5.3-按贝塞尔函数展开成级数PPT参考课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,5.3,按贝塞尔函数展开为级数,应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解问题,时，最终都要把已知函数按贝塞尔函数系展开为,级数。本节我们将讨论这个问题。,本章开始，我们从薄圆盘温度分布的定解问题,中，导出了,贝塞尔方程的固有值问题,：,方程,(32),的,通解,为,(32),(33),2025/7/15 周二,2,无穷大,，,方程,(32),的,通解,为,(32),(33),由于,由边界条件,(33),中的,有界性条件,可知,从而,另外，再利用,(33),中的条件,得,(34),2025/7/15 周二,3,5.3.1,贝塞尔函数的,零点,(32),(33),(34),方程,(34),表明，为了求出固有值问题,(32)(33),的固有值,我们需要判明,的零点是否存在？,所谓贝塞尔函数的,零点,，,指的是使,的那些,的值。,关于贝塞尔函数的,零点,有下面一系列的定理。,2025/7/15 周二,4,5.3.1,贝塞尔函数的,零点,1,有无穷多个单重实零点，,这些零点在,轴上关于原点对称分布，,因而,有,无穷多,个正零点,；,2,的零点与,的零点是彼此相间分布的，,且,的绝对值最小的零点比,的绝对值,最小的零点更接近于,0,；,自然有，,与,没有公共零点,。,3,当,值充分大时，,的两个相邻零点之间的,的距离接近于,整数阶贝塞尔函数,应用更多，,特别是,与,2025/7/15 周二,5,(34),应用上述关于贝塞尔函数零点的结论，设,为,的,正零点,，,则由方程,(34),得,与这些,固有值,相对应的,固有函数,为,(35),(36),2025/7/15 周二,6,(32),(36),5.3.2,贝塞尔函数系的,正交性,阶贝塞尔函数序列,(36),在区间,上,带权,正交,，即,(37),证,将贝塞尔方程,(32),改写如下,2025/7/15 周二,7,(37),为书写方便，记,其中,为任意参变量。,则有,将上面两式分别乘以,和,2025/7/15 周二,8,(37),为书写方便，记,其中,为任意参变量。,则有,上两式相减得,2025/7/15 周二,9,(37),为书写方便，记,其中,为任意参变量。,则有,上式两边对,从,到,积分得,(38),2025/7/15 周二,10,(37),(38),在,(38),式中取,并且由于,便立即可得,(37),式成立。,阶贝塞尔函数序列,(36),在区间,上,带权,正交,.,2025/7/15 周二,11,5.3.3,贝塞尔函数的,模,(38),定积分,(39),的,平方根,，称为,贝塞尔函数,的,模,。,当,时，由,(38),式得,2025/7/15 周二,12,在上式中，令,仍为任意参数，,由于,故上式化为,形式的不定型，,当,时，上式右端为,应用,洛必达法则,，得,2025/7/15 周二,13,应用,洛必达法则,，得,(40),由,递推公式,2025/7/15 周二,14,(40),由,递推公式,以及,得,从而,(40),式变为,(41),由于,贝塞尔函数,与,没有公共零点,，,由,(41),式知,贝塞尔函数的模不为,0,.,2025/7/15 周二,15,5.3.4,傅里叶,-,贝塞尔级数,(41),在应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解,问题时，往往需要把已知,函数按贝塞尔函数系,展成级数,。,内分段连续的,囿变函数,，且积分,的值有限，,则它必能展开成如下形式的级数：,(42),并且，在,的,连续点,级数,(42),收敛于,可以证明，如果,为定义于区间,2025/7/15 周二,16,(41),(42),在,的,间断点,处，级数收敛于点,左右极限,的,平均值,，即收敛于,其中系数,由下式确定,(43),由公式,(43),确定的,称为,傅里叶,-,贝塞尔系数,，,级数,(42),称为,傅里叶,-,贝塞尔级数。,2025/7/15 周二,17,(41),(42),(43),(37),事实上，,并对,从,到,积分得,(42),式两边同乘,2025/7/15 周二,18,(41),(42),(43),(37),事实上，,并对,从,到,积分得,(42),式两边同乘,2025/7/15 周二,19,(41),(42),(43),(37),事实上，,并对,从,到,积分得,(42),式两边同乘,2025/7/15 周二,20,例,(43),设,是函数,的,正零点,，,试将,函数,在,上展成,的,傅里叶,-,贝塞尔级数,。,解,由,(42)(43),式有,先计算分子，,(42),2025/7/15 周二,21,例,设,是函数,的,正零点,，,试将,函数,在,上展成,的,傅里叶,-,贝塞尔级数,。,解,由,(42)(43),式有,先计算分子，,令,则,代入,得,2025/7/15 周二,22,例,设,是函数,的,正零点,，,试将,函数,在,上展成,的,傅里叶,-,贝塞尔级数,。,解,由,(42)(43),式有,代入,得,于是,2025/7/15 周二,