大学微积分l知识点总结(二).pdf

1【第五部分】不定积分1.书本知识（包含一些补充知识）（1）原函数：F（x）=f（x），xI，则称 F（x）是 f（x）的一个“原函数”。（2）若 F（x）是 f（x）在区间上的一个原函数，则 f（x）在区间上的全体函数为 F（x）+c（其中 c 为常数）（3）基本积分表cxdxdx1 （1，为常数）cxdxx111cdxxxln1cxxxdxxcxxdxxcxarcxdxxcedxeaaacaadxaxxxxlnlnarccosarcsin11cotarctan1110ln22或或为常数，cxaxaadxxacaxadxxacaxdxxacxxdxxln211arctan11arcsin11ln11222222222cxxxdcshxdxchxcchxdxshxcoslncoscoscxdxxcxdxxcxdxxcoslntansincoscossincxdxxsinlncotcxdxxxcxdxxxcxdxxcxdxxcxxdxxcxxdxxcxxdxxcxxdxxcxxdxxcxxdxxcsccotcscsectanseccotcsctanseccotcottantan2sin412cos2sin412sincoscsclncsctanseclnsec222222cxdxaxax22ln122（4）零函数的所有原函数都是 c（5）C 代表所有的常数函数（6）运算法则dxxgdxxfdxxgxfdxxfadxxfa)()()()()()(数乘运算加减运算线性运算3（7）cxFdxxxf)()()(复合函数的积分：cbxFdxbxfcbaxFabaxdbaxfadxbaxf)()()(1)()(1)(一般地，（9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。（10）不定积分的计算方法凑微分法凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则变量代换法变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性taxdxaxtaxdxaxtaxdxxatansecsin222222分部积分法分部积分法：duvvudvudxxvxuxvxudxxvxudxxvxudxxvxuxvvxuu简写为：并有：也存在存在，则均可导，且若)()()()()()()()()()()(),(【解释：一阶微分形式不变性】释义：函数对应：y=f(u)duufduydy)(功能：说明：（8）4变性。这称为一阶微分形式不，均有是自变量还是中间变量因此，无论带入得：因为的微分形式为：为中间变量，自变量为那么复合函数复合函数求导得：，即变量为函数即为复合函数。自是中间变量，即如果的微分形式为：是自变量，则函数此时如果设函数为duufdyuduufdydudxxgxgudxxgxgfdxydyuxgxxgfyxgxgfyxgyxxguuduufduydyufyuufy)()(.)(),(.)()()()().()(,)(:),()()(),(（11）cxdxaxax22ln122（12）分段函数的积分例题说明：dxx2,1max需要调整连续的原则，需要说明的一点，依据）（）（）（）（）（）（解：321322132222,1323111-1-3231),1max(111-11-,1maxcccxcxxcxxcxdxxxxxxxx（13）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一xdxdxxdxcossinsin23的部分。如次方处理到最后化简的目的。并以达到再进行计算或将二者合量将其转化成同一次方要通过三角函数公式尽则需情况同时出现且指数不同的与，若遇到）在做不定积分问题时（,cosxsinx142xcos2xsin2sinxsinx15的问题，则中，如果单独遇到）在计算不定积分过程（5（16）隐函数求不定积分例题说明：，带入。所以：所以：解法带入。，则：令解法确定的隐函数，试求是由方程例题：设cossin;cossinsinsin1cos)(11)()(2,1,113y-x1)(2222222232yxyxyxyxyxxyxyttyttxtyxdxxyxyy（17）三角有理函数积分的万能变换公式2222222212tan2tan,12sin11cos12)12,11(2tan)cos,(sinttxxtttxttxdttttttRxtdxxxR其中：令（18）某些无理函数的不定积分.111121141822122221tt222222222 dtttdttttdttttttxxtdxxxxAA令例如：，即个根号变为（根号），变形时将整无理函数中带有欧拉变换attcbxaxtxatcbxaxcxtcbxaxcxatcbxaxacbxax222222222-0-0对于可得：对于可得：，令若，令若的积分含有（19）其他形式的不定积分6cxfxxfdxxfxfxxdfxdxxfx)()()()()()(xxIIxdxIIdxxxxIdxxxxIcAxAxAedxeBxBxBcAxAxAedxexcxeAxeAdxxexxxxxxxcos2sinln21cos2sincoscos2sinsincossinsin212121322122213221221组合法：待定系数法2.