资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，且，OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线AB于点E，当DE=OD时，的大小不可能为( )
A． B． C． D．
3．点、都在反比例函数的图象上，则、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）
A． B． C． D．
5．若分式的值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，则c应满足的条件是（ ）
A．c＝0 B．c＝1 C．c＝0或c＝1 D．c＝0或c＝﹣1
7．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化，其体温（℃）与时间（时）之间的关系如图所示．若y（℃）表示0时到t时内骆驼体温的温差（即0时到t时最高温度与最低温度的差）．则y与t之间的函数关系用图象表示，大致正确的是（）
A． B． C． D．
8．小亮同学在教学活动课中，用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是（ ）
A．线段 B．三角形 C．平行四边形 D．正方形
9．下列事件是必然事件的是( )
A．3个人分成两组，并且每组必有人，一定有2个人分在一组
B．抛一枚硬币，正面朝上
C．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为6
D．打开电视，正在播放动画片
10．如图，矩形AOBC，点C在反比例的图象上，若，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在Rt△ABC中，∠C=90，AB=4，BC=3，则sinA的值是______________.
12．如图，某海防响所发现在它的西北方向，距离哨所400米的处有一般船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东方向的处，则此时这般船与哨所的距离约为________米．（精确到1米，参考数据：，）
13．若，则=______
14．如图，在中，，若，则__________．
15．已知和是方程的两个实数根，则__________．
16．已知关于x的一元二次方程的常数项为零，则k的值为_____．
17．已知二次函数y=-x2+2x+5，当x________时，y随x的增大而增大
18．若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围
是 .
三、解答题(共66分)
19．（10分）解一元二次方程：.
20．（6分）已知，，，（如图），点，分别为射线上的动点（点C、E都不与点B重合），连接AC、AE使得，射线交射线于点，设，.
（1）如图1，当时，求AF的长.
（2）当点在点的右侧时，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域.
（3）连接交于点，若是等腰三角形，直接写出的值.
21．（6分）函数与函数（、为不等于零的常数）的图像有一个公共点，其中正比例函数的值随的值增大而减小，求这两个函数的解析式.
22．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+2nx+c的图象过坐标原点.
(1)若a=-1.
①当函数自变量的取值范围是-1≤x≤2，且n≥2时，该函数的最大值是8，求n的值;
②当函数自变量的取值范围是时，设函数图象在变化过程中最高点的纵坐标为m，求m与n的函数关系式，并写出n的取值范围;
（2）若二次函数的图象还过点A（-2，0），横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点，二次函数图象与直线AB围城的区域（不含边界）为T，若区域T内恰有两个整点，直接写出a的取值范围.
23．（8分）如图，平面直角坐标系xOy中点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当四边形ABNO的面积最大时，求点N的坐标并求出四边形ABNO面积的最大值．
24．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．
（1）请画出关于原点对称的；
（2）在轴上求作一点，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标．
25．（10分）小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字 1， 2， 3， 4 的 4 个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于 2，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．
26．（10分）一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是多少？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依次找到主视图、左视图和俯视图形状都相同的图形即可．
【详解】解：A、圆台的主视图和左视图相同，都是梯形，俯视图是圆环，故选项不符合题意；
B、三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同，故选项不符合题意；
C、球的三视图都是大小相同的圆，故选项符合题意．
D、圆锥的三视图分别为等腰三角形，等腰三角形，含圆心的圆，故选项不符合题意；
故选C.
本题考查了三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
2、C
【分析】分三种情况求解即可：①当点D与点C在直径AB的异侧时；②当点D在劣弧BC上时；③当点D在劣弧AC上时.
【详解】①如图，连接OC，设，
则，
，
∵，
，
在中， ，
，
∴，
；
②如图，连接OC，设，则，
，
，
，
在中， ，
，
∴，
；
（3）如图，设，则，
，
，
，
由外角可知， ，
，
，
，
故选C.
本题考查了圆的有关概念，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键.
