教学案四边形.习题集A(2013-2014).doc

学案提升

考点一：平行四边形的性质
☞考点说明：主要考查利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关的计算和证明
【秘籍】中点坐标公式：所在线段两个端点的坐标和的一半
若和的中点的坐标为
中点坐标公式法，常用于平行四边形的存在性问题
【例1】 平行四边形的周长是，的周长是，则的长为（ ）
A.6 B.12 C.4 D.8
【答案】D
【例2】 已知：如图，、是平行四边形的对角线上的两点，
求证：⑴≌；⑵

【答案】略
【例3】 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，若在平面内存在一点，使得以为顶点的平行四边形，则点的坐标为
【解析】、、
【例4】 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为一次函数上一动点，点为二次函数当的函数图象上一动点，若以为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为
【答案】，
考点二：平行四边形的判定
☞考点说明：单独考查平行四边形的证明题目在中考中出现的可能性不大，一般经常与其他知识进行综合考查，如二次函数动点问题与平行四边形
【例5】 如图，平行四边形的对角线、相交于点，、是直线上的两点，并且，求证：四边形是平行四边形

【答案】略[提示：对角线互相平分的四边形为平行四边形]
【例6】 已知：如图，平行四边形中，、分别是、的中点
求证：⑴;⑵四边形是平行四边形

【答案】略[提示：⑴；⑵一组对边平行且相等的四边形为平行四边形]
考点三：三角形的中位线
☞考点说明：考查中位线主要是利用中位线的性质进行线段的数量关系，角度的数量关系的转化，尤其是已知条件中涉及到很多的中点时，需要考虑中位线性质的应用
【秘籍】中点四边形：①任意四边形的中点四边形为平行四边形
②对角线垂直的四边形的中点四边形为矩形
③对角线相等的四边形的中点四边形为菱形
④对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形
【例7】 如图，四边形中，，、、、分别是、、、的中点，
求证：、相互垂直平分

【答案】[提示：如图，可证明，
四边形为菱形，∴、相互垂直平分]
【例8】 如图，四边形中，，、分别是、的中点，、的延长线交于点，、的延长线交于点，求证：

【答案】提示：连接，取的中点，连接、
则，，，
则
【例9】 如图，点、、、分别为四边形的边、、、的中点，
⑴判断四边形的形状，并证明的你的结论
⑵四边形满足什么条件时？四边形为矩形
⑶四边形满足什么条件时？四边形为菱形

【答案】⑴四边形的形状为平行四边形。证明略
[提示：，]
⑵对角线，四边形为矩形
⑶对角线，四边形为菱形
考点四：平行四边形的中心对称性
☞考点说明：主要考查点利用平行四边形的中心对称性分割图形面积
【例10】 在下面所给的图形中，若连接，则四边形是矩形，四边形是平行四边形．
⑴请你在图①中画出两条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等（不写画法）；
⑵请你在图②中画出一条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等．简要说明你的画法．

【答案】⑴如图,画法不唯一；⑵如图②过两个平行四边形的对称中心
【例11】 如图所示，在一个平行四边形的纸板上减去一个小的平行四边形的纸片，请用一条直线将剩下的部分平分成两块面积相等的纸板

【答案】如图，一共有三种分割方法，主要考察的就是平行四边形的中心对称性
考点五：平行四边形的面积
☞考点说明：主要考查有两方面，一是利用面积进行有关计算，二是利用面积进行线段有关的证明
【例12】 已知平行四边形的面积为，为对角线的交点，则的面积是_________
【答案】1
【解析】平行四边形连接对角线之后会出现4对全等三角形，12对面积相等的三角形
【例13】 如图，已知平行四边形中，、，、，，则平行四边形的面积为________

【答案】8
【例14】 如图，平行四边形，点、分别在边、上，且，与相交于点
求证：

【答案】证明：连接、，过点分别作、的垂线
垂足分别为、
则，又因为，，且
∴，又因为、，∴为的平分线，∴
考点六：矩形的性质
☞考点说明：注意矩形与一般四边形的区别，没有固定的考查形式
【例15】 矩形中，对角线、相交于点，若，，则的长为_____
【答案】8
【例16】 如图，矩形，，将沿对角线翻折，得到，则图中阴影部分的面积为_______

【答案】折叠勾股定理问题—设，则
由勾股定理可得
，解得，∴
【例17】 如图，在矩形中，、分别是边、上的点，且，
求证：平分

【答案】证明过程略
[方法一：过点作，垂足为
先证明，则
∴平分，方法二：不用辅助线也可以直接做]
【例18】 如图，矩形对角线、交于点，平分，已知，则

【答案】[提示：容易忽略的条件，是等腰三角形]
【例19】 已知矩形和点，当点在如图①所示位置时，则有结论
理由：过点作，分别交、于、两点

∵
且
∴
∴
请你参考上述信息，当点分别在图②、③的位置时，、、又有怎么样的数量关系？请你写出对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明

