高中数列教学案.doc

第三章 数列
第一教时
教材：数列、数列的通项公式
目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。
过程：
一、从实例引入（P110）
1． 堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,10
2． 正整数的倒数
3．
4． -1的正整数次幂：-1,1,-1,1,…
5． 无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…
二、提出课题：数列
1． 数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性）
2． 名称：项，序号，一般公式，表示法
3． 通项公式：与之间的函数关系式
如 数列1： 数列2： 数列4：
4． 分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；
有穷数列、无穷数列。
5． 实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集
N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依
次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。
6． 用图象表示：— 是一群孤立的点
例一 （P111 例一 略）
三、关于数列的通项公式
1． 不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列3）
2． 数列的通项公式不唯一 如 数列4可写成 和

3． 已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要
例二 （P111 例二）略
四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前项分别是下列
各数：
1．1，0，1， 0
2．，，，，
3．7，77，777，7777
4．-1，7，-13，19，-25，31
5．，，，
五、小结：
1． 数列的有关概念
2． 观察法求数列的通项公式
六、作业： 练习 P112 习题 3．1（P114）1、2
《课课练》中例题推荐2 练习 7、8

第二教时
教材：数列的递推关系
目的：要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列递推公式的意义，会根据给出的递推公式写出数列的前n项。
过程：
一、 复习：数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）
二、例一：若记数列的前n项之和为Sn试证明：
证：显然时 ，
当即时
∴ ∴
注意：1° 此法可作为常用公式
2° 当时 满足时，则
例二：已知数列的前n项和为① ②
求数列的通项公式。
解：1．当时，
当时，
经检验 时 也适合
2．当时，
当时，
∴
三、递推公式 （见课本P112-113 略）
以上一教时钢管的例子
从另一个角度，可以：
“递推公式”定义：已知数列的第一项，且任一项与它的前
一项（或前项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫
做这个数列的递推公式。
例三 （P113 例三）略
例四 已知， 求．
解一：可以写出：，，，，……
观察可得：
解二：由题设：
∴

∴
例五 已知， 求．
解一：
观察可得：
解二：由 ∴ 即
∴
∴
四、小结： 由数列和求通项
递推公式 （简单阶差、阶商法）
五、作业：P114 习题3．1 3、4
《课课练》 P116-118 课时2中 例题推荐 1、2
课时练习 6、7、8

第三教时
教材：等差数列（一）
目的：要求学生掌握等差数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念、计算公式，并能用来解决有关问题。
过程：
一、 引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，……
3，0，-3，-6，……
，，，，……
12，9，6，3，……
特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”
二、 得出等差数列的定义： （见P115）
注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。
1．名称：AP 首项 公差
2．若 则该数列为常数列
3．寻求等差数列的通项公式：

由此归纳为 当时 （成立）
注意: 1° 等差数列的通项公式是关于的一次函数
2° 如果通项公式是关于的一次函数，则该数列成AP
证明：若
它是以为首项，为公差的AP。
3° 公式中若 则数列递增， 则数列递减
4° 图象： 一条直线上的一群孤立点
三、例题： 注意在中，，，四数中已知三个可以求
出另一个。
例一 （P115例一）
例二 （P116例二） 注意：该题用方程组求参数
例三 （P116例三） 此题可以看成应用题
四、 关于等差中项： 如果成AP 则
证明：设公差为，则
∴
例四 《教学与测试》P77 例一：在-1与7之间顺次插入三个数使这五个数成AP，求此数列。
解一：∵ ∴是-1与7 的等差中项
∴ 又是-1与3的等差中项 ∴
又是1与7的等差中项 ∴
解二：设 ∴
∴所求的数列为-1，1，3，5，7
五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项
六、作业： P118 习题3．2 1-9

