高中数学知识点总结(新课标大纲版).pdf

高中数学考点总结高中数学考点总结 一一.集合与简易逻辑集合与简易逻辑1.1.注意区分集合中元素的形式.如：函数的定义域；函数的值域；|lg x yx|lg y yx 函数图象上的点集.(,)|lg x yyx2.2.集合的性质：任何一个集合是它本身的子集,记为.AAA 空集是任何集合的子集,记为.A 空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况ABA 如：,如果,求的取值.(答：)012|2xaxxAARIa0a ,；()UUUCABC AC BIU()UUUCABC AC BUIABCABCIIII（）（）.ABCABCUUUU（）（）.ABAABBIUUUABC BC AUAC BIUC ABRU 元素的个数：.ABU()()card ABcardAcardBcard ABUI 含个元素的集合的子集个数为；真子集(非空子集)个数为；非空真子集个数为.n2n21n22n3.3.补补集思想集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：如：已知函数在区间上至少存在一个实数,使12)2(24)(22ppxpxxf 1,1c ,求实数的取值范围.(答：)0)(cfp32(3,)4.4.原命题:；逆命题:；否命题:；逆否命题:；互为逆否的两pqqppq qp 个命题是等价的.如：“”是“”的 条件.(答：充分非必要条件)sinsin5.5.若且,则是的充分非必要条件(或是的必要非充分条件).pqqppqqp6.6.注意命题的否定否定与它的否命否命题题的区别:命题的否定否定是；否命否命题题是.pqpqpq pq 命题“或”的否定是“且”；“且”的否定是“或”.pqpqpqpq 如如：“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是“若和不都是偶数,则是奇数”abba abba 否定是“若和都是偶数,则是奇数”.abba 7.7.常见结论的否定形式二二.函数函数1.1.映射:是：“一对一或多对一”的对应；集合中的元素必有象且中不fABAA 同元素在中可以有相同的象；集合中的元素不一定有原象(即象集).BBB 一一映射:：“一对一”的对应；中不同元素的象必不同,中元素都有原象.fABAB2.2.函数:是特殊的映射.特殊在定义域和值域都是非空数集！据此可知函数图像与轴fABABx 的垂线至多有一个公共点,但与轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.y3.3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.4.4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母;偶次根式被开方数非负;对数真数,底数000 且；零指数幂的底数)；实际问题有意义；若定义域为,复合函数定义10()f x,a b()f g x 域由解出；若定义域为,则定义域相当于时的值域.()ag xb()f g x,a b()f x,xa b()g x5.5.求值域常用方法:配方法(二次函数类)；逆求法(反函数法)；换元法(特别注意新元的范围).三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；不等式法单调性法；数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；判别式法（慎用）：导数法(一般适用于高次多项式函数).原结论否定原结论否定是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个n至多有个1n小于不小于至多有个n至少有个1n对所有,成立x存在某,不成立x或pq且pq对任何,不成立x存在某,成立x且pq或pq6.6.求函数解析式的常用方法：待定系数法(已知所求函数的类型)；代换(配凑)法；方程的思想-对已知等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。()f x7.7.函数的奇偶性和单调性 函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；若是偶函数,那么；定义域含零的奇函数必过原点()；()f x()()(|)f xfxfx(0)0f 判断函数奇偶性可用定义的等价形式：或；()()0f xfx()()1()0)fxf xf x 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.注意：注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个 (如定义域关于原点对称即可).()0f x 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等.复合函数单调性由“同增异减”判定.（提醒：求单调区间时注意定义域）如：如：函数的单调递增区间是.(答：)122log(2)yxx_(1,2)8.8.函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移-“左加右减”（注意是针对而言）；x 上下平移-“上加下减”(注意是针对而言).翻折变换：；.()f x()|()|f xf x()(|)f xfx 对称变换：证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.