二阶微分方程的通解.doc

二阶微分方程的通解
右端仅含有自变量x，逐次积分即可得到通解，对二阶以上的微分方程也可类似求解。右端仅含有自变量x，逐次积分即可得到通解，对二阶以上的微分方程也可类似求解。
举例说明
求微分方程2y#39;#39;+y#39;-y=0的通解
先求对应的齐次方程2y#39;#39;+y#39;-y=0的通解
特征方程为2r2+r-1=0
(2r-1)(r+1)=0
r=1/2或r=-1
故通解为Y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)
因为1不是特征根，所以设原方程的特解为y*=Ae^x
那么y*#39;=y*#39;#39;=Ae^x
代入原方程得，2Ae^x=2e^x
A=1
故y*=e^x
所以原方程的通解为y=Y+y*
即y=C1 e^(x/2)+C2 e^(-x)+e^x