【答案】图②中
图③中
[图②的证明略，下面给出图③的证明]
易证
则，∵
∴，则(方法不唯一)
考点七：矩形的判定
☞考点说明：熟悉掌握矩形的判定方法方法即可
【例20】 如图，在中，点是边上的一动点，过点作直线，设交的角平分线于点，交的外角平分线于点
⑴求证：
⑵当点运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论.

【答案】⑴证明略。[提示：]
⑵当点为中点的时候，四边形是矩形。
证明过程略
考点八：直角三角形斜边上的中线
☞考点说明：直角三角形斜边上中线的性质是学生最容易遗忘的一条性质，而且也是非常重要的一条性质
【例21】 如图，在中，为斜边上的中线，若，那么
【答案】

【例22】 如图，两个等腰直角三角形、，顶点重合，点、、在同一条直线上，是的中点，连接、
求证：且
【答案】方法不唯一，本题只给出“直角三角形斜边上中线等于斜边一半的方法”
∵、均为等腰直角三角形，且、、在同一条直线上
∴、均为直角三角形
∵是的中点 ∴
∴点、、、在以点为圆心，为半径的圆上
∴（圆周角与圆心角），即
【例23】 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）
A． B．
C． D． 6

【答案】A

O
y
x
A
C
B
【巩固】已知边长为的正三角形，两顶点分别在平面直角坐 标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是 ．

【答案】

考点九：菱形的性质
☞考点说明：中点掌握与菱形的有关计算
【例24】 如图所示，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于 ．
【答案】

【例25】 如图，在菱形中，，、分别是边和的中点，于点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D[提示：斜边上中线]
考点十：菱形的判定
☞考点说明：熟练掌握菱形的判定即可
【例26】 如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别交于、，垂足为
求证：四边形为菱形
【答案】略
【例27】 如图，两个等宽的纸条交叉摆放到一起，重叠部分为四边形
求证：四边形为菱形
【答案】略[注意：本图形所涉及的结论会隐藏在一些综合题中，
所以熟练掌握这些基本图形，对我们解决综合问题还是有很大的帮助]

考点十一：菱形的面积
☞考点说明：掌握菱形面积的求法以及利用面积法求线段的长
【例28】 已知菱形的一条对角线是另一条对角线的倍，面积为，则它的边长应为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【例29】 如图，已知菱形的对角线于点，则的长为
【答案】

考点十二：正方形的性质及判定
☞考点说明：正方形可以说是四边形中这一章节中的重中之重，正方形可以结合很多知识点进行考察，所以题型也非常多，下面给出部分经典题型
【例30】 如图，在正方形中，、分别是、的中点，求证：．
【答案】延长，交于点
可证及
可得 ∴
∵ ∴ ∴
又∵ ∴

【例31】 、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．

【解析】 延长至，使，连结，易证，，．
再证，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，则有．
【例32】 如图：正方形ABCD的边长为6cm，E是AD的中点，点P在AB上，且∠ECP=45°。则PE的长是 cm．△PEC的面积是 .

【解析】此题为角含半角模型，可以利用旋转．
设，，，根据勾股定理，故
【答案】⑴5；15
【例33】 如图，已知正方形的面积为，点在上，点在的延长线上，且
，则的长为

【答案】[提示：]

【例34】 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，为CD边上的点，=3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．
⑴求BN的长；
⑵求四边形ABNM的面积.
【答案】⑴由题意，点A与点，点与点分别关于直线对称
∴，．
设，则．
∵ 正方形，∴ ．
∴ ．
∵ =3，∴ ．解得．
∴ ．
⑵本问方法有两种：
方法一：如图，过点作于点，连接，则
证明即可，则
∴四边形ABNM的面积为
方法二：如图，连接、
设，则
由勾股定理可得
可求出，其他略
方法三：也可以利用三个三角形相似来求解
考点十三：梯形及梯形常见辅助线
☞考点说明：虽然中考中必考一道与梯形有关的证明和计算题，因此熟练掌握梯形有关辅助线的作法就显的尤为重要。因为北京中考出题的方式还是比较灵活，因此不排除会考察矩形、菱形、正方形等有关的证明，这也是我们要求学生熟练掌握特殊平行四边形的性质和判定的原因。必须掌握的辅助线有作高、平移腰、平移对角线，出现腰上中点时构造全等三角形或中位线
【例35】 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BD⊥CD，∠C=60°，AD=，BC=，求AB的长．