证明图像与的对称性,即证上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在上,反之亦然.1C2C1C2C 函数与的图像关于直线(轴)对称；函数与函数()yf x()yfx0 x y()yf x 的图像关于直线(轴)对称；()yfx0y x 若函数对时，或恒成立,则图像关()yf xxR()()f axf ax()(2)f xfax()yf x 于直线对称；xa 若对时,恒成立,则图像关于直线对称；()yf xxR()()f axf bx()yf x2abx 函数,的图像关于直线对称(由确定)；()yf ax()yf bx2baxaxbx 函数与的图像关于直线对称；()yf xa()yf bx2abx 函数,的图像关于直线对称(由确定)；()yf x()yAf x2Ay()()2f xAf xy 函数与的图像关于原点成中心对称；函数,()yf x()yfx()yf x()ynf mx 的图像关于点对称；22(,)m n 函数与函数的图像关于直线对称；曲线：,关于()yf x1()yfxyx1C(,)0f x y ,的对称曲线的方程为(或；yxayxa 2C(,)0f ya xa(,)0fyaxa 曲线：关于点的对称曲线方程为：.1C(,)0f x y(,)a b2C(2,2)0faxby9.9.函数的周期性：若对时恒成立,则 的 周 期 为；()yf xxR()()f xaf xa()f x2|a 若是偶函数,其图像又关于直线对称,则的周期为；()yf xxa()f x2|a 若奇函数,其图像又关于直线对称,则的周期为；()yf xxa()f x4|a 若关于点,对称,则的周期为；()yf x(,0)a(,0)b()f x2|ab 的图象关于直线,对称,则函数的周期为；()yf xxa()xb ab()yf x2|ab 对时,或,则的周期为；()yf xxR()()f xaf x 1()()f xf xa()yf x2|a10.10.对数：；对数恒等式；loglognnaabb(0,1,0,)aabnRlog(0,1,0)aNaN aaN ；log()loglog;logloglog;loglognaaaaaaaaMNM NMNMNMnM ；对数换底公式；1loglognaaMnMlogloglogbbaNaN(0,1,0,1)aabb 推论：.121123logloglog1loglogloglognabcaaananbcaaaaa L (以上且均不等于)120,0,0,1,0,1,0,1,0nMNaabbcca aaL12,na aaL111.11.方程有解(为的值域)；恒成立,()kf xkDD()f x()af x()af x最大值 恒成立.()af x()af x最小值12.12.恒成立问题的处理方法：分离参数法(最值法)；转化为一元二次方程根的分布问题；13.13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14.14.二次函数解析式的三种形式：一般式：；顶点式：2()(0)f xaxbxc a ；零点式：.2()()(0)f xa xhk a12()()()(0)f xa xxxxa15.15.一元二次方程实根分布:先画图再研究、轴与区间关系、区间端点函数值符号;0 16.16.复合函数：复合函数定义域求法：若的定义域为,其复合函数的定义域可由()f x,a b()f g x 不等式解出；若的定义域为,求的定义域，相当于时,求()ag xb()f g x,a b()f x,xa b 的值域；复合函数的单调性由“同增异减”判定.()g x17.17.对于反函数,应掌握以下一些结论：定义域上的单调函数必有反函数；奇函数的反函数 也是奇函数；定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；周期函数不存在反函数；互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；与互为()yf x1()yfx 反函数,设的定义域为,值域为,则有,.()f xAB1()()f fxx xB1()()ff xx xA18.18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：(或)(或)；()()()0f ug x uh x0()aub()0()0f af b()0()0f af b19.19.函数的图像是双曲线：两渐近线分别直线(由分母为零确定)和(0,)axbcxdycadbcdcx 直线(由分子、分母中的系数确定)；对称中心是点；反函数为；acy x(,)daccbdxcxay20.20.函数：增区间为,减区间为.(0,0)bxyaxab(,)bbaa,0),(0bbaa 如：已知函数在区间上为增函数,则实数的取值范围是(答：).12()axxf x(2,)a_12(,)三三.数列数列1.1.由求,注意验证是否包含在后面的公式中,若不符合要nSna1*1(1)(2,)nnnS naSSnnN1ana 单独列出.如：数列满足，求(答：).na111534,nnnaSSana14(1)3 4(2)nnnan2.2.等差数列(为常数)1nnnaaadd112(2,*)nnnaaannN ；21122(,)(,)nnddaanb ad badSAnBn ABa3.3.