资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是
A． B． C． D．
2．若与的相似比为1：4，则与的周长比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16
3．如图，数轴上的点，，，表示的数分别为，，，，从，，，四点中任意取两点，所取两点之间的距离为的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（ ）
A．1 B．1.2 C．2 D．3
5．如图，矩形的对角线交于点.若，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．事件①：射击运动员射击一次,命中靶心;事件②：购买一张彩票,没中奖,则( )
A．事件①是必然事件，事件②是随机事件 B．事件①是随机事件，事件②是必然事件
C．事件①和②都是随机事件 D．事件①和②都是必然事件
7．已知二次函数（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b＜0，c＞0；②a+b+c＜0；③方程的两根之和大于0；④a﹣b+c＜0，其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，在平面直角坐标系中，点，y是关于的二次函数，抛物线经过点.抛物线经过点抛物线经过点抛物线经过点则下列判断：
①四条抛物线的开口方向均向下；
②当时，四条抛物线表达式中的均随的增大而增大；
③抛物线的顶点在抛物线顶点的上方；
④抛物线与轴交点在点的上方.
其中正确的是
A．①②④ B．①③④
C．①②③ D．②③④
9．给出下列一组数：，，，，，其中无理数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知：在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是( )
A． B．
C． D．
12．如图，△AOB缩小后得到△COD，△AOB与△COD的相似比是3，若C（1，2），则点A的坐标为（ ）
A．（2，4） B．（2，6） C．（3，6） D．（3，4）
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有且仅有5个整数解，则符合条件的所有整数的和是__________．
14．已知：如图，，，分别切于，，点．若，则的周长为________．
15．一个不透明的布袋里装有2个红球，4个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同，若从该布袋里任意摸出1个球是黄球的概率为0.4，则a=_____．
16．某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况.如表：
节水量/m3
0.2
0.25
0.3
0.4
0.5
家庭数/个
2
4
6
7
1
请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是_____m3.
17．在中，若，则的度数是______．
18．抛物线与轴交点坐标为______.
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，已知，在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点从A点开始以1个单位/秒的速度沿轴向右移动，点从点开始以2个单位/秒的速度沿轴向上移动，如果两点同时出发，经过几秒钟，能使的面积为8个平方单位．
20．（8分）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E.
（1）求证：∠E=∠C；
（2）如图2，如果AE=AB，且BD：DE=2：3，求cos∠ABC的值；
（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数.
21．（8分）小王同学在地质广场上放风筝，如图风筝从处起飞，几分钟后便飞达处，此时，在延长线上处的小张同学发现自己的位置与风筝和广场边旗杆的顶点在同一直线上，已知旗杆高为10米，若在处测得旗杆顶点的仰角为30〫，处测得点的仰角为45〫，若在处背向旗杆又测得风筝的仰角为75〫，绳子在空中视为一条线段，求绳子为多少米？（结果保留根号）
22．（10分）如图，为固定一棵珍贵的古树，在树干处向地面引钢管，与地面夹角为，向高的建筑物引钢管，与水平面夹角为，建筑物离古树的距离为，求钢管的长．(结果保留整数，参考数据：)
23．（10分）已知反比例函数为常数，）的图象经过两点．
(1)求该反比例函数的解析式和的值；
(2)当时，求的取值范围；
(3)若为直线上的一个动点，当最小时，求点的坐标．
24．（10分）如图，等边三角形ABC放置在平面直角坐标系中，已知A（0，0），B（4，0），反比例函数的图象经过点C．求点C的坐标及反比例函数的解析式．
25．（12分）某市某幼儿园“六一”期间举行亲子游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩子参加游戏．主持人准备把家长和孩子重新组合完成游戏，A、B、C分别表示三位家长，他们的孩子分别对应的是a、b、c．
（1）若主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，恰好是A、a的概率是多少（直接写出答案）?
（2）若主持人先从三位家长中任选两人为一组，再从孩子中任选两人为一组，四人共同参加游戏，恰好是两对家庭成员的概率是多少．（画出树状图或列表）
26．在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字,,，乙口袋中的小球上分别标有数字,,，从两口袋中分别各摸一个小球.求摸出小球数字之和为的概率
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．根据图中正方体摆放的位置，从上面看，下面一行左面是横放2个正方体，上面一行右面是一个正方体．故选A．
2、C
【分析】根据相似三角形的性质解答即可.