补充知识（课外补充）【例谈不定积分的计算方法】1、不定积分的定义及一般积分方法 2、特殊类型不定积分求解方法汇总1、不定积分的定义及一般积分方法（1）定义：若函数若函数 f(x)f(x)在区间在区间 I I 上连续，则上连续，则 f(x)f(x)在区间在区间 I I 上存在原函数。其上存在原函数。其中中(x)=F(x)+c(x)=F(x)+c0 0,(c,(c0 0为某个常数），则为某个常数），则(x)=F(x)+c(x)=F(x)+c0 0属于函数族属于函数族 F(x)+cF(x)+c被积表达式积分变量被积函数积分号dxxfxxf)()(dxxfkdxxfdxxfkxfniiiinii)()()()(11则：推论：若7（2）一般积分方法值得注意的问题：第一，一般积分方法并不一定是最简便的方法，要注意综合使用各种积分方法，简便计算；第二，初等函数的原函数并不一定是初等函数，因此不一定都能够积出。不能用普通方法积出的积分：.10sin1111ln1sin,sin,223422例如：Kdxxkdxxdxxdxxdxxdxxxdxex2、特殊类型不定积分求解方法汇总（1）多次分部积分的规律 dxvuvuvuvudxvuvuvudxvuvudxvunnnnnnnnnnn)1(1)2()1()()1()1()()()()1(1.8)sincos()sincos(sincossincossincos2xdxcBxdxcAxbxadxxdxcxbxa求解方法为：令的积分）对于（dxxxxxsincossincos3例如：求即可解：令)sin(cos)sin(cossincos3xxBxxAxx（3）简单无理函数的积分被积函数为简单式的有理式，可以通过根式代换化为有理函数的积分的最小公倍数是其中令令设nmpbaxtdxbaxbaxxRdcxbaxtdxdcxbaxxRbaxtdxbaxxRpmnnnnn,),(dxbxaxbxaxbaIkbadxbxaxdxI)sin()sin()()(sin)sin(1,)sin()sin(4解法：其中）求（9nnnnnbxaxtdxbxaxbxaxIndxbxaxdxI令解法：为自然数其中，）求：（,)(1,)()(511txdxcbxaxxIm162解法：令）求（cbxbbxabaedxbxeIcbxbbxabaedxbxeIaxaxaxax)sincos(cos)cossin(sin7222221）统一公式（txxxtxxxtxxxtxxxcosarccos1sinarcsin1sin1tan182222时，令和同时出现时，令和同时出现时，令和同时出现时，令和同时出现）计算技巧（dxxaxaxaxaaIdxxa)()()()(211922解法：令）求（小结：几分钟含有根号，应当考虑采用合适的方法去掉根号再进行计算。cxxxxxxxxxxdxxxxdxxxxxxdxcbxaxdxcbxaxxxxxxxcbxaxcbxaxdx21122211122122212122ln1)()(1)()(.0,)()(010则原不定积分为：的两个解为其中，时，可将原式化为：以下三种情况：的不定积分，可以分为）当遇到形如（10的形式求解配方，然后化成：时，可以先给分母进行公式，然后化为：时，可以利用完全平方dxaxkxdkx2210)()(0式化和差，和差化积”公此外，也可以利用“积等式：都是偶数时可以利用恒得到：。这两个积分可以直接或后将得到形如：。最或恒等式：中有一个奇正数时利用和）三角函数的积分：（22cos1sin,22cos1cos,sin11sinsincossincos11coscossincoscossinsincossin1coscos1sincossin1122112222xxxxnmcxqxdxdxxxcxpxdxdxxxdxxxdxxxxxxxnmdxnxxqqqpppqpm计算，然后利用改为奇时，将偶的导数）计算（即均为奇数时，可分出式：均为偶数时，利用恒等）三角函数的积分：（xxxxnmxxxnmxxnmdxxxmnm2222tan1secsectansecsectan,1tansec,sectan12cxanxamdxxanxamdxxaxnxmbabadxxbxaxnxmcoslntan1cossincos000sincossincos1322，则原式，若的解法）关于形如：（dxxbmxbndxxbxnxmbacot1sinsincos0.0，则原式若11以下内容省略），则：至少有一个不为，若.