等差数列的性质：,；()nmaanm dmnaamnd (反之不一定成立)；特别地,当时,有；mnlkmnlkaaaa 2mnp2mnpaaa 若、是等差数列,则(、是非零常数)是等差数列；na nbnnkatbkt 等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数列；232,mmmmmSSSSSL L 等差数列,当项数为时,；项数为时,na2nSSnd偶奇1nnSaSa奇偶21n ,且；.(*)nSSaa nN偶中奇21(21)nnSna1SnSn奇偶()(21)nnnnAaBbf nfn 首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前 n 项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式 (或).也可用的二次函数关系来分析.100nnaa100nnaa2nSAnBn 若,则；若,则；,()nmam an mn0m na,()nmSm Sn mn()m nSmn 若,则 Sm+n=0；S3m=3(S2mSm)；.()mnSSmnm nmnSSSmnd4.4.等比数列.121111(0)(2,*)nnnnnnnnaaaq qaaannNaa q5.5.等比数列的性质 ,；若、是等比数列，则、等也是等比数列；n mnmaa qnn mmaqana nbnkanna b ；(反之不一定成111111(1)1111(1)(1)(1)(1)nnnnqqaaaaaqqqqna qna qSqqqmnlkmnlka aa a 立)；.等比数列中(注：各注：各项项均不均不为为 0)mnm nmnnmSSq SSq S232,mmmmmSSSSSL L 仍是等比数列.等比数列当项数为时,；项数为时,.na2nSSq偶奇21n1SaSq奇偶6.6.如果数列是等差数列,则数列(总有意义)是等比数列；如果数列是等比数列,nanaAnaAna 则数列是等差数列；log|(0,1)anaaa 若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列；nana 如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差 是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的 公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：；,ad a ad3,3ad ad ad ad 三个数成等比的设法：；四个数成等比的错误设法：(为什么？),aqa aq33,aaqqaq aq7.7.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式.已知(即)求用作差法：.nS12()naaaf nLna11,(1),(2)nnnSnaSSn 已知求用作商法：.12()naaaf nLna()(1)(1),(1),(2)nf nf nfnan 若求用迭加法.已知,求用迭乘法.1()nnaaf nna1()nnaaf nna 已知数列递推式求,用构造法(构造等差、等比数列)：形如形如,na1nnakab1nnnakab (为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,1nnakaa nb,k bk 再求.形如形如的递推数列都可以用“取倒数法”求通项.na11nnnakaba8.8.数列求和的方法：公式法：等差数列,等比数列求和公式；分组求和法；倒序相加；错位 相减；分裂通项法.公式：；12123(1)nn nL222216123(1)(21)nn nnL ；常见裂项公式；33332(1)2123n nnL2135nnL111(1)1n nnn ；11 11()()n nkknnk1111(1)(1)2(1)(1)(2)n nnn nnn11(1)!(1)!nnnn12200111sincos12200111sincos 常见放缩公式：.21211112()2()nnnnnnnnn9.9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题 这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算 “年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常常选选用用“统统一法一法”统统一到一到“最后最后”解决解决.利率问题：单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金元,每期利p 率为,则期后本利和为：(等差数列问rn(1)2(1)(12)(1)()nn nSprprpnrp nrL 题）；复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)元,采用分期等p 额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分期还清.如果每期利n 率为（按复利），那么每期等额还款元应满足：rx (等比数列问题).12(1)(1)(1)(1)nnnprxrxrxrxL四四.三角函数三角函数1.1.终边与终边相同；终边与终边共线；终边2()kkZ()kkZ 与终边关于轴对称；终边与终边关于轴对称x()kkZ y ；终边与终边关于原点对称；2()kkZ2()kkZ 终边与终边关于角终边对称.22()kkZ2.2.弧长公式：；扇形面积公式：；弧度().|lr21122|Slrr扇形11rad57.33.3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦一全二正弦,三切四余弦三切四余弦”.