第四教时
教材：等差数列（二）
目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义，并且能够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。
过程：
一、复习：等差数列的定义，通项公式
二、例一 在等差数列中，为公差，若且
求证：1° 2°
证明：1° 设首项为，则
∵ ∴
2° ∵
∴
注意：由此可以证明一个定理：设成AP，则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和 ，即：
同样：若 则
例二 在等差数列中，
1° 若 求
解： 即 ∴
2° 若 求
解：=
3° 若 求
解： 即 ∴
从而
4° 若 求
解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ……
∴ ……
从而+2
∴=2-
=2×80-30=130
三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法
1．定义法：即证明
例三 《课课练》第3课 例三
已知数列的前项和，求证数列成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。
解：
当时
时 亦满足 ∴

首项
∴成AP且公差为6
2．中项法： 即利用中项公式，若 则成AP。
例四 《课课练》第4 课 例一
已知，，成AP，求证 ，，也成AP。
证明： ∵，，成AP ∴ 化简得：

=
∴，，也成AP
3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于的一次函数这一性质。
例五 设数列其前项和，问这个数列成AP吗？
解： 时 时
∵ ∴
∴ 数列不成AP 但从第2项起成AP。
四、小结： 略
五、作业： 《教学与测试》 第37课 练习题
《课课练》 第3、4课中选
第五教时
教材：等差数列前项和（一）
目的：要求学生掌握等差数列的求和公式，并且能够较熟练地运用解决问题。
过程：
一、引言：P119 著名的数学家 高斯（德国 1777-1855）十岁时计算
1+2+3+…+100的故事
故事结束：归结为 1．这是求等差数列1，2，3，…，100前100项和
2．高斯的解法是：前100项和
即
二、提出课题：等差数列的前项和
1．证明公式1：
证明： ①
②
①+②：
∵
∴ 由此得：
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性。
2．推导公式2
用上述公式要求必须具备三个条件：
但 代入公式1即得：
此公式要求必须具备三个条件： （有时比较有用）
总之：两个公式都表明要求必须已知中三个
3．例一 （P120 例一）：用公式1求
例二 （P120 例一）：用公式2求
学生练习：P122练习 1、2、3
三、例三 （P121 例三）求集合的元素个
数，并求这些元素的和。
解：由得
∴正整数共有14个即中共有14个元素
即：7，14，21，…，98 是
∴ 答：略
例四 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，
由此可以确定求其前项和的公式吗？
解：由题设：
得：
∴
四、小结：等差数列求和公式
五、作业 （习题3．1） P122-123

第六教时
教材：等差数列前项和（二）
目的：使学生会运用等差数列前项和的公式解决有关问题，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。
过程：
一、复习：等差数列前项和的公式
二、例一 在等差数列中 1° 已知 求和；
解：
2° 已知，求．
解：∵ ∴
例二 已知，都成AP，且 ，，试求数
列的前100项之和．
解：
例三 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。
解一：设首项为，公差为 则
解二： 由
例四 已知： （） 问多少项之和为最
大？前多少项之和的绝对值最小？
解：1°
∴
2°
当近于0时其和绝对值最小
令： 即 1024+
得：
∵ ∴
例五 项数是的等差数列，中央两项为是方程的
两根，求证此数列的和是方程
的根。 （）
解：依题意：
∵ ∴
∵
∴ ∴ （获证）

例六 （机动，作了解）求和
1°
解：
∴
2°
解：原式=
三、作业 《精编》P167-168 6、7、8、9、10

第七教时
教材：等差数列的综合练习
目的：通过练习，要求学生对等差数列的定义，通项公式，求和公式及其性质有深刻的理解。
过程：
一、复习：1．等差数列的定义，通项公式—关于的一次函数
2．判断一个数列是否成等差数列的常用方法
3．求等差数列前项和的公式
二、处理《教学与测试》P79 第38课 例题1、2、3
三、补充例题《教学与测试》备用题
1．成等差数列的四个数之和为26，第二数和第三数之积为40，求这四个数．
解：设四个数为
则：
由①： 代入②得：
∴ 四个数为2,5,8,11或11,8,5,2．
2．在等差数列中，若 求．
解：∵ ∴ 而
3．已知等差数列的前项和为，前项和为，求前项和．
解：由题设
∴ 而