【详解】解：∵与的相似比为1：4，∴与的周长比为：1：4.
故选：C.
本题考查了相似三角形的性质，属于应知应会题型，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.
3、D
【分析】利用树状图求出可能结果即可解答.
【详解】解: 画树状图为:
共有12种等可能的结果数,其中所取两点之间的距离为2的结果数为4,
所取两点之间的距离为2的概率==．
故选D.
本题考查画树状图或列表法求概率，掌握画树状图的方法是解题关键.
4、A
【解析】利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE和△BCE边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可．
【详解】解：∵等腰Rt△ABC，BC=4，
∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4，
∴∠D=90°，
在Rt△ABD中，AD=，AB=4，
∴BD=，
∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∵AD：BC=：4=1：5，
∴相似比为1：5，
设AE=x，
∴BE=5x，
∴DE=-5x，
∴CE=28-25x，
∵AC=4，
∴x+28-25x=4，
解得：x=1．
故选A．
题目考查了圆的基本性质、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定及应用等知识点，题目考查知识点较多，是一道综合性试题，题目难易程度适中，适合课后训练．
5、D
【分析】根据矩形的性质得出∠ABC=∠DCB=90°，AC=BD，AO=CO，BO=DO，再解直角三角形求出即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，AC=BD，AO=CO，BO=DO，
A、在Rt△ABC中，
∴，此选项不符合题意
由三角形内角和定理得：∠BAC=∠BDC=∠α，
B、在Rt△BDC中，，
∴，故本选项不符合题意；
C、在Rt△ABC中，，即AO= ，故本选项不符合题意；
D、∴在Rt△DCB中，
∴，故本选项符合题意；
故选：D．
本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
6、C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件；
购买一张彩票，没中奖是随机事件，
故选C．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7、B
【解析】试题分析：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴x＞0，且抛物线与y轴交于正半轴，∴b＞0，c＞0，故①错误；
由图象知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，故②正确，令方程的两根为、，由对称轴x＞0，可知＞0，即＞0，故③正确；
由可知抛物线与x轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：﹣1＜x＜0，∴当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，故④正确．
故选B．
考点：二次函数图象与系数的关系．
8、A
【分析】根据BC的对称轴是直线x=1.5,的对称轴是直线x=1，画大致示意图，即可进行判定.
【详解】解：①由可知，四条抛物线的开口方向均向下，
故①正确；
②和的对称轴是直线x=1.5,和的对称轴是直线x=1,开口方向均向下,所以当时，四条抛物线表达式中的均随的增大而增大，
故②正确；
③和的对称轴都是直线x=1.5，D关于直线x=1.5的对称点为(-1,-2)，而A点坐标为(-2,-2),可以判断比更陡，所以抛物线的顶点在抛物线顶点的下方，
故③错误；
④的对称轴是直线x=1, C关于直线x=1的对称点为(-1,3)，可以判断出抛物线与轴交点在点的上方，
故④正确.
故选：A.
本题考查了二次函数的图象和性质，根据对称点找到对称轴是解题的关键，充分运用数形结合的思想能使解题更加简便.如果逐个计算出解析式，工作量显然更大.
9、C
【分析】直接利用无理数的定义分析得出答案．
【详解】解：，，，，，其中无理数为，，共2个数．
故选C．
此题考查无理数，正确把握无理数的定义是解题关键．
10、C
【解析】如图，连接BP，由反比例函数的对称性质以及三角形中位线定理可得OQ=BP，再根据OQ的最大值从而可确定出BP长的最大值，由题意可知当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，继而根据正比例函数的性质以及勾股定理可求得点B坐标，再根据点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，利用待定系数法即可求出k的值.
【详解】如图，连接BP，
由对称性得：OA=OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ=BP，
∵OQ长的最大值为，
∴BP长的最大值为×2=3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP=1，
∴BC=2，
∵B在直线y=2x上，
设B（t，2t），则CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得： BC2=CD2+BD2，
∴22=（t+2）2+（﹣2t）2，
t=0（舍）或t=﹣，
∴B（﹣，﹣），
∵点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，
∴k=﹣×（-）=，
故选C．
本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过点C时OQ有最大值是解题的关键.