【答案】如图，分别过点A、D作AE⊥BC于点E ，DF⊥BC于点F
∴AE//DF． 又∵AD//BC，
∴四边形AEFD是矩形．
∴EF=AD=
∵BD⊥CD，∠C=60°，BC=，∴DC=BC·cos60°=．
∴CF=DC·cos60°=．∴ AE=DF= DC·sin60°=∴
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴ AB=
【例36】 如图，梯形中，，，，求的度数．

【答案】过作，过作，
由，∴

【例37】 如图，在梯形中，，，，是上一点，且，若、，求的长．

【答案】过点作交于点，
∵
∴四边形是平行四边形．
∴， ∴
∵
∴
在中，
在中，
∴∴，∴ ∴

【例38】 已知：如图，在梯形中，对角线，，
，求该梯形的高．

【答案】过作交的延长线于点，
过点作于点，所以可知
梯形的面积，
根据勾股定理，故

课后作业

【习题1】 如图，在平行四边形中，，于，为的中点，若，则等于 ．

【解析】连接，并延长与的延长线交于一点，利用斜边中线
【答案】°
【习题2】 如图，已知平行四边形中，是的中点，且则该平行四边形的面积是 ．

【解析】过点作，交延长线于点，四边形为平行四边形，，根据勾股定理逆定理，为直角三角形，根据等面积法求出高，故面积为72

【答案】72
【习题3】 如图，矩形纸片中，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，记与点重合点为，则的面积与该矩形的面积比为 ．

【答案】
【习题4】 已知点是矩形的边的一个动点，矩形的两条边的长分别为3和4，那么点到矩形的两条对角线和的距离之和是 ．
【答案】

【习题5】 已知平行四边形的周长为，自顶点作为垂足，若,则的长为 ．
【解析】分两种情况：①为钝角时，根据面积相等能列出方程，通过勾股定理得
故②为锐角时，方法同情况一，,故

【答案】或
【习题6】 如图，、是平行四边形对角线上两点，，求证：．

【答案】证明：平行四边形中，，，
∴．
又，
∴，
∴，
∴
【习题7】 如图，平行四边形中，是的中点，、的延长线交于点，连接、．求证：．

【答案】易证，
∴
∴和是以、为底的等底等高三角形．
∴
∵和是以、为底的等底等高三角形．
∴，∴．
【习题8】 已知：如图，于点，，，求证：．

【答案】取边中点F，连接，，∵
∴∴
∴，∴,故
【习题9】 如图，在平行四边形中，为边上一点，且
（1）求证：．
（2）若平分求的度数。

【答案】（1）∴
（2）∵，∴∵平分,∴∴为等边三角形，∴
【习题10】 如图，、、均为直线同侧的等边三角形．当时，
（1）求证：
（2）求证：四边形为平行四边形
（3）若，，，求四边形的面积．

【答案】（1）∴∴，（2）∵、为等边三角形，
∴，，．
∴．
∴．
∴．
又∵为等边三角形，
∴．
∴．
同理可得．
∴四边形是平行四边形．
（3），，过点作出边上的高，就可求得面积为．
【习题11】 等边中，点在上，点在上，且，所以为边作等边．
（1）求证：为等边三角形
（2）求证：四边形是平行四边形．

【答案】（1）连结．
∵，，
∴≌，∴，
∵，∴
∴是等边三角形，（2）∴，
∵，∴
∴∥，∴四边形是平行四边形
【习题12】 在平行四边形中，过任作一直线，过、、作的垂线、、，垂足分别是、、，求证：．

【答案】解法一：如图，过作于，则为矩形．
∴，．
又，∴．
又，∴．
∴，∴．
解法二：如图，延长到，使，连接，显然为矩形．
∴．
∵，，∴．
又∵，∴，∴．
∴．
【习题13】 如图，中，是的中点，是上任意一点，∥，∥．求证：与互相平分．

【答案】连结、．
∵∥，∥，∴四边形是平行四边形
∴
∵，∴
∵∥，∴四边形是平行四边形
∴与互相平分
【习题14】 如图⑴，四边形中，若，则必然等于.请运用结论证明下述问题：如图⑵，在平行四边形中取一点，使得，求证：.

【答案】分别过点、作，，交于点，连接．
∵，
∴，，，
∵，，∴，
∴为平行四边形，∴
∵，∴≌，∴
在四边形中，
∴，∴
【习题15】 如图，，于，交于，求证：①=②

【解析】①取，证，又证四边形是平行四边形，故
②，，，，故

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