(sincossin)(cos)(sincos)sincos(sincossincossincossincos0,0,0sinlnnBaAbmBbAadxxbxaxBaAbxBbAadxxbxaxbxaBdxxbxaxbxaAdxxbxaxnxmnmbacxbmxbn代入原式有原式，则：中至少有一个不为，若单为常数，则化简十分简，或，若）不同时为，且为常数的推广对cbanbmalDbanambBbanbmaAlDAcnBaAbmBbAadxcxbxaDdxcxbxacxbxaBdxcxbxacxbxaAlnmcbacbabacbalnmcbadxcxbxalxnxmdxxbxaxnxm222222sincossincos)sincos(sincos)sincos(0,000,0000,sincossincossincossincos的关系得出最后结论。依据（化简之后为：则理不定积分的形式，令，将其转化为有的解，使用万能代换法至此，还需求出cbadtatcbttacIttxttxdttdxxtdxcxbxa,2)211cos,12sin,12,2tansincos12222212dxxxxxnn)1(114如计算：用倒代法。解时，一般使）位于分母，并难以分的高次项（如）计算积分时，如遇到（ctndtttdttttxxdxdtttddxtxnnnnn 1ln11111111,11212则解：令22122212222222122212222222212221212222122212122221222527223222)1()()1(21)()1()()121)1()1(21)1()()1(21)()1(211,41,115nmnmnnmnmnmnmnmnmnmnmnIanbxaxbmdxxbaxbxanxbaxbmdxxbaxbaxnxbaxbmdxxbaxnxbaxbmxbabmdxdxabxxIndxxxdxxxdxxxdxxbaxIn（推导过程：等积分方向：针对如的递推式）（13dxxxxxxxxxxxcxxdxxxxxdxxx6222222222secsectansectan1tansecsectanseccottancossincossincossin116例如：计算不定积分后再计算。次项用半角公式降幂之拆一项凑微分，剩余偶奇次幂，次的方法来计算。若为用半角公式通过降低幂角函数的偶次幂时，常函数是三次项去凑微分。当被积函数的乘积时，拆开奇注：当被积函数是三角函数，二者的关系为：是两个十分重要的三角和利用公式：一些特殊情况解：原式例如：求不定积分一般情况下行解题：）利用三角函数性质进（xdxdxxtantan1sec226解：cxxxxdxx5324tan51tan32tantan1tan2tan一致，消去根式，所得结果或采用双曲代换：外，还可利用公式：时，除了采用三角代换或被积函数中含有）双曲代换的应用（chtaxshtaxtshtchaxax117222222nnnndxxxfndxxxf1)(11)(18）一个特殊变换：（1421tantan2122119212222122nInxdxxIInanaxxnaIaxdxInnnnnnnnn）两个重要递推公式（cxxxxdxxxxdxxxxdxxxxxdxxxdxxxvxdxdudxdvxudxx2122122121111211sin)1(1121sin121sin1sinsinsinsin,1,sinsin120则：令解：利用分部积分法，例如求不定积分分法的最多的方法：分部积）重难点：解题时使用（公式证明过程：的积分。出的积分积出，便可以积可以将此递推公式表明：如果，是正整数递推公式：xxndxxnnxxndxxnnnnnsinsin1sin1cossin1sin221 所以有：则令xvdxxxndudxxdvxunncos,cossin)1(,sin,sin21xdxxxxdxdxxInnnn211sincoscossin)cos(sinsindxxnnxxndxxIndxxnxxxdxxndxxnxxdxxxnxxdxxxnxxnnnnnnnnnnnn 212121221221sin1cossin1sin1sin1cossinsin1sin1cossinsin1sin1cossincossin1cossin15cxxxdxxxxdxxdxxcos32cossin31sin32cossin31sinsin2233解：原式例如：计算不定积分【第六部分】定积分1.书本知识（包含一些补充知识）（1）定义)()(lim)()()(,0max.,)()(limlim)(11111111011iiniiniiniiiiiiiiiiiiiiiiininninniibanxxfxxfSxxfSISISIxxIxxnbxxxanbaxxfSdxxf求极限：即求和：，上任取一点在上用矩形代替在上的代数面积为在记时，要求当个小区间，区间分成把的定义：dxxgdxxfdxxgxfabbabababa)()()()(12线性运算性质：）定积分的性质（0)()()(aaabbadxxfdxxfdxxf）（定要求的区间可积即可，不一其中，包含区间的可加性：baccbadxxfdxxfdxxfbccaba,()()()(16babababababadxxgdxxfxgxfxgxfbaxgxfxfxfdxxfxfxfbaxfdxxgdxxfxgxfbaxgxfdxxfxfbaxf)()(),()(),()(,)(),(0:0)(00:0)(0)(0)(0)(,)()()(),()(,)()(0)(0)(,)(则：不恒等于且上连续，在区间推论：若区间上都等于则是指在整个；，也可能整个区间均为可能个别点上等于，则不恒等于，上连续，在若则上可积且在，若，则上可积且在)()()(,)()()()(,)(,)()()(,)(abfdxxfbabaxfabMdxxfabmMmbaxMxfmbaxfdxxfdxxfbaxfbabababa，使得：点上连续，则至少存在一在闭区间若（积分中值定理）均为常数，则：，上可积，在若上可积，则在若的一个原函数是莱布尼茨公式牛顿）微积分学基本公式：（)()()()()(3xfxFaFbFdxxfba为固定点），是任意常数，（成：原函数的一般表达式写的原函数一定存在，上连续，则在此区间上在某区间推论：若函数上可导，且，定义的函数在上限积分是一个固定点，则由变上连续，在区间设）微积分学基本定理：（IIxccdttfxfIxfxfxGIIxdttfxGIaIxfxaxa)()()()()()()()(317)()()()()()()(),()(),(4)()(xvxvfxuxufdttfdxdExfExVxUIxIxVxUxuxv上连续，则：区间在，且属于时，上可导，当在区间）若（22122122222)()()()()()()()(,a)()(5dxxgabdxxfdxxgxfdxxgdxxfdxxgxfbxgxfbababababa上连续，则：在以及设函数）两个推论（单调函数点为第一类分段连续函数且间断连续函数）可积函数类：（6UnnnnnUnnnxnnxlim1.2111200611908710，求设浙江大学如：的多项式。或者可以分离出形式然大多只是针对于含有一种很高效的方法，当）利用定积分求极限是（：）定积分的洛必达法则（）上限在上，下限在下（18)()(2)()()()()()()()()()(00)()()(1122xfxfxxFxFxFdttfxfxFaFxFdttfxFxfdttfxFxxxaba则：）（常数的导数为则：型）定积分求导的几种类（12）几种简化定积分的计算方法关于原点对称区间上的函数的定积分aaadxxfdxxfaaxf0)(20)(,)(1上连续，则：在区间、若函数周期函数的定积分所以：为奇函数，为偶函数，由于即：形式。即：可以标为“奇偶”的上连续，由于任意函数在、若dxxfxfdxxfdxxfxfdxxfxfxfxfdxxfxfdxxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfaaxfaaaaaaaaaaa000)()()()()(2)()(22)()(2)()()(2)()(2)()(2)()(2)()()(,)(2设 f(x)是周期为 T 的周期函数，且连续。则：是任意常数adxxfdxxfTTaa0)()(当 f(x)为奇函数当 f(x)为偶函数19132.231221.231cossin)2(2,0cos,sin2020nnnnnnnndxxdxxnnxxnnnn，有：对于任意的自然数上的积分在aadxxfadxxfxxafxfdxxfdxxfx000)(2)(),()()(sin2)(sin则推广：设特殊算法：算积分灵活运用变量代换计是复数。但是对求定积的形式，该函数的导数变。改变结果可能形成下限进行相应的改的同时，也要将上限与换成在将）换元法求定积分时，（batxba,13分的值无关，依然可以正常去求。（14）极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y)，它的极坐标是(,0).则：y0tansincos222xxyyxyx(15)定积分中容易混淆的 x 与 t 的关系的问题 对于定积分，被积表达式中的无所谓对于定积分，被积表达式中的无所谓 t t 还是还是 x x，最后都会被积分上下限所，最后都会被积分上下限所替代。所以在变限函数积分的上下限中含替代。所以在变限函数积分的上下限中含 x x 的时候，被积表达式用的时候，被积表达式用 t t 表示以示表示以示区别。当然如果此时被积表达式中含区别。当然如果此时被积表达式中含 x x 和和 t t，在二者都有的情况下，则把，在二者都有的情况下，则把 x x 看看成常数提到外面或者换元换走成常数提到外面或者换元换走 x x。例证：（n 为偶数）（n 为奇数）x20 )()(1)(11,01,0,)()(1)(0010 xgduufxduufxxxxutxutxtuxbadxxfxtdtxtfxxxgxxba原式又上，在上变为在则积分上下限由令作积分上对表示在下面用可以视为常数积分，因此积分是对解题思路：换元，注意设Q定积分证明问题中关于 x 与 t 化简后的计算方法：)()(,)(),(xfdttftxtxtftxfx时，该式的导数为计算结果出现，得出结果再令的情况时，先令化简结果出现2.