3、A
【分析】根据反比例函数的性质，图象在二、四象限，在双曲线的同一支上，y随x的增大而增大，则-3＜-1＜0，可得．
【详解】解：∵k=-1＜0，
∴图象在二、四象限，且在双曲线的同一支上，y随x增大而增大
∵-3＜-1＜0
∴y1＜y2，
故选：A．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4、C
【分析】A、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；
B、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；
C、其夹角不相等，所以不能判定相似；
D、其夹角是公共角，根据两边的比相等，且夹角相等，两三角形相似．
【详解】A、∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
B、∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
C、∵，
当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；
D、∵，
又∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，
本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，
故选C．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．
5、A
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求解即可．
【详解】解：∵分式的值为1，
∴x-2=1且x+4≠1．
解得：x=2．
故选：A．
本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键．
6、C
【分析】根据二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，可知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点两种情况，然后分别计算出c的值即可解答本题．
【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，
∴二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点，
当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点时，
(﹣2)2﹣4×1×c＝0，得c＝1；
当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与轴有两个公共点，其中一个为原点时，
则c＝0，y＝x2﹣2x＝x(x﹣2)，与x轴两个交点，坐标分别为(0，0)，(2，0)；
由上可得，c的值是1或0，
故选：C．
本题考查了二次函数与坐标的交点问题，掌握解二次函数的方法是解题的关键．
7、A
【分析】选取4时和8时的温度，求解温度差，用排除法可得出选项．
【详解】由图形可知，骆驼0时温度为：37摄氏度，4时温度为：35℃，8时温度为：37℃
∴当t=4时，y=37－35=2
当t=8时，y=37－35=2
即在t、y的函数图像中，t=4对应的y为2，t=8对应的y为2
满足条件的只有A选项
故选：A
本题考查函数的图像，解题关键是根据函数的意义，确定函数图像关键点处的数值．
8、B
【解析】根据长方形放置的不同角度，得到的不同影子，发挥想象能力逐个实验即可.
【详解】解：将长方形硬纸的板面与投影线平行时，形成的影子为线段；
将长方形硬纸板与地面平行放置时，形成的影子为矩形；
将长方形硬纸板倾斜放置形成的影子为平行四边形；
由物体同一时刻物高与影长成比例，且长方形对边相等，故得到的投影不可能是三角形．
故选：B．
本题主要考查几何图形的投影，关键在于根据不同的位置，识别不同的投影图形.
9、A
【分析】根据必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件，对每一选项判断即可．
【详解】解：A、3个人分成两组，并且每组必有人，一定有2个人分在一组是必然事件，符合题意，故选A；
B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故不符合题意，B选项错误；
C、随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为6是随机事件，故不符合题意，C选项错误；
D、打开电视，正在播放动画片是随机事件，故不符合题意，D选项错误；
故答案选择D．
本题考查的是事件的分类，事件分为必然事件，随机事件和不可能事件，掌握概念是解题的关键．
10、B
【分析】根据OB的长度即为点C的横坐标，代入反比例函数的解析式中即可求出点C的纵坐标，即BC的长度，再根据矩形的性质即可求出OA．
【详解】解：∵
∴点C的横坐标为1
将点C的横坐标代入中，解得y=2
∴BC=2
∵四边形AOBC是矩形
∴OA=BC=2
故选B．
此题考查的是根据反比例函数解析式求点的坐标和矩形的性质，掌握根据反比例函数解析式求点的坐标和矩形的性质是解决此题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】画出图形，直接利用正弦函数的定义进行求解即可.
【详解】如图：
在Rt△ABC中：sinA=
∵AB=4，BC=3
∴sinA=
故本题答案为：.
本题考查了三角函数的定义，注意正弦，余弦，正切定义记清楚.
12、566
【分析】通过解直角△OAC求得OC的长度，然后通过解直角△OBC求得OB的长度即可．
【详解】设与正北方向线相交于点，
根据题意，所以，
在中，因为，
所以，
中，因为，
所以（米）．
故答案为566.
考查了解直角三角形的应用-方向角的问题．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
13、
【分析】可设x=4k，根据已知条件得到y=3k，再代入计算即可得到正确结论．
【详解】解：∵ ，
∴y=3k，x=4k；
代入=
故答案为
本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度不大．
14、6
【分析】先根据平行四边形的性质证得△BEG∽△FAG，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得，根据相似三角形的性质可求得，进而可得答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△BEG∽△FAG，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴.
故答案为：6.
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键.
15、1
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=-3、x1x2=-1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2中即可求出结论．
【详解】解：∵x1，x2是方程的两个实数根，
∴x1+x2=-3，x1x2=-1，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（-3）2-2×（-1）=1．
故答案为：1．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，牢记两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键．
16、1
【分析】由一元二次方程（k﹣1）x1+6x+k1﹣3k+1＝0的常数项为零，即可得 ，继而求得答案．
【详解】解：∵一元二次方程（k﹣1）x1+6x+k1﹣3k+1＝0的常数项为零，
∴，
由①得：（k﹣1）（k﹣1）＝0，
解得：k＝1或k＝1，
由②得：k≠1，
∴k的值为1，
故答案为：1．
本题是对一元二次方程根的考查，熟练掌握一元二次方程知识是解决本题的关键.