注意：；3tan15cot752 3tan75cot152 4.4.三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹 、”的关系.sincosxxsincosxx 如等.2(sincos)12sin cosxxxx 5.5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；(注意：公式中始终视 为锐角)6.6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.如：；()2()()2()()22 等；“”的变换：；222()()1221sincostancot2sin30tan45xxxx 7.7.重要结论：其中）；重要公式；22sincossin()abaxbxxtanba22cos1sin22cos ；.1cos221cossin1cos21cos1cossintan 21sin2222(cossin)|cossin|万能公式：；.22tan1tansin2221tan1tancos222tan1tantan28.8.正弦型曲线的对称轴；对称中心；sin()yAx2()kxkZ(,0)()kkZ 余弦型曲线的对称轴；对称中心；cos()yAx()kxkZ2(,0)()kkZ9.9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三 内角和等于,一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：；180sinsinsin2abcABCR 余弦定理：；22222222()222cos,cos1bcabcabcbcabcbcAA 正弦平方差公式：；三角形的内切圆半径；22sinsinsin()sin()ABABAB2ABCSabcr 面积公式：；射影定理：.124sinabcRSabCcoscosabCcB10.10.中,易得：,.ABCABCsinsin()ABCcoscos()ABC tantan()ABC ,.22sincosABC22cossinABC22tancotABCsinsinabABAB 锐角中,类比得钝角结论.ABC2ABsincos,coscosABAB222abcABC .tantantantantantanABCABC11.角的范围：异面直线所成角；直线与平面所成角；二面角和两向量的夹角；直线2(0,20,0,的倾斜角；到的角；与的夹角.注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等.0,)1l2l0,)1l2l2(0,五五.平面向量平面向量1.1.设,.(1)；(2).11(,)ax yr22(,)bxyr1221/0abx yx yrr121200aba bx xy yrrr r2.2.平面向量基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向1eu r2eu u r 量,有且只有一对实数、,使.ar121 122aeeru ru u r3.3.设,则；其几何意义是等于的长度11(,)ax yr22(,)bxyr1212|cosa ba bx xy yr rrra br rar 与在的方向上的投影的乘积；在的方向上的投影.brararbr12122222|cos|x xy ya babxyr rrr4.4.三点、共线与共线；与共线的单位向量.ABCABuuu rACuuu rABuuu r|ABABuu ruu r5.5.平面向量数量积性质：设,则；注意注意:11(,)ax yr22(,)bxyr121222221122cos|x xy ya ba bxyxyr rrr 为锐角,不同向；为直角；为钝角,不反向.,a br r0a br r,a br r,a br r0a br r,a br r0a br r,a br r6.6.同向或有；反向或有a br r0|ababababrrrrrrrrra br r0r ；不共线.|ababababrrrrrrrra br r|abababrrrrrr7.7.平面向量数量积的坐标表示：若,则；11(,)ax yr22(,)bxyr1212a bx xy yr r ；若,则.221212|()()ABxxyyuuu r(,)ax yr222aa axyrr r8.8.熟记平移公式和定比分点公式.当点在线段上时,；当点在线段(或)P21PP0P21PP12PP 延长线上时,或.分点坐标公式：若；且,；1 10 12PPPPuuu ruuu r111(,)P x y(,)P x y222(,)P xy 则,中点坐标公式：.121211(1)xxyyxy 121222(1)xxyyxy,三点共线存在实数、使得且.1P P2P12OPOPOPuuu ruuu ruuu u r19.9.三角形中向量性质：过边的中点：；ABACuuu ruuu rBC|()()ABACABACABACABACuu ruu ruu ruu ruu ruu ruu ruu r 为的重心；13()0PGPAPBPCGAGBGCGuuu ruu u ruu u ruuu ruu u ruuu ruuu rrABCOk 为的垂心；为PA PBPB PCPA PCPuu u r uu u ruu u r uuu ruu u r uuu rABC|0BC PACA PBAB PCPuuu r uu u ruu u r uu u ruuu r uuu rr 的内心；所在直线过内心.