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圆的方程
一、知识点疏理
1. 知识精讲.
①圆的方程
(1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心。
(2)一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，其中圆心为(-，-)，半径为，
(3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中点(x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端点。（用向量法证之）
（4）半圆方程：等
(5)圆系方程：
i)过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l：Ax+By+C=0的交点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0
ii)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)该方程不包括圆C2；
（时为一条直线方程，相交两圆时为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称轴方程）

（6）圆的一般方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系；
二元二次方程表示圆的充要条件A=C≠0，B=0 ，D2+E2-4AF>0。

二、典型例题
例1、根据下列条件，求圆的方程。
(1)和圆x2+y2=4相外切于点P(-1，)，且半径为4；
(2)经过坐标原点和点P(1，1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；
(3)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程。
解：(1)设圆心Q的坐标为(a，b) ∵⊙O与⊙Q相外切于P
∴O、P、Q共线，且λ==-=- 由定比分点公式求得a=-3，b=3
∴所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=16
(2)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：
= 即x+y-1=0
解方程组 x+y-1=0
2x+3y+1=0 得圆心C的坐标为(4，-3)。又圆的半径r=|OC|=5
∴所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25
(3)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 ① 将P、Q点的坐标分别代入①，得：
4D-2E+F=-20 ②
D-3E-F=10 ③ 令x=0，由①得y2+Ey+F=0 ④
由已知|y1-y2|=4，其中y1、y2是方程④的两根。
∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48 ⑤
②、③、⑤组成的方程组，得
D=-2 D= -10
E=0 或 E= -8
F= -12 F=4
故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0
[思维点拔]无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求。一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式。
例2、 设为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值，求P点的轨迹。
解：设动点P的坐标为（x，y）. 由.
化简得
当，整理得.
当a=1时，化简得x=0.
所以当时，P点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；
当a=1时，P点的轨迹为y轴。
【评述】上述解法是直接由题中条件，建立方程关系,，然后化简方程，这种求曲线方程的方法称为直接法。

例3、 一圆与y轴相切，圆心在直线上，且直线截圆所得的弦长为，求此圆的方程。
解：因圆与y轴相切，且圆心在直线上，故设圆方程为，由于直线截圆所得的弦长为，则有
解得，故所求圆方程为
或

【评述】求圆的弦长方法几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边
B
O
M
A
C
x
y
例4、已知⊙O的半径为3，直线与⊙O相切，一动圆与相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程。
解：取过O点且与平行的直线为x轴，过O点且垂直于
的直线为y轴，建立直角坐标系。
设动圆圆心为M（x,y），⊙O与⊙M的公共弦为
AB，⊙M与切于点C，则
AB为⊙O的直径，MO垂直
平分AB于O。
由勾股定理得

即： 这就是动圆圆心的轨迹方程
【点评】建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较简单、所求方程的形式较“整齐”
备用题：
例5、设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。
解：本题关键是找出动点P与定点M及已知动点N之间的联系，用平行四边形对角线互相平分这一定理即可。 设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为(，)，线段MN的中点坐标为(，)。
因为平行四边形对角线互相平分，故=，=
从而 x0=x+3
y0=y-4
N(x+3，y-4)在圆上，故(x+3)2+(y-4)2=4
因此所求轨迹为圆：(x+3)2+(y-4)2=4，但应除去两点：(-，)和(-，)
[思维点拔]：求与圆有关的轨迹问题，充分利用圆的方程和圆的几何性质，找出动点与圆上点之间的关系或动点所满足的几何条件。
例6、已知圆的方程是：x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0，其中a≠1，且a∈R。
(1)求证：a取不为1的实数时，上述圆恒过定点；
(2)求与圆相切的直线方程；
(3)求圆心的轨迹方程。
解：将方程x2+y2-2ax+2（a-2）y+2=0整理得x2+y2-4y+2-a（2x-2y）=0
令 x2+y2-4y+2=0
x-y=0
解之得 x=1
y=1
∴定点为(1，1)
(2)易得已知圆的圆心坐标为（a，2-a），半径为|a-1|。
设所求切线方程为y=kx+b，即kx-y+b=0
则圆心到直线的距离应等于圆的半径，即=|a-1|恒成立。
整理得2(1+k)2a2-4(1+k2)a+2(1+k2)=(k+1)2a2+2(b-2)(k+1)a+(b-2)2恒成立。
比较系数可得
2(1+k2)=(k+1)2
-4(1+k2)=2(b-2)(k+1)
2(1+k2)=(b-2)2 解之得k=1，b=0。所以，所求的切线方程是y=x。
(3)圆心坐标为(a，a-2)，又设圆心坐标为(x，y)，则有
x=a
y=2-a
消去参数得x+y=2为所求的圆心的轨迹方程。
[思维点拔]：本题是含参数的圆的方程，与圆的参数方程有本质的区别。当参数取某一确定的值时，方程表示一个确定的圆，当a变动时，方程表示圆的集合，即圆系。解本题(1)可用分离系数法求解；(2)可用待定系数法求解；(3)可用配方法求解。
一般地，过两圆C1：f(x，y)=0与C2：g(x，y)=0的交点的圆系方程为：f(x，y)+λg(x，y)=0(λ为参数)。