从而：

四、补充例题：（供参考，选用）
4．已知， 求及．
解： 从而有
∵ ∴
∴ ∴
5．已知 求的关系式及通项公式
解：

②-①： 即：
将上式两边同乘以得：
即：
显然：是以1为首项，1为公差的AP
∴
∴
6．已知，求及．
解：∵ ∴ ∴
设 则是公差为1的等差数列 ∴
又：∵ ∴ ∴
当时
∴
7．设求证：
证：∵
∴
∴
∴
五、作业：《教学与测试》第38课 练习题P80

第八教时
教材：等比数列（一）
目的：要求学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式并会根据它进行有关计算。
过程：
一、1.印度国王奖赏国际象棋发明者的实例：得一个数列：
(1)
2.数列： (2)
(3)
观察、归纳其共同特点：1°“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
2° 隐含：任一项
3° q= 1时，{an}为常数
二、通项公式：

三、例一：（P127 例一）
实际是等比数列，求 a5
∵a1=120, q=120 ∴a5=120×1205-1=12052.5×1010
例二、（P127 例二） 强调通项公式的应用
例三、求下列各等比数列的通项公式：
1． a1=-2, a3=-8
解：

2． a1=5, 且2an+1=-3an
解：
3． a1=5, 且
解：
以上各式相乘得：
四、关于等比中项：
如果在a、b中插入一个数G，使a、G、b成GP，则G是a、b的等比中项。
（注意两解且同号两项才有等比中项）
例：2与8的等比中项为G，则G2=16 G=±4
例四、已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，
求证： 也成GP。
证：由题设：b2=ac 得：

∴ 也成GP
五、小结：等比数列定义、通项公式、中项定理
六、作业：P129 习题3．4 1—8

第九教时
教材：等比数列（二）
目的：在熟悉等比数列有关概念的基础上，要求学生进一步熟悉等比数列的有关性质，
并系统了解判断一个数列是否成等比数列的方法。
过程：
一、复习：1、等比数列的定义，通项公式，中项。
2、处理课本P128练习，重点是第三题。
二、等比数列的有关性质：
1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。
与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方。
2、若，则。
例一：1、在等比数列，已知，，求。
解：∵，∴
2、在等比数列中，，求该数列前七项之积。
解：
∵，∴前七项之积
3、在等比数列中，，，求，
解：
另解：∵是与的等比中项，∴
∴
三、判断一个数列是否成GP的方法：1、定义法，2、中项法，3、通项公式法
例二：已知无穷数列，
求证：（1）这个数列成GP
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
证：（1）（常数）∴该数列成GP。
（2），即：。
（3），∵，∴。
∴且，∴，（第项）。
例三：设均为非零实数，，
求证：成GP且公比为。
证一：关于的二次方程有实根，
∴，∴
则必有：，即，∴成GP
设公比为，则，代入

∵，即，即。
证二：∵
∴
∴，∴，且
∵非零，∴。
四、作业：《课课练》P127-128课时7中 练习4~8。
P128-129课时8中 例一，例二，例三，练习5，6，7，8。

第十教时
教材：等比数列的前项和
目的：要求学生掌握求等比数列前项的和的（公式），并了解推导公式所用的方法。
过程：
一、复习等比数列的通项公式，有关性质，及等比中项等概念。
二、引进课题，采用印度国际象棋发明者的故事，
即求 ①
用错项相消法推导结果，两边同乘以公比：
②
②－①：这是一个庞大的数字>1．84×，
以小麦千粒重为40计算，则麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出来的。
三、一般公式推导：设 ①
乘以公比， ②
①-②：，时：
时：
注意：（1）和各已知三个可求第四个，
（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆，
（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况。
四、例1、（P131，例一略）——直接应用公式。
例2、（P131，例二略）——应用题，且是公式逆用（求），要用对数算。
例3、（P131-132，例三略）——简单的“分项法”。
例4、设数列为求此数列前项的和。
解：（用错项相消法） ①
②
①-②，
当时，

当时，
五、小结：（1）等比数列前项和的公式，及其注意点，（2）错项相消法。
再介绍两种推导等比数列求和公式的方法，（作机动）
法1：设
∵成GP，∴
由等比定理：即：
当时，
当时，
法2：

