椭圆的标准方程样本.doc

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2．2.1　椭圆的标准方程(第一课时)

【学习要求】
1．了解椭圆的实际背景, 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、 椭圆标准方程的推导与化简过程．
2．掌握椭圆的定义、 标准方程及几何图形．
【学法指导】
经过椭圆标准方程的推导过程, 培养分析探索能力, 熟练掌握解决解析几何问题的方法——坐标法．经过对椭圆问题的探究, 掌握数形结合、 转化等数学思想.
重点难点
重点: 椭圆的定义及其标准方程、 标准方程的推导．
难点: 椭圆定义核心的发现, 标准方程的化简及建系不同的速写方程．

课前预习
椭圆的标准方程

焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程

焦点

a、 b、 c的关系

学生活动
　在生活中, 我们对椭圆并不陌生．油罐汽车的贮油罐横截面的外轮廓线、 天体中一些行星和卫星运行的轨道都是椭圆; 灯光斜照在圆形桌面上, 地面上形成的影子也是椭圆形的．在学习中, 椭圆其实比圆更加让我们熟知, 无论是数学中的0, 还是字母中的O, 我们都能看到椭圆的踪影．那么它们究竟是不是椭圆? 它们有什么性质? 借助椭圆的方程, 我们就能够回答这个问题．
活动一 椭圆的标准方程
问题1　观察椭圆的形状, 你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单? 并写出求解过程．

问题2　建系时如果焦点在y轴上会得到何种形式的椭圆方程? 怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上?

问题3　椭圆方程中的a、 b以及参数c有什么意义, 它们满足什么关系?

例1　已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆, 它的焦距为2.4 m, 外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3 m, 求这个椭圆的标准方程．

小结　(1)求椭圆的方程, 能够利用定义求出参数a, b, c其中的两个量; 也能够用待定系数法构造三者之间的关系．可是要注意先确定焦点所在的位置, 其主要步骤可归纳为”先定位, 后定量”．
(2)当焦点位置不确定时, 可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1 (m>0, n>0)．因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两类情况, 因此能够避免分类讨论, 从而达到了简化运算的目的．
跟踪训练1　(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0), (2,0), 而且经过点, 求它的标准方程; (2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1), 求椭圆的标准方程．

活动二 椭圆两种标准方程的结构特点
问题　椭圆标准方程有何特点? 怎样由椭圆标准方程看焦点位置?
例2　已知方程－＝1表示焦点在x轴上的椭圆, 则实数k的取值范围为__________．

小结　(1)利用椭圆方程解题时, 一般首先要化成标准形式．
(2)＋＝1表示椭圆的条件是表示焦点在x轴上的椭圆的条件是表示焦点在y轴上的椭圆的条件是
跟踪训练2　若方程－＝1表示焦点在y上的椭圆, 那么实数m的取值范围是____________．

活动三 椭圆的定义及标准方程的应用
例3　已知椭圆的方程为＋＝1, 椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图)．求△PF1F2的面积．

跟踪训练3　已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1、 F2的连线夹角为直角, 则PF1·PF2＝________.

课堂反馈
1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2, 则点P到另一个焦点的距离为________．
2．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆, 则实数m的取值范围是____________．
3．椭圆＋＝1的焦距为________．
4．已知椭圆经过点(, 0)且与椭圆＋＝1的焦点相同, 则这个椭圆的标准方程为____________．
课堂小结
1．平面内到两定点F1, F2的距离之和为常数, 即MF1＋MF2＝2a, 当2a>F1F2时, 轨迹是椭圆; 当2a＝F1F2时, 轨迹是一条线段F1F2; 当2a<F1F2时, 轨迹不存在．
2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法: 能够经过待定系数法求解, 也能够经过椭圆的定义进行求解．
3．用待定系数法求椭圆的标准方程时, 若已知焦点的位置, 可直接设出标准方程; 若焦点位置不确定, 可分两种情况求解; 也可设Ax2＋By2＝1(A>0, B>0, A≠B)求解, 避免了分类讨论而达到了简化运算的目的．

自我检测
1．设F1, F2为定点, F1F2＝6, 动点M满足MF1＋MF2＝6, 则动点M的轨迹是________．

2．设F1, F2是椭圆＋＝1的焦点, P为椭圆上一点, 则△PF1F2的周长为________．

3．”1<m<3”是”方程＋＝1表示椭圆”的______________条件．

4．已知F1, F2是椭圆＋＝1的两个焦点, P是椭圆上一点, 且PF1∶PF2＝4∶3, 则三角形PF1F2的面积等于________．

5．焦点在坐标轴上, 且a2＝13, c2＝12的椭圆的标准方程为________________．

6．方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆, 则m的取值范围是________．

7.已知如图椭圆两焦点为F1、 F2, 且方程为x2＋y2＝1, 过F1作直线交椭圆于A、 B两点, 则△ABF2的周长为______．

8．求经过两点P1, P2的椭圆的标准方程．

9．已知两椭圆ax2＋y2＝8与9x2＋25y2＝100的焦距相等, 则a的值为________．

10．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2, N是MF的中点, O为坐标原点, 那么线段ON的长是________．

11．已知椭圆＋＝1 (a>b>0)的焦点分别是F1(0, －1), F2(0,1), 且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点P在这个椭圆上, 且PF1－PF2＝1, 求∠F1PF2的余弦值．

12.如图, 已知椭圆的方程为＋＝1, P点是椭圆上的一点, 且∠F1PF2＝60°, 求△PF1F2的面积．

13．在Rt△ABC中, ∠CAB＝90°, AB＝2, AC＝, 曲线E过C点, 动点P在E上运动, 且保持PA＋PB的值不变, 求曲线E的方程．