设,ABC|()(0)ABACABACuu ruu ruu ruu rABC1122(,),(,)A x yB xy .12AOBABBASx yx y222121|sin|()2ABCSABACAABACAB ACuuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu r 为内一点,则.OABC0BOCAOCAOBSOASOBSOCuu u ruuu ruuu rr10.10.,有()；.(,)(,)(,)ah kP x yP x y r按平移xxhyykPPauuu rr(,)()()ah kyf xykf xh r按平移六六.不等式不等式1.1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：若,则.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.0ab ba11ab 如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.2.2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意 用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.3.3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若,则(当且仅当时0,ba2222211ababababba 取等号)使用条件：使用条件：“一正二定三相等一正二定三相等”常用的方法为：拆、凑、平方等；(2)，,a b cR (当且仅当时,取等号)；(3)公式注意变形如：,222abcabbccaabc22222()abab ；(4)若,则(真分数的性真分数的性质质)；22()abab0,0abmbbmaam4.4.含绝对值不等式：同号或有；异号或有,a b0|abababab,a b0 .|abababab5.5.证明不等式常用方法：比较法：作差比较：.注意：若两个正数作差比较有困0ABAB 难,可以通过它们的平方差来比较大小；综合法：由因导果；分析法：执果索因.基本步骤：要证 需证,只需证；反证法：正难则反；放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.放缩法的方法有：添加或舍去一些项,如：；.将分子或分母放大(或缩小)21|aa(1)n nn 利用基本不等式,如：.利用常用结论：；(1)(1)2nnn n0111121kkkkk (程度大)；(程度小)；02211111111(1)(1)1kkkkkkkkk0322111111211()kkkk 换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元 代数换元.如：知,可设；知,可设,222xyacos,sinxaya221xycosxrsinyr ()；知,可设；已知,可设.01r22221xyabcos,sinxayb22221xyabsec,tanxayb 最值法,如：,则恒成立.,则恒成立.()af x最大值()af x()af x最小值()af x七七.直线和圆的方程直线和圆的方程1.1.直线的倾斜角的范围是；0,）2.2.直线的倾斜角与斜率的变化关系(如右图)：2tan()k 3.3.直直线线方程五种形式方程五种形式：点斜式点斜式：已知直线过点斜率为，则直线00(,)xyk 方程为,它不包括垂直于轴的直线.斜截式斜截式：已知直线在轴上的截距为00()yyk xxxyb 和斜率，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线.两点式两点式：已知直线经过kykxbx 、两点,则直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线.111(,)P x y222(,)P xy112121yyxxyyxx 截距式截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为,它不包括垂直于坐标xy,a b1xyab 轴的直线和过原点的直线.一般式一般式：任何直线均可写成(不同时为 0)的形式.0AxByC,A B 提醒提醒：直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为.直线两截距相等直线的斜率为或直线过01 原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为 或直线过原点；直线两截距绝对值相等1 直线的斜率为或直线过原点.1 截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.4.4.直直线线与直与直线线的位置关系的位置关系：1111:0lA xB yC2222:0lA xB yC 平行(斜率)且(在轴上截距)；12210ABA B12210BCB Cy 相交；(3)重合且.12210ABA B12210ABA B12210BCB C5.5.直线系方程：过两直线：,：.交点的直线系方程可设1l1110A xB yC2l2220A xB yC 为；与直线平行的直线系方程可设为111222()0A xB yCA xB yC:0l AxByC ；与直线垂直的直线系方程可设为.0()AxBymmc:0l AxByC0BxAyn6.6.