17、x<1
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，可求得其开口方向及对称轴，利用二次函数的增减性可求得答案．
【详解】解：∵y=-x2+2x+5=-（x-1）2+6，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，
故答案为：＜1．
此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
18、且．
【解析】试题分析：∵，.
∴一元二次方程为.
∵一元二次方程有实数根，
∴且.
考点: （1）非负数的性质；（2）一元二次方程根的判别式.
三、解答题(共66分)
19、，.
【分析】根据因式分解法即可求解.
【详解】解：
∴x-1=0或2x-1=0
解得，.
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法的应用.
20、（1）；（2）；（3）或或.
【分析】过点作于N，利用∠B的余弦值可求出BN的长，利用勾股定理即可求出AN的长，根据线段的和差关系可得CN的长，利用勾股定理可求出AC的长，根据AD//BC，AD=BC即可证明四边形ABCD是平行四边形，可得∠B=∠D，进而可证明△ABC∽△ADF，根据相似三角形的性质即可求出AF的长；（2）根据平行线的性质可得，根据等量代换可得，进而可证明△ABC∽△ABE，根据相似三角形的性质可得，可用x表示出BE、CE的长，根据平行线分线段成比例定理可用x表示出的值，根据可得y与x的关系式，根据x>0，CE>0即可确定x的取值范围；（3）分PA=PD、AP=AD和AD=PD三种情况，根据BE=及线段的和差关系，分别利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案.
【详解】（1）如图，过点作于N，
∵AB=5，，
∴在中，=5×=3，
∴AN===4，
∵BC=x=4，
∴CN=BC-BN=4-3=1，
在中，，
∵AD=4，BC=x=4，
∴AD=BC，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴△ABC∽△ADF，
∴，
∴
解得：，
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△ABE，
∴，
∴，
∵AD//BC，
∴，
∴，
∵x>0，CE=>0，
∴0<x<5，
∴，
（3）①如图，当PA=PD时，作AH⊥BM于H，PG⊥AD于G，延长GP交BM于N，
∵PA=PD，AD=4，
∴AG=DG=2，∠ADB=∠DAE，
∵AD//BE，
∴GN⊥BE，∠DAE=∠AEB，∠ADB=∠DBE，
∴∠DBE=∠AEB，
∴PB=PE，
∴BN=EN=BE=，
∵，AB=5，
∴BH=AB·cos∠ABH=3，
∵AH⊥BM，GN⊥MB，GN⊥AD，
∴∠AHN=∠GNH=∠NGA=90°，
∴四边形AHNG是矩形，
∴HN=AG=2，
∴BN=BH+HN=3+2=5，
∴=5，
解得：x=.
②如图，当AP=AD=4时，作AH⊥BM于H，
∴∠ADB=∠APD，
∵AD//BM，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠APD=∠BPE，
∴∠DBC=∠BPE，
∴BE=PE=，
∵cos∠ABC=，AB=5，
∴BH=3，AH=4，
∴在Rt△AEH中，(4+)2=42+(3-)2，
解得：x=，
③如图，当AD=PD=4时，作AH⊥BM于H，DN⊥BM于N，
∴∠DAP=∠DPA，
∵AD//BM，
∴∠DAP=∠AEB，
∵∠APD=∠BPE，
∴∠BPE=∠AEB，
∴BP=BE=，
∵cos∠ABC=，AB=5，
∴BH=3，AH=4，
∵AD//BM，AH⊥BM，DN⊥BM，
∴四边形AHND是矩形，
∴DN=AH=4，HN=AD=4，
中Rt△BND中，(4+)2=42+(4+3)2，
解得：x=，
综上所述：x的值为或或.
本题考查相似三角形的综合，熟练掌握锐角三角函数的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质，灵活运用分类讨论的思想是解题关键.
