．
11、B
【分析】由题意根据勾股定理求出BC，进而利用三角函数进行分析即可求值.
【详解】解：∵中，，，，
∴，
∴.
故选：B.
本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义及运用，注意掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
12、B
【分析】作AE⊥x轴于E，BF∥x轴，交AE于F，根据图象上点的坐标特征得出A（，2），证得△AOE≌△BAF（AAS），得出OE=AF，AE=BF，即可得到B（+2，2-），根据系数k的几何意义得到k=（+2）（2-），解得即可．
【详解】解：作AE⊥x轴于E，BF//x轴，交AE于F，
∵∠OAE+∠BAF＝90°＝∠OAE+∠AOE，
∴∠BAF＝∠AOE，
在△AOE和△BAF中
∴△AOE≌△BAF（AAS），
∴OE＝AF，AE＝BF，
∵点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点A的纵坐标为2，
∴A（，2），
∴B（+2，2﹣），
∴k＝（+2）（2﹣），
解得k＝﹣2±2（负数舍去），
∴k＝2﹣2，
故选：B．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，反比例函数的图象与性质，关键是构造全等三角形．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】先根据矩形的性质求出矩形对角线所分的四个三角形面积相等，再根据E为AD中点得出S△ODES△OAD，进而求解即可．
【详解】∵ABCD是矩形，
∴S△AOD=S△AOB=S△BOC=S△CODS矩形纸板ABCD．
又∵E为AD中点，
∴S△ODES△OAD，
∴S△ODES矩形纸板ABCD，
∴纸团击中阴影区域的概率是．
故答案为：．
本题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
14、1
【分析】根据△EBD由△ABC旋转而成，得到△ABC≌△EBD，则BC＝BD，∠EBD＝∠ABC＝30°，则有∠BDC＝∠BCD，∠DBC＝180﹣30°＝10°，化简计算即可得出.
【详解】解：∵△EBD由△ABC旋转而成，
∴△ABC≌△EBD，
∴BC＝BD，∠EBD＝∠ABC＝30°，
∴∠BDC＝∠BCD，∠DBC＝180﹣30°＝10°，
∴；
故答案为1．
此题考查旋转的性质，即图形旋转后与原图形全等．
15、．
【解析】试题分析：设反比例函数的解析式是．则，得，则这个函数的表达式是．故答案为．
考点：1．待定系数法求反比例函数解析式；2．待定系数法．
16、
【解析】分析：根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出各自的概率即可．
详解：用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；
用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：
Aa、Ab、Ba、Bb．
所以颜色搭配正确的概率是．
故答案为：．
点睛：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
17、1cm
【分析】由题意直接根据平行线分线段成比例定理列出比例式，进行代入计算即可得到答案．
【详解】解：∵DE//BC，
∴，即，
解得：AE＝1．
故答案为：1cm．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，由题意灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
18、
【分析】作轴于C，轴于D，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到，，再证明∽，然后利用相似三角形的性质得到的值，即可得出．
【详解】解：作轴于C，轴于D，如图，
点A、B分别在反比例函数，的图象上，
，
，
，
，
，
∽，
，
．
故答案为．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）画图见解析；
【分析】（1）从3个人中选一个，得甲第一个演讲的概率是
（2）列树状图即可求得答案.
【详解】（1）甲第一个演讲的概率是；
（2）树状图如下：
共有6种等可能情况，其中丙比甲先演讲的有3种，
∴P（丙比甲先演讲）=.
此题考查事件的概率，在确定事件的概率时通常选用树状图或列表法解答.
20、（1）；（2），，；（3）.
【分析】（1）可根据二次函数图像左加右减，上加下减的平移规律进行解答.
（2）令x=0即可得到点C的坐标，令y=0即可得到点B,A的坐标
（3）有图像可知的对称轴，即可得出点D的坐标；由图像得出的坐标，设直线的解析式为，代入数值，即可得出直线的解析式，就可以得出点P的坐标.
【详解】解：（1）二次函数向右平移个单位长度得，，
再向下平移个单位长度得
故答案为：.
（2）由抛物线的图象可知，
.
当时，，
解得：，.
，.
（3）由抛物线的图象可知，
其对称轴的为直线，
将代入抛物线，可得
.
由抛物线的图象可知，
点关于抛物线的对称轴轴的对称点为.
设直线的解析式为，
解得：
直线直线的解析式为
与轴交点即为点，
.
本题考查了二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质及图形是解题的关键.