11、C
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选：C．
本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键.
12、C
【解析】根据位似变换的性质计算即可．
【详解】由题意得，点A与点C是对应点，
△AOB与△COD的相似比是3，
∴点A的坐标为（1×3，2×3），即（3，6），
故选：C．
本题考查的是位似变换的性质，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】解方程得x=，即a≠1，可得a≤5，a≠1；解不等式组得0<a≤1，综合可得0<a<1，故满足条件的整数a的值为1，2.
【详解】解不等式组，可得，
∵不等式组有且仅有5个整数解，
∴，
∴0<a≤1，
解分式方程，
可得x=，即a≠1
又∵分式方程有非负数解，
∴x≥0，即≥0，
解得a≤5，a≠1
∴0<a<1，
∴满足条件的整数a的值为1，2，
∴满足条件的整数a的值之和是1+2=1，
故答案为：1．
考点：分式方程的解；一元一次不等式组的整数解；含待定字母的不等式（组）；综合题，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
14、
【分析】根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB=PA=10cm，由于DC与⊙O相切于E，再根据切线长定理得到CA=CE，DE=DB，然后三角形周长的定义得到△PDC的周长=PD+DC+PC=PD+DB+CA+PC，然后用等线段代换后得到三角形PDC的周长等于PA+PB．
【详解】∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PB=PA=10cm，
∵CA与CE为⊙的切线，
∴CA=CE，
同理得到DE=DB，
∴△PDC的周长=PD+DC+PC=PD+DB+CA+PC
∴△PDC的周长=PA+PB=20cm，
故答案为20cm．
本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
15、1
【解析】根据黄球个数÷总球的个数＝黄球的概率，列出算式，求出a的值即可．
【详解】根据题意得：
＝0.1，
解得：a＝1，
经检验，a＝1是原分式方程的解，
则a＝1；
故答案为1．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16、130
【解析】先计算这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数400即可解答．
【详解】20名同学各自家庭一个月平均节约用水是：
（0.2×2+0.25×4+0.3×6+0.4×7+0.5×1）÷20=0.325（m3），
因此这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是：
400×0.325=130（m3），
故答案为130.
本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可，关键是求出样本的平均数．
17、
【分析】先根据非负数的性质求出，，再由特殊角的三角函数值求出与的值，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】在中，，
，，
，，
，
故答案为．
本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
18、
【分析】令x=0，求出y的值即可．
【详解】解：∵当x=0，则y=-1+3=2，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2）．
本题考查的是二次函数的性质，熟知y轴上点的特点，即y轴上的点的横坐标为0是解答此题的关键．
三、解答题（共78分）
19、2秒，4秒或秒
【分析】首先求得直线与两坐标轴的交点坐标，然后表示出三角形的两边利用三角形的面积计算公式列出方程计算即可．
【详解】解：直线AC与x轴交于点A（-6，0），与y轴交于点C（0，1），
所以，OA=6，OC=1．
设经过x秒钟，则OQ为2x．
当时，点P在线段OA上，底OP=，
可列方程，
解得．
当时，点P与点O重合或在线段OA的延长线上，底OP=，
可列方程，
解得，
而不合题意舍去．
综上所述，经过2秒，4秒或秒能使△PQO的面积为1个平方单位．
本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是能够根据直线的解析式确定直线与两坐标轴的交点，从而求得有关的线段的长，注意分类讨论，难度不大．
20、（1）证明见详解；（2）；（3）30°或45°.