21、，
【分析】把点A（3，k-2）代入，即可得出＝k−2，据此求出k的值，再根据正比例函数y的值随x的值增大而减小，得出满足条件的k值即可求解．
【详解】根据题意可得
＝k−2，
整理得k2-2k+3=0，
解得k1=-1，k2=3，
∵正比例函数y的值随x的值增大而减小，
∴k=-1，
∴点A的坐标为（3，-3），
∴反比例函数是解析式为：y＝−；
正比例函数的解析式为：y=-x．
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于将函数图象的交点与方程（组）的解结合起来是解此类题目常用的方法．
22、 (1) ①n=1;② （2）
【分析】（1）①根据已知条件可确定抛物线图象的基本特征，从而列出关于的方程，即可得解；②根据二次函数图象的性质分三种情况进行分类讨论，从而得到与的分段函数关系；
（2）由得正负进行分类讨论，结合已知条件求得的取值范围．
【详解】解：(1) ∵抛物线过坐标原点
∴c=0，a=-1
∴y=-x2+2nx
∴抛物线的对称轴为直线x=n，且n≥2，抛物线开口向下
∴当-1≤x≤2时，y随x的增大而增大
∴当x=2时，函数的最大值为8
∴-4+4n=8
∴n=1．
②若
则
∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小
∴当时，函数值最大，；
若
则
∴此时，抛物线的顶点为最高点
∴；
若
则
∴抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大
∴当时，函数值最大，
∴综上所述：
（2）结论：或
证明：∵过
∴
∴
①
∵若，直线的解析式为，抛物线的对称轴为直线
∴顶点为，对称轴与直线交点坐标为
∴两个整点为，
∵不含边界
∴
∴
②
∵若，区域内已经确定有两个整点，
∴在第三项象限和第一象限的区域内都要确保没有整点
∴
∴
∵当时，直线上的点的纵坐标为，抛物线上的点的纵坐标为
∴
∴
∴
故答案为：（1）①；②（2）或
本题属于二次函数的综合创新题目，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，注意分类讨论思想方法的应用．
23、（1）E点坐标为(0, )；（2） ；（3）四边形ABNO面积的最大值为，此时N点坐标为(， )．
【分析】（1）先利用待定系数法求直线AB的解析式，与y轴的交点即为点E；
（2）利用待定系数法抛物线的函数解析式；
（3）先设N(m，m2−m)(0＜m＜3)，则G（m，m），根据面积和表示四边形ABNO的面积，利用二次函数的最大值可得结论．
【详解】（1）设直线AB的解析式为y=mx+n，
把A（-1，1），B（3，3）代入得，解得，
所以直线AB的解析式为y＝x+，
当x=0时，y＝×0+＝，
所以E点坐标为(0，)；
（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把A（-1，1），B（3，3），O（0，0）代入得，解得，
所以抛物线解析式为y＝x2−x；
（3）如图，作NG∥y轴交OB于G，OB的解析式为y=x，
设N(m，m2−m)(0＜m＜3)，则G（m，m），
GN＝m−(m2−m)＝−m2+m，
S△AOB=S△AOE+S△BOE=××1+××3=3，
S△BON＝S△ONG+SBNG＝•3•(−m2+m)＝−m2+m
所以S四边形ABNO＝S△BON+S△AOB＝−m2+m+3＝− (m−)2+
当m＝时，四边形ABNO面积的最大值，最大值为，此时N点坐标为(，)．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数的性质；理解坐标与图形性质，利用面积的和差计算不规则图形的面积．
24、（1）答案见解析；（2）作图见解析，P坐标为(2，0)
【分析】（1）根据网格结构找出点、、关于原点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；
（2）找出点关于轴的对称点，连接与轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点的位置，然后连接、并根据图象写出点的坐标即可．
【详解】解：（1）△如图所示；
（2）作点A(1，1)关于x轴的对应点，连接交x轴于点P，则点P为所求的点，连接△APB，则△APB为所求的三角形．
此时点P坐标为(2，0)
本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
25、不公平
【解析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次数字差的绝对值小于2的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否．
【详解】这个游戏对双方不公平．
理由：列表如下：
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
所有等可能的情况有16种，其中两次数字差的绝对值小于2的情况有（1，1），（2，1），（1，2），（2，2），（3，2），（2，3），（3，3），（4，3），（3，4），（4，4）共10种，
故小明获胜的概率为：，则小刚获胜的概率为：，
∵≠，
∴这个游戏对两人不公平．
此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
26、
【解析】本题先利用树状图，求出医院某天出生了3个婴儿的8中等可能性，再求出出现1个男婴、2个女婴有三种，概率为.
【详解】解：用树状图来表示出生婴儿的情况，如图所示．
在这8种情况中，一男两女的情况有3种，则概率为．
本题利用树状图比较合适，利用列表不太方便．一般来说求等可能性，只有两个层次，既可以用树状图，又可以用列表；有三个层次时，适宜用树状图求出所有的等可能性．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
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