21、（1）证明见解析（2）（3）
【分析】（1）连接半径，根据已知条件结合圆的基本性质可推出，即，即可得证结论；
（2）设，根据已知条件列出关于的方程、解方程即可得到圆心角，再求得半径，然后利用弧长公式即可得解；
（3）由，设，然后根据已知条件利用圆的一些性质、勾股定理以及三角形的不同求法分别表示出、，再利用平行线的判定以及相似三角形的判定和性质即可求得结论．
【详解】解：（1） 连结，如图：
∵是的直径
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵在圆上
∴是的切线．
（2）设
∵
∴
∴
∵在中，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
连结，过作于点，如图：
∵点是的中点
∴
∴设
∴
∴
∴
∵在中，
∴
∵，
∴
∴
∴．
故答案是：（1）证明见解析（2）（3）
本题考查了圆的相关性质、切线的判定、等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形的相关性质、锐角三角函数、三角形的外角性质以及弧长的计算公式等，综合性较强，但难度不大属中档题型．
22、乙方案能使2020年氮肥的产量更高，高20吨
【分析】设甲方案的平均增长率为，根据题意列出方程，求出x的值，即可求出甲方案2020年产量，再根据题意求出乙方案2020年产量，比较即可得出结论.
【详解】解：设甲方案的平均增长率为，依题意得
.
解得，，（不合题意，舍去）.
甲方案2020年产量：，
乙方案2020年产量：.
，（吨）.
答：乙方案能使2020年氮肥的产量更高，高20吨.
此题考查的是一元二次方程的应用，掌握增长率问题的公式是解决此题的关键.
23、（1）①60；②四边形AB′DC是平行四边形，证明见解析．（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）①根据矩形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定方法解题；
②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解题；
（2）过点作的垂线，交于点E，由旋转的性质得到对应边、对应角相等，进而证明△CDB≌△，即可解题；
（3）先证明，再由相似三角形的性质解题，进而证明即可证明.
【详解】解：（1）①60；②四边形AB′DC是平行四边形．
证明：∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴∠CAB=90°-30°=60°．
∵Rt△AB′C′是由 Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴∠C′AB′=∠CAB=60°，，．
与都是等边三角形．
∴∠ACC′=∠AB′B=60°．
∵∠CAB′=∠CAB+∠C′AB′=120°，
∴∠ACC′+∠CAB′=180°，∠CAB′+∠ABB′=180°．
∴AB′//CD，AC//B′D．
∴四边形AB′DC是平行四边形．
（2）证明：过点作的垂线，交于点E，
∴∠B′C′E=90°．
∵Rt△AB′C′是由 Rt△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的，
∴∠CAC′=∠BAB′=∠B′C′E=90°，，．
∴∠AB=∠AB=45°，BC∥AB′∥C′E
∵∠AC=∠ABC=90°，
∴∠B=∠CBE=45°．
∴∠=90°－45°=45°=∠B．
∴．
在△CBD和△ED中，
∴△CDB≌△DE．
∴CD= D．
（3）AD⊥C,理由如下：
设AC与D交于点O，连接AD，
∴∠ADC′=180°-∠DAO-∠AC′C=180°-∠OB′C′-∠AB′B，
，
本题考查几何综合，其中涉及三角形的旋转、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定等知识，综合性较强，是常见考点，掌握相关知识、学会作适当辅助线是解题关键.
24、米.
【分析】先求抛物线对称轴，再根据待定系数法求抛物线解析式，再求函数最大值.
【详解】由题意得：C（0，1），D（6，1.5），抛物线的对称轴为直线x=4，
设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+1（a≠0），
则据题意得：，
解得：，
∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y=﹣x2+x+1，
∵y=﹣（x﹣4）2+，
∴飞行的最高高度为：米．
本题考核知识点：二次函数的应用. 解题关键点：熟记二次函数的基本性质.
25、（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，
【分析】（1）根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠AMB=90°，由M是弧AB的中点得，于是可判断△AMB为等腰直角三角形；
（2）连接OM,根据等腰直角三角形的性质得∠ABM=∠BAM=∠OMA=45°，OM⊥AB，MB=AB=6，再利用等角的余角相等得∠BOE=∠MOF，则可根据“SAS”判断△OBE≌△OMF，所以OE=OF；
（3）易得△OEF为等腰直角三角形，则EF=OE，再由△OBE≌△OMF得BE=MF，所以△EFM的周长=EF+MF+ME=EF+MB=OE+4，根据垂线段最短得当OE⊥BM时，OE最小，此时OE=BM=2，进而求得△EFM的周长的最小值．
【详解】（1）证明：是的直径，
．
是弧的中点，
．
，
为等腰直角三角形．
（2）证明：连接，
由（1）得：．
，
．
，
，
．
在和中，
，
．
．
（3）解：的周长有最小值．
，
为等腰直角三角形，
，
，
．
的周长．
当时，最小，此时,
的周长的最小值为．
本题考查了圆的综合题：熟练运用圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质是解题关键．
26、解：（1）2.5；（2）图象见解析；（3）1.2（1.1—1.3均可）
【分析】（1）根据画图测量即可；
（2）按照（1）中数据描点画图即可；
（3）当BE=2AE时，即y=2x时，画出图形观察图像即可得到值.
【详解】解：（1）根据测量可得：2.5；
（2）根据数据描点画图，即可画图象
（3）当BE=2AE时，即y=2x时，如图，y=2x与原函数图像的交点M的横坐标即为所求，可得AE≈1.2（1.1—1.3均可）.
本题为动点问题的函数图象探究题，解答时用到了数形结合和转化的数学思想．
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