中华女子学院《随机过程理论》2023-2024学年第一学期期末试卷.doc

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中华女子学院
《随机过程理论》2023-2024学年第一学期期末试卷
题号
一
二
三
四
总分
得分

一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、设函数 f(x,y)=sin(x² + y²)，求在点(π/2,π/2)处沿方向向量(1,1)的方向导数。（ ）
A.√2cos(π²/2) B.√2sin(π²/2) C.2√2cos(π²/2) D.2√2sin(π²/2)

2、求曲线 y = e^x，y = e^(-x)与直线 x = 1 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积（ ）
A.π/2(1 + e²/e)；B.π/2(1 - e²/e)；C.π/2(e²/e - 1)；D.π/2(e²/e + 1)

3、当时，下列函数中哪个是无穷小量？（ ）
A.
B.
C.
D.

4、微分方程的通解为（ ）
A.
B.
C.
D.

5、求函数的定义域。( )
A. B. C. $[1,3]$ D.

6、曲线在点处的切线方程是（ ）
A.
B.
C.
D.

7、求曲线在点处的曲率为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

8、求定积分的值是多少？（ ）
A.
B.
C.
D.

9、计算定积分∫(0 到π/2)sin²x dx（ ）
A.π/4；B.π/2；C.3π/4；D.π

10、设函数，则函数的最小正周期是多少？（ ）
A. B. C. D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、设函数，其中，则函数在条件下的极大值为______。

2、设函数在处有极值 -2，则和的值分别为____。

3、求函数的单调递增区间为______________。

4、求函数的最大值为____。

5、若函数，则在处的导数为____。

三、证明题（本大题共3个小题，共30分)
1、（本题10分）设函数在[a,b]上二阶可导，且，，证明：存在，使得。

2、（本题10分）设函数在[0,1]上连续，在内可导，且，。证明：存在，使得。

3、（本题10分）设函数在[0,1]上二阶可导，且，。证明：存在，使得。

四、解答题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）求由曲线，轴在区间上所围成的图形绕轴旋转一周所形成的旋转体体积。

2、（本题10分）已知向量，，求向量与的夹角。

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