从而：当时（下略）
当时
六、作业：P132-133 练习 ①，②，③
习题3．5 ①，②，③，④，⑤

第十一教时
教材：等比数列《教学与测试》第40、41课
目的：通过处理有关习题以达到复习、巩固等比数列的有关知识与概念的目的。
过程：
一、复习：等比数列的有关概念，等比数列前n项和的公式
二、处理《教学与测试》第40课：
例一、（P83）先要求x，还要检验（等比数列中任一项an¹0, q¹0）
例二、（P83）注意讲：1°“设”的技巧
2° 区别“计划增产台数”与“实际生产台数”
例三、（P83）涉及字母比较多（5个），要注意消去a2, a4
例四、（备用题）已知等比数列{an}的通项公式且：，求证：{bn}成GP
证：∵
∴

∴ ∴{bn}成GP
三、处理《教学与测试》第41课：
例一、 （P85）可利用等比数列性质a1an = a2 an-1, 再结合韦达定理求出a1与an（两解），再求解。
例二、 （P85）考虑由前项求通项，得出数列{an}，再得出数列{}，再求和——注意：从第二项起是公比为的GP
例三、 （P85）应用题：先弄清：资金数=上年资金×（1+50%）-消费基金。然后逐一推算，用数列观点写出a5，再用求和公式代入求解。
例四、 （备用题）已知数列{an}中，a1=-2且an+1=Sn，求an ,Sn
解：∵an+1=Sn 又∵an+1=Sn+1- Sn ∴Sn+1=2Sn
∴{Sn}是公比为2的等比数列，其首项为S1= a1=-2, ∴S1= a1×2n-1= -2n
∴当n≥2时, an=Sn-Sn-1=-2n-1 ∴
例五、 （备用题）是否存在数列{an}，其前项和Sn组成的数列{Sn}也是等比数列，且公比相同？
解：设等比数列{an}的公比为q，如果{Sn}是公比为q的等比数列，则：

∴

所以，这样的等比数列不存在。
四、作业：《教学与测试》P84、P86 练习题

第十二教时
教材：等比数列综合练习
目的：系统复习等比数列的概念及有关知识，要求学生能熟练的处理有关问题。
过程：
一、处理《教学与测试》P87第42课习题课（2）

B
A
P2
P1
P3
P4
Pn
1、“练习题”1 选择题。
2、（例一）略：注意需用性质。
3、（例三）略：作图解决：
解：

二、补充例题：
1、在等比数列中，，求的范围。
解：∵，∴
又∵，且，∴，
∴解之：
当时，，∴
（∵）
当时，，
∵且必须为偶数
∴，（∵）
2、等比数列前项和与积分别为S和T，数列的前项和为，
求证：
证：当时，，，，
∴，（成立）
当时，，
，（成立）
综上所述：命题成立。
3、设首项为正数的等比数列，它的前项之和为80，前项之和为6560，且前
项中数值最大的项为54，求此数列。
解：
代入（1）， ，得：，从而，
∴递增，∴前项中数值最大的项应为第项。
∴，∴，
∴，∴此数列为
4、设数列前项之和为，若且，
问：数列成GP吗？
解：∵，∴，即
即：，∴成GP
又：，
∴不成GP，但时成GP，即：。
三、作业：《教学与测试》P87-88 练习题 3，4，5，6，7
补充：1、三数成GP，若将第三数减去32，则成AP，若将该等差数列中项减
去4，以成GP，求原三数。（2，10，50或）
2、一个等比数列前项的和为前项之和，求。
（63）
3、在等比数列中，已知：，求。
《精编》P176-177 第2，4题。

第十三教时
教材：数列求和
目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用拆项法、裂项法和错位法求一些特殊的数列。
过程：
一、 提出课题：数列求和——特殊数列求和
常用数列的前n项和：

二、 拆项法：
例一、（《教学与测试》P91 例二）
求数列的前n项和。
解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则