三、课堂小结
1、求圆的方程：主要用待定系数法，有两种求数，一是利用圆的标准方程，求出圆心坐标和半径；二是利用圆的一般方程求出系数D、E、F的值。
2、已知圆经过两已知圆的交点，求圆的方程，用经过两圆交点的圆系方程简捷。
3、解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算。
点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
一、基础知识疏理
1、 若圆(x-a)2+(y-b) 2=r2，那么点(x0,y0)在

2、直线与圆的位置关系
直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。有两种判断方法：
（1） 代数法（判别式法）
（2） 几何法，圆心到直线的距离
一般宜用几何法。
3、弦长与切线方程，切线长的求法
（1）弦长求法一般采用几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，则
（3） 改写圆方程写出圆的切线方程：(x0,y0)为切点的圆的切线方程，分别以x0 x,
y0 y,改写圆方程中的x2，y2,x,y
（4）切线长
过圆外一点引圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 或(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切线
则切线长：
4、圆与圆的位置关系

5、圆系方程
（1）以(a,b)为圆心的圆系方程： 。
（2）过两圆和的交点的圆系方程：但不含C2
时，为两圆公共弦所在直线方程
其中当两圆相切时，L为过两圆公共切点所在直线的方程。
二、题型剖析
例1、 已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点，O为原点，且OP^OQ，求该圆的圆心坐标及半径。
解法一设P(x1,y1), Q(x2,y2)，由OP^OQ, 得: kOPkOQ= -1即= -1即x1x2+y1y2=0 ①
另一方面(x1,y1),(x2,y2)是方程组的实数解，
即x1,x2是5x2+10x+4m-27=0 ② 的两个实数根，∴x1+x2=-2,x1x2= ③
又P,Q在直线x+2y-3=0上，∴y1y2=(3-x1)(3-x2)= [9-3(x1+x2)+x1x2]
将③代入得y1y2= ④
将③④代入①知：m=3.
代入方程②检验D＞０成立． ∴m=3 圆心坐标为，半径为
解法二将3=x+2y代入圆的方程知：x2+y2+(x+2y)(x-6y)+ (x+2y)2=0, 整理得：(12+m)x2+4(m-3)x y+(4m-27)y2=0由于x≠0可得(4m-27)( )2+4(m-3) +12+m=0，∴kOP, kOQ是上方程的两根, 由kOPkOQ= -1知: =-1, 解得:m=3. 检验知m=3满足. D＞０
∴ 圆心坐标为，半径为
【思维点拨】这是用韦达定理解题的典型题，在以后的圆锥曲线中也有同类型题，注意D＞０的检验
练习1：若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a,b)的位置是（B ）
A、在圆上 B、在圆外 C、在圆内 D、都有可能
变式2、过点（2，1）的直线中，被x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程是（ A ）
A、3x-y-5=0 B、 3x+y-7=0 C、 x+3y-5=0 D、x-3y+1=0
例2、已知圆C：直线.
（1） 证明不论m取什么实数，直线与圆恒交于两点；
（2） 求直线被圆C截得的弦最小时的方程.
解　（１）的方程为（x+y-4）+m(2x+y-7)=0 ∵mÎR ∴x+y-4=0,且2x+y-7=0,得x=3, y=1即恒过定点Ａ（３，１）．∵圆心Ｃ（１，２），｜ＡＣ｜＝＜５　∴点Ａ在圆Ｃ内，从而直线恒与圆Ｃ相交于两点．
（２）弦长最小值时，^ＡＣ 由kAC= - , 所以的方程为2x-y-5=0.
【思维点拨】用直线系方程求点。
若证明一条直线恒过定点或求一条直线必过定点，通常采用有分离系数法：
即将原方程改变成：f(x, y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立与
m的取值无关，故从而解出定点。
练习2：把直线向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得直线正好与圆x2+y2+2x-4y=0相切，则实数的值为（A）
A、3或13 B、-3或13 C、3或-13 D、-3或-13
解：平移后直线，由题意，所以或13
例3、过圆x2+y2=r2(r>0)外一点P(x0,y0)作圆的两条切线，切点分别为A、B，证明直线AB的方程是x0x+y0y=r2
证法一 设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). A、B在已知圆x2+y2=r2上，过A、B的切线方程分别是x1x+y1y=r2 , x2x+y2y=r2
又P是两切线公共点, 即有x1x0+y1y0=r2 , x2x0+y2y0=r2