到角和到角和夹夹角公式角公式：到的角是指直线绕着交点按逆时针方向转到和直线重合所转的角,1l2l1l2l 且；(0,)211 2121tan(1)kkk kk k 与的夹角是指不大于直角的角且.1l2l2,(0,211 2121tan|(1)kkk kk k 7.7.点到直线的距离公式；00(,)P xy0AxByC0022AxByCdAB 两条平行线与的距离是.10AxByC20AxByC1222CCdAB8.8.设三角形三顶点,则重心；ABC11(,)A x y22(,)B xy33(,)C xy123123(,)33xxxyyyG9.9.有关对称的一些结论 点关于轴、轴、原点、直线的对称点分别是,.(,)a bxyyx(,)ab(,)a b(,)ab(,)b a 曲线关于下列点和直线对称的曲线方程为：点：；(,)0f x y(,)a b(2,2)0faxby 轴：；轴：；原点：；直线：x(,)0f xyy(,)0fx y(,)0fxyyx ；直线：；直线：.(,)0f y x yx(,)0fyxxa(2,)0fax y10.10.圆的标准方程：.圆的一般方程：222()()xaybr .特特别别提醒提醒：只有当时,方程22220(40)xyDxEyFDEF2240DEF 才表示圆心为,半径为的圆(二元二次方程220 xyDxEyF22(,)DE22142DEF 表示圆,且).220AxBxyCyDxEyF0AC220,40BDEAF 圆的参数方程：(为参数),其中圆心为,半径为.圆的参数方程主要应用是cossinxarybr(,)a br 三角换元：；.222cos,sinxyrxryr222cos,sin(0)xytxryrrt 以、为直径的圆的方程；11(,)A x y22(,)B xy1212()()()()0 xxxxyyyy11.11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点及圆的方程00(,)P xy .点在圆外；222()()xaybr22200()()xaybrP 点在圆内；点在圆上.22200()()xaybrP22200()()xaybrP12.12.圆上一点的切线方程：点在圆上,则过点的切线方程为：；00(,)P xy222xyrP200 x xy yr 过圆上一点切线方程为.222()()xaybr00(,)P xy200()()()()xa xayb ybr13.13.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与轴垂直的直线.x14.14.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解 决弦长问题.相离相切相交drdrdr15.15.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为,d 两圆的半径分别为：两圆相离；两圆相外切；两,r RdRrdRr|RrdRr 圆相交；两圆相内切；两圆内含；两圆同心.|dRr|dRr0d 16.16.过圆：,：交点的圆(相交弦)系方程1C221110 xyD xE yF2C222220 xyD xE yF 为.时为两圆相交弦所在直线方程.2222111222()()0 xyD xE yFxyD xE yF1 17.17.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性平面几何性质质的作用的作用(如半径、半弦长、弦心距构成 直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).18.18.求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域,写出目标 函数(判断几何意义)；(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解.八八.圆锥曲线方程圆锥曲线方程1.1.椭圆焦半径公式：设为椭圆上任一点,焦点为,00(,)P xy22221(0)xyabab1(,0)Fc2(,0)F c 则(“左加右减左加右减”)；1020,PFaexPFaex2.2.双曲线焦半径：设为双曲线上任一点,焦点为,00(,)P xy22221(0,0)xyabab1(,0)Fc2(,0)F c 则：当点在右支上时,；当点在左支上时,P1020|,|PFaexPFaex P10|PFaex ；(为离心率).另：双曲线的渐近线方程为.20|PFaexe22221(0,0)xyabab22220 xyab3.3.抛物线焦半径公式：设为抛物线上任意一点,为焦点,则00(,)P xy22(0)ypx pF ；上任意一点,为焦点，则.02|pPFx22(0)ypx p F02|pPFx 4.4.共渐近线的双曲线标准方程为(为参数,).bayx 2222xyab05.5.两个常见的曲线系方程：过曲线,的交点的曲线系方程是1(,)0f x y 2(,)0fx y (为参数).共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中12(,)(,)0f x yfx y22221xyakbk .当时,表示椭圆；当时,表示双曲线.22max,ka b22min,ka b2222min,max,a bka b6.6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或221212()()ABxxyy2121|ABkxx (弦端点,由方程消去2212112221(1)()41|kxxx xyyk1122(,),(,)A x yB xy(,)0ykxcbF x y 得到,为斜率).