补充知识（课外补充）【积分中值定理及其应用】积分中值定理是积分学的一个重要性质。它建立了定积分与被积函数之间的关系，从而使我们可以通过被积函数的性质研究积分的性质，有较高的理论价值以及广泛的应用。一、积分中值定理的内容一、积分中值定理的内容定理：积分第一中值定理baabfdxxfbabaxfba),()()(,)(，使得：上至少存在一点上连续，则在在若定理：推广的积分第一中值定理 badxxgfdxxgxfbabaxgbaxgxfbaba)()()()(,)(,)()(，使得：存在一点上至少上不变号，则在在上连续，且在闭区间，若二、积分中值定理的应用二、积分中值定理的应用21 由于该定理可以使积分符号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数之间的等式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理 在应用积分中值定理时应注意以下几点：在应用中应注意被积函数在区间a,b上这一连续条件，否则结论不一定会成立 在定理中的 g(x)在a,b上面不能变号，这个条件也不能去掉。定理中所指出的 并不一定是唯一的，也不一定必须是a,b内的点下面就其应用进行讨论（1 1）估计定积分的值）估计定积分的值.1,0,1120111136101936103619。其中解：原式的值例如：估计dxxdxxx（2 2）求含有定积分的极限）求含有定积分的极限说明：解决此类问题的关键是用积分中值定理去掉积分符号。在应用该定说明：解决此类问题的关键是用积分中值定理去掉积分符号。在应用该定理时，要注意中值理时，要注意中值 不仅依赖于积分区间，而且依赖于限式中不仅依赖于积分区间，而且依赖于限式中 n n 的趋近方式。的趋近方式。能确定函数极限所以通过这种方法并不不能严格断定，所以因为没有排除则：若直接使用中值定理，的值例如：求0sin202sin2sinlimsinlim2020nnnnnndxxdxx222200sin2limsinlimsinsinlimsinlim20222020：的第一积分中值定理有对第一个积分使用推广所以：为任意小的正数，其中故采用以下方法：取nnnnnnnnndxxdxxdxxdxx202-2222-20sinlimsinsindxxdxdxxdxxnnnn可以任意小，而对于第二个积分：Q（3 3）证明中值）证明中值 的存在性命题的存在性命题 说明：在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时，一般应用积分中说明：在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时，一般应用积分中值定理。值定理。（4 4）证明积分不等式）证明积分不等式说明：由于积分有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往具有很说明：由于积分有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往具有很强的技巧性。在证明含有定积分的不等式时，也常考虑使用积分中值定理，以强的技巧性。在证明含有定积分的不等式时，也常考虑使用积分中值定理，以便去掉积分符号。若被积函数是两个函数之积时，可考虑使用广义积分中值定便去掉积分符号。若被积函数是两个函数之积时，可考虑使用广义积分中值定理。理。.1120111120112201361019361036191036193dxxdxxxdxxx证明：例如：求证：（5 5）证明函数的单调性）证明函数的单调性23为非增函数，故为非减函数，则若而用积分中值定理得：对上式求导，得到：证明：为非增函数。为非减函数，则，若内试证：在）上连续，在（例如：设)(0)(0)()()(0)()()()()()()()(2)()()()(2)()()2()()()(),0(.)()2()(,0)(000000 xFxFxffxfxxffxxfxfxxFxfxdttfxfxxfxdttfxFdttftdttfxdttftxxFxFxfdttftxxFxfxxxxxx三、积分中值定理的拓展三、积分中值定理的拓展（1 1）第二积分中值定理）第二积分中值定理如果函数 f(x)在闭区间a,b上可积，而 g(x)在区间(a,b)上单调，则在a,b上至少存在一点，使得：成立babadxxfbgdxxfagdxxgxf)()()()()()(特别地，g(x)在a,b上单调递增，则：）（此定理也称零点定理单调递减在成立ababbadxxfagdxxgxfbaxgdxxfbgdxxgxf)()()()(,)()()()()(（2 2）特殊积分中值定理）特殊积分中值定理若函数 f(x)在区间a,b上连续，g(x)在a,b上可积且不变号，则在a,b上必存在一点，使得：成立babadxxgfdxxgxf)()()()(（3 3）第二积分中值定理和特殊积分中值定理统称为）第二积分中值定理和特殊积分中值定理统称为“广义积分中值定理广义积分中值定理”。