y
x
O
.P
A
B
上面两式表明点A(x1,y1), B(x2,y2)都在二元一次方程x0x+y0y=r2表示的直线上，所以直线AB的方程是x0x+y0y=r2.
证法二以OP为直径的圆的方程为(x- x0)2+(y- y0)2= (x02+y02)即x2+y2 -x0x-y0y=0又圆的方程是x2+y2=r2两式相减得x0x+y0y=r2. 这便是过切点AB直线方程。
【思维点拨】（1）体现了曲线与方程的关系；（2）两圆相减得公共弦直线方程
例4、已知两个圆C1：x2+y2=4，C2：x2+y2-2x-4y+4=0，直线L:x+2y=0，求经过C1和C2的交点且和L相切的圆的方程。
解：设所求圆的方程为x2+y2-2x-4y+4+( x2+y2-4)=0
即(1+)x2+(1+)y2-2x-4y+4-4=0
所以圆心为半径为
依题意有解之得，舍去，故所求圆的方程为x2+y2-x-2y=0。
练习4： 过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆方程是( C )
(A)x2+y2+x-5y+2=0 (B)x2+y2-x-5y-2=0
(C)x2+y2-x+7y-32=0 (D)x2+y2+x+7y+32=0

备用题：
例5 已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线L交x轴、 y轴于A、B两点, O为原点, 且|OA|=a, |OB|=b (a>2,b>2)
（1）求证曲线C与直线L相切的条件是(a-2)(b-2)=2
(2) 求线段AB中点的轨迹方程
(3)求ΔAOB面积的最小值.
解 依题意得，直线L的方程为 +=1即bx+ay-ab=0，圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=1
（1） ∵直线与圆相切, ∴=1,化简: (a-2)(b-2)=2 ①
（2） 设AB的中点坐标为(x,y), 则a=2x,b=2y, 代入①得(2x-2)(2y-2)=2, 即(x-1)(y-1)= (x>1,y>1)
（3） 由(a-2)(b-2)=2, 得ab=2a+2b-2 ∴SΔAOB=|ab|=a+b-1=(a-2)+(b-2)+3≥2+3=2+3, 当且仅当a=b=2+时，面积有最小值：2+3.
三、小结
1.有关直线与圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定。
2.弦长计算问题要用直角三角形。
3．直线系，圆系的应用
[基础训练A组]
一、选择题
１．圆关于原点对称的圆的方程为 ( )
A． B．
C． D．
2．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
3．圆上的点到直线的距离最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．将直线，沿轴向左平移个单位，所得直线与
圆相切，则实数的值为（　　）
A． 　B． 　C．　 D．
5．在坐标平面内，与点距离为，且与点
距离为的直线共有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
6．圆在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．若经过点的直线与圆相切，则此直线在轴上的截距是 __________________.
2．由动点向圆引两条切线，切点分别为，则动点的轨迹方程为 。
3．圆心在直线上的圆与轴交于两点,则圆的方程为 .
４．已知圆和过原点的直线的交点为
则的值为________________。
5．已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是________________。
三、解答题
1．点在直线上，求的最小值。