当时，
当时，
三、 裂项法：
例二、求数列前n项和
解：设数列的通项为bn，则

例三、求数列前n项和
解：

四、 错位法：
例四、求数列前n项和
解： ①
②
两式相减：

例五、设等差数列{an}的前n项和为Sn，且，
求数列{an}的前n项和
解：取n =1，则
又： 可得：

五、作业：《教学与测试》P91—92 第44课 练习 3，4，5，6，7
补充：1. 求数列前n项和

2. 求数列前n项和
3. 求和： (5050)
4. 求和：1×4 + 2×5 + 3×6 + ……+ n×(n + 1)
5. 求数列1，(1+a)，(1+a+a2)，……，(1+a+a2+……+an-1)，……前n项和

第十四教时
教材：数列的应用
目的：引导学生接触生活中的实例，用数列的有关知识解决具体问题，同时了解处理“共项” 问题。
过程：
五、 例题：
1．《教学与测试》P93 例一）大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）
解：设相邻两层楼梯长为a，则

当n为奇数时，取 S达到最小值
当n为偶数时，取 S达到最大值
2．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？
解：不妨设，
则{cp}为{ an }与{ bn }的公共项构成的等差数列 (1000≤cp≤2000)
∵an = bm ,即：3n=4m+1 令n=3 , 则m=2 ∴c1=9且有上式可知：d=12
∴cp=9+12(p-1) ( pÎN*)
由1000≤cn≤2000解得：
∴p取84、85、……、166共83项。
3．某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01)
解：1991年、1992年、……2000年住房面积总数成AP
a1 = 6×500 = 3000万m2，d = 30万m2，a10 = 3000 + 9×30 = 3270
1990年、1991年、……2000年人口数成GP
b1 = 500 , q = 1% ,
∴2000年底该城市人均住房面积为：
4．（精编P175 例3）从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器中倒出1 kg盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg盐水，然后再加入1 kg水，
问：1.第5次倒出的的1 kg盐水中含盐多少g？
2.经6次倒出后，一共倒出多少k盐？此时加1 kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？
解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：
a1= 0.2 kg , a2=×0.2 kg , a3= ()2×0.2 kg
由此可见：an= ()n-1×0.2 kg , a5= ()5-1×0.2= ()4×0.2=0.0125 kg
2.由1.得{an}是等比数列 a1=0.2 , q=

六、 作业：《教学与测试》P94 练习 3、4、5、6、7
《精编》P177 5、6

第十五教时
教材：等差、等比数列的综合练习
目的：通过复习要求学生对等差、等比数列有更深刻的理解，逐渐形成熟练技巧。
过程：
七、 小结：等差、等比数列的定义、通项公式、中项公式、性质、求和公式。
八、 处理《教学与测试》P81第39课 习题课（1）
1．基础训练题
2．例一 由求 用定义法判定成AP
例二 关键是首先要判定或
九、 处理《教学与测试》P89第43课 等差数列与等比数列
1．例一 “设”— 利用中项公式 — 求解
2．例二 “设”的技巧，然后依题意列式，再求解
3．例三 已知数列中，是它的前项和，并且，
1° 设，求证数列是等比数列；
2° 设，求证数列是等差数列。
证：1° ∵ ∴，
∵ 两式相减得：
即： ∵
∴ 即是公比为2的等比数列
2° ∵ ∴
将代入： ∴成AP
十、 1、P90“思考题”在△ABC中，三边成等差数列，也成等差数列，求证△ABC为正三角形。
证：由题设，且 ∴
∴ 即 从而 ∴ （获证）
2、“备用题” 三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。
解：设原来三个数为 则必有 ①
②
由①： 代入②得：或 从而或13
∴原来三个数为2,10,50或
十一、 作业：《教学与测试》P81-82 练习题 3、4、5、6、7
P90 5、6、7、8

第十六教时
教材：数列极限的定义
目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地“趋近”，然后初步学会用语言来说明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。
过程：
十二、 实例：1°当无限增大时，圆的内接正边形周长无限趋近于圆周长
2°在双曲线中，当时曲线与轴的距离无限趋近于0
十三、 提出课题：数列的极限 考察下面的极限
1° 数列1：
①“项”随的增大而减少 ②但都大于0
③当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数0
2° 数列2：
①“项”随的增大而增大 ②但都小于1
③当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数1
3° 数列3：
①“项”的正负交错地排列，