这里体现了解几中“设而不求”的思想；y02cbxax0 k7.7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为,焦准距为,抛物线的通径为,焦准距为；22ba2bcp 2pp 双曲线的焦点到渐近线的距离为；22221(0,0)xyababb8.8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为(对于椭圆)；221AxBy0,0AB9.9.抛物线的焦点弦（过焦点的弦）为,、,则有如下结论：22(0)ypx pAB11(,)A x y22(,)B xy ；,；.12|ABxxp2124px x 212y yp 112|pAFBFuu ruu r10.10.椭圆左焦点弦,右焦点弦.22221(0)xyabab12|2()ABae xx12|2()ABae xx11.11.对于抛物线上的点的坐标可设为,以简化计算.22(0)ypx p200(,)2yyp12.12.圆锥圆锥曲曲线线中点弦中点弦问题问题：遇到中点弦问题常用“韦韦达定理达定理”或或“点差法点差法”求解.在椭圆中,22221xyab 以为中点的弦所在直线斜率；在双曲线中,以为中点的弦所00(,)P xy2020b xka y 22221xyab00(,)P xy 在直线斜率；在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率.2020b xka y22(0)ypx p00(,)P xy0pyk 13.13.求轨迹方程的常用方法：直接法：直接通过建立、之间的关系，构成,是求轨迹的最基本的方法.xy(,)0F x y 待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.代入法(相关点法或转移法).定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.交轨法(参数法)：当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑(,)P x y 将、均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.xy14.14.解析几何与向量解析几何与向量综综合的有关合的有关结论结论：给出直线的方向向量或.等于已知直线的斜率或；(1,)ukr(,)um nrknm 给出与相交,等于已知过的中点；OBOAABOBOAAB 给出,等于已知是的中点;0r PNPMPMN 给出,等于已知与的中点三点共线;()APAQBPBQuuu ruuu ruu u ruuu rQP,AB 给出以下情形之一：；存在实数,使；若存在实数,ACAB/ABACuuu ruuu r,且；使,等于已知三点共线.1OCOAOBuuu ruu u ruuu rCBA,给出,等于已知是的定比分点,为定比,即1OAOBOPuu ruu ruuu rPABPBAP 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已0MBMAMBMA AMB0mMBMA 知是钝角或反向共线,给出,等于已知是锐角或同向共线.AMB0mMBMAAMB 给出,等于已知是的平分线.|()MAMBMAMBMPuu ruu u ruuu ruu ruu u rMPAMB 在平行四边形中,给出,等于已知是菱形.ABCD0)()(ADABADABABCD 在平行四边形中,给出,等于已知是矩形.ABCD|ABADABADuuu ruuu ruuu ruuu rABCD 在中,给出，等于已知是的外心(三角形的外心是外接圆ABC222OCOBOAOABC 的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点).在中,给出，等于已知是的重心(三角形的重心是三角形ABC0OCOBOAOABC 三条中线的交点).在中,给出，等于已知是的垂心(三角形的垂心ABCOAOCOCOBOBOAOABC 是三角形三条高的交点).在中,给出等于已知通过的内心.ABC OAOP|()ABACABACuu ruu ruu ruu r)(RAPABC 在中,给出等于已知是的内心(三角形内切圆ABC,0OCcOBbOAaOABC 的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点).在中,给出,等于已知是中边的中线.ABC12()ADABACuuu ruuu ruuu rADABCBC九九.直线、平面、简单几何体直线、平面、简单几何体1.1.从一点出发的三条射线、.若,则点在平面上的射影在OOAOBOCAOBAOC ABOC 的平分线上；BOC2.2.立平斜三角余弦公式：(图略)和平面所成的角是,在平面内,和的射影成,AB1ACACAB1AB2 设,则；3BAC123coscoscos3.3.异面直线所成角的求法：平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线.补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在 于容易发现两条异面直线间的关系；4.4.直线与平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关键.5.5.二面角的求法：定义法；三垂线法；垂面法；射影法：利用面积射影公式cosSS射斜 其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出