2．求以为直径两端点的圆的方程。

3．求过点和且与直线相切的圆的方程。

4．已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的方程。

[综合训练B组]
一、选择题
1．若直线被圆所截得的弦长为,
则实数的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
2．直线与圆交于两点，
则（是原点）的面积为（ ）
Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　Ｄ．
3．直线过点，与圆有两个交点时，
斜率的取值范围是( )
A．　 B．
　C． 　D．
4．已知圆C的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与
圆C相切，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．若过定点且斜率为的直线与圆在
第一象限内的部分有交点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
６．设直线过点，且与圆相切，则的斜率是（　 ）
A． B．
C． D．
二、填空题
1．直线被曲线所截得的弦长等于
2．圆：的外有一点，由点向圆引切线的长______
2． 对于任意实数，直线与圆的
位置关系是_________
4．动圆的圆心的轨迹方程是　　　 .
５．为圆上的动点，则点到直线的距离的
最小值为_______.
三、解答题
１．求过点向圆所引的切线方程。

２．求直线被圆所截得的弦长。

３．已知实数满足，求的取值范围。

４．已知两圆，
求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长。

[提高训练C组]
一、选择题
1．圆：和圆：交于两点，
则的垂直平分线的方程是（ ）
A. B．
C． D．
2． 方程表示的曲线是（ ）
A．一个圆 B．两个半圆
C．两个圆 D．半圆
3．已知圆：及直线，
当直线被截得的弦长为时，则（ ）
A． B．
C． D．
4．圆的圆心到直线的距离是（ ）
A．　　　　B．　　　　
C．　　　　 D．
5．直线截圆得的劣弧所对的圆心角为（ ）
A． B．
C． D．
6．圆上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A．6 B．4
C．5 D．1
7．两圆和的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交
C．内切 D．外切

二、填空题
1．若点在轴上，且，则点的坐标为
2．若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是___________；
若有一个交点，则的取值范围是________；若有两个交点，则的取值范围是_______；
３．把圆的参数方程化成普通方程是______________________．
４．已知圆的方程为，过点的直线与圆
交于两点，若使最小，则直线的方程是________________。
５．如果实数满足等式，那么的最大值是________。
6．过圆外一点，引圆的两条切线，切点为，
则直线的方程为________。
三、解答题
1．求由曲线围成的图形的面积。

2．设求
的最小值。

3．求过点且圆心在直线上的圆的方程。

4．平面上有两点，点在圆周上，求使取最小值时点的坐标。

答案[基础训练A组]
一、选择题
1.A 关于原点得，则得
2.A 设圆心为，则
3.B 圆心为
4.A 直线沿轴向左平移个单位得
圆的圆心为
5.B 两圆相交，外公切线有两条
6.D 的在点处的切线方程为
二、填空题
1. 点在圆上，即切线为
2.
3. 圆心既在线段的垂直平分线即，又在
上，即圆心为，
4. 设切线为，则
5. 当垂直于已知直线时，四边形的面积最小
三、解答题
1.解：的最小值为点到直线的距离
而，。
2.解：
得
3.解：圆心显然在线段的垂直平分线上，设圆心为，半径为，则
，得，而

。
4.解：设圆心为半径为，令
而
，或
圆和方程 [综合训练B组]
一、选择题
1.D
2.D 弦长为，
3.C ，相切时的斜率为
4.D 设圆心为
5.A 圆与轴的正半轴交于
6.D 得三角形的三边，得的角
二、填空题
1. ，
2.
3.相切或相交 ；
另法：直线恒过，而在圆上
4. 圆心为，
令
5.
三、解答题
1.解：显然为所求切线之一；另设
而
或为所求。
2.解：圆心为，则圆心到直线的距离为，半径为
得弦长的一半为，即弦长为。
3.解：令则可看作圆上的动点到点的连线的斜率
而相切时的斜率为，。
4.解：（1）①；②；
②①得：为公共弦所在直线的方程；
（2）弦长的一半为，公共弦长为。
第四章 圆和方程 [提高训练C组]
一、选择题
1.C 由平面几何知识知的垂直平分线就是连心线
2.B 对分类讨论得两种情况 3.C
4.A 5.C 直线的倾斜角为，得等边三角形
6.B 7.B
二、填空题
1. 设则
2.；； 曲线代表半圆
3.
4. 当时，最小，
5. 设，

另可考虑斜率的几何意义来做
6． 设切点为，则的方程为
的方程为，则

三、解答题
1. 解：当时，，表示的图形占整个图形的
而，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆

2. 解：
可看作点和
到直线上的点的距离之和，作关于直线
对称的点，则
3.解：设圆心为，而圆心在线段的垂直平分线上，
即得圆心为，

4.解：在Δ中有，即当最小时，取最小值，而，

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