【分析】（1）由题意：∠E=90°-∠ADE，证明∠ADE=90°- ∠C即可解决问题．
(2) 延长AD交BC于点F．证明AE∥BC，可得∠AFB=∠EAD=90°，，由BD：DE=2：3，可得cos∠ABC= ；
（3）因为△ABC与△ADE相似，∠DAE=90°，所以∠ABC中必有一个内角为90°因为∠ABC是锐角，推出∠ABC≠90°．接下来分两种情形分别求解即可．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE=90°，∠E=90°-∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD= ∠BAC，同理∠ABD= ∠ABC，
∵∠ADE=∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC=180°-∠C，
∴∠ADE= （∠ABC+∠BAC）=90°- ∠C，
∴∠E=90°-（90°- ∠C）= ∠C．
（2）解：延长AD交BC于点F．
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠E=∠CBE，
∴AE∥BC，
∴∠AFB=∠EAD=90°，，
∵BD：DE=2：3，
∴cos∠ABC=；
(3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE=90°，
∴∠ABC中必有一个内角为90°
∵∠ABC是锐角，
∴∠ABC≠90°．
①当∠BAC=∠DAE=90°时，
∵∠E=∠C，
∴∠ABC=∠E=∠C，
∵∠ABC+∠C=90°，
∴∠ABC=30°；
②当∠C=∠DAE=90°时，∠E＝∠C=45°，
∴∠EDA=45°，
∵△ABC与△ADE相似，
∴∠ABC=45°；
综上所述，∠ABC=30°或45°.
本题属于相似形综合题，考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
21、．
【分析】利用三角函数求出,，求出AB的值，过点作于点M,可得，，利用三角函数可得： ，，即可得出AC的值．
【详解】在中，，，
∴,
又∵在中，,
∴，
∴（米），
过点作于点M，如图所示，
∵，，
∴，，
∴在中，，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∴米．
本题考查了仰角、俯角的问题及解直角三角形的应用,解答本题的关键是结合图形构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．
22、钢管AB的长约为6m
【分析】过点C作CF⊥AD于点F，于是得到CF=DE=6，AF=CFtan30°．在Rt△ABD中，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】过点C作CF⊥AD于点F，则CF=DE=6，AF=CFtan30°=62，
∴AD=AF+DF=21.5，
在Rt△ABD中，AB(21.5)46(m)．
答：钢管AB的长约为6m．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．
23、（1）；（2）当时， 的取值范围是；（3）点的坐标为．
【分析】(1)把点A坐标直接代入可求k值，得出函数解析式，再把自变量-6代入解析式可得出n的值
(2)根据k的值可确定函数经过的象限，在一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，当x=-1时，y=-3，从而可求出y的取值范围
(3)作点A关于y=x的对称点，连接，线段，由，B的坐标求出直线的解析式，最后根据两直线解析式求出点M的坐标.
【详解】解：（Ⅰ）把代入得，
反比例函数解析式为；
把代入得，解得；
(2)，
图象在一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，
把代入得，
当时， 的取值范围是；
(3)作点关于直线的对称点为，则，连接，交直线于点，
此时，，
是的最小值，
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为，
由，解得，
点的坐标为．
本题是一道关于反比例函数的综合题目，考查的知识点有反比例函数的性质，解二元一次方程组，利用点对称求最短距离等，综合性较强.
24、点C坐标为（2，2），y＝
【分析】过C点作CD⊥x轴，垂足为D，设反比例函数的解析式为y＝，根据等边三角形的知识求出AC和CD的长度，即可求出C点的坐标，把C点坐标代入反比例函数解析式求出k的值．
【详解】解：过C点作CD⊥x轴，垂足为D，
设反比例函数的解析式为y＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，∠CAB＝60°，
∴AD＝3，CD＝sin60°×4＝×4＝2，
∴点C坐标为（2，2），
∵反比例函数的图象经过点C，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式：y＝；
考查了待定系数法确定反比例函数的解析式的知识，解题的关键是根据题意求得点C的坐标，难度不大．
25、；
【分析】根据概率的计算法则得出概率，首先根据题意列出表格，然后求出概率．
【详解】（1）P（恰好是A，a）的概率是=
（2）依题意列表如下：
共有9种情形，每种发生可能性相等，其中恰好是两对家庭成员有（AB，ab），（ AC，ac），（ BC，bc）3种，
故恰好是两对家庭成员的概率是P=
考点：概率的计算．
26、
【分析】画树状图展示所有等可能的结果，再根据概率公式求解．
【详解】解：利用树状图表示为：
由树状图可知，共有种情况，每种情况的可能性相等.摸出的两个小球数字之和为有种情况.
（数字之和为）.
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
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