第二章拉普拉斯变换讲课稿.ppt

page,控制工程基础,第二章 拉普拉斯变换,机电工程学院,*,第二章拉普拉斯变换,原函数,(Original Function),象函数,(Image Function),一、拉普拉斯变换的定义,设时间函数,则,的拉普拉斯变换定义为,一个函数可以进行拉氏变换的,充要条件,是,：,(1),在,t0,。,图,2-1-5,指数函数,0,r(t),t,1,其拉氏变换为,（六）正弦函数,正弦函数,（,Sine Function,）,的数学表达式为,(,t,0,),式中，为正弦函数的角频率。,其拉氏变换为,（七）余弦函数,余弦函数,（,Cosine Function,）,的数学表达式为,(t0),(,八,),幂函数,幂函数,（,Power Function,）,的数学表达式为,(,t,0,n,-1,且为整数,),其拉氏变换为,单位阶跃函数、单位斜坡函数,及,单位加速度函数,分别是幂函数,当,n,=0,、,n,=1,及,n,=2,时的特例,。,注,:,欧拉公式,一、线性性质,(Linearity),第二节 拉普拉斯变换的性质,线性性质指,同时,满足,叠加性,和,齐次性,。,叠加性,(Additivity Property),：,指当几个激励信号同时作用于系统时，,总的输出响应,等于,每个激励单独,作用,所产生的,响应之和,。如,，则,。,齐次性,(Homogeneity Property),：,指当输入信号乘,以某常数时，响应也倍乘相同的常数。如：,，,则 。,则,若有,，,a,和,b,为常数,例,2-2,求 。,解：,二、延时定理,（,Time-Shift Theorem,）,若有 ，对任意实数,a,则,三、周期函数的拉氏变换,若函数,是以,T,为周期的周期函数,即,，,则有,四、复数域位移定理,(Complex-Shifting Theorem),若,，对于任意常数,a,(,实数或复数,),，有,五、时间尺度改变性质,(Change of Time Scale),时间尺度改变性质又称,相似定理,或称,尺寸变换特性,(Scaling Property),或称,压扩特性,(Companding Property),。,若 ，,a,是任意常数，则,六、微分性质,(Differentiation Property),f,(0),为时间函数,f,(,t,),在,t,=0,处的初始值,。,注意,，本书假设,f,(0,-,)=,f,(0,+,)=,f,(0),。,推论,若 ，则,特别地，当 时，有,七、积分性质,(Integration Property),其中,推论,若,则,当初始条件为零时，,八、初值定理,(Initial Value Theorem),若 ，且 存在，则,九、终值定理,(Final Value Theorem),解：,由初值定理和终值定理得,例,2-8,已知,（,a,0,）,，求,。,十、复微分定理,(Complex-Differentiation Theorem),则,若,十一、复积分定理,(Complex-Integration Theorem),则,若,十二、卷积定理,(Convolution Theorem),两函数,f,1,(,t,),和,f,2,(,t,),的卷积定义为,卷积满足以下性质：,（,1,）交换律,（,2,）结合律,（,3,）分配律,拉氏变换的卷积定理：,则,第三节 拉普拉斯反变换,已知象函数 ，求其原函数 的变换称作,拉氏反变换,（,Inverse Laplace Transform,）,，记为：，并定义为,通常求拉氏反变换的方法有：,(1),查表法,(3),部分分式法,(2),有理函数法,一般象函数可以表示成如下的有理分式,式中，和 分别为,F,(,s,),的,极点,和,零点,，它们是,实数,或,共轭复数,，且,nm,。根据极点种类的不同，将上式化为部分分式之和，有以下,两种,情况。,一、,F,(,s,),无重极点的情况,当,F,(,s,),无重极点时，即只有各不相同的单极点,（,Distinct Poles,）,。,F,(,s,),总是能展开为下面简单的部分分式之和：,因此,式中，,c,i,为待定常数，称为,F,(,s,),在极点,p,i,处的,留数,.,例,2-11,已知,试求原函数。,解：将,F,(,s,),写成部分分式形式,式中,于是，有,二、,F,(,s,),有重极点的情况,假设,F,(,s,),有,r,个,重极点,(Multiple Poles),p,1,，其余极点均不相同，则,F,(,s,),可表示为,式中,为重极点对应的待定系数,求法如下：,其余系数 的求法与第一种情况所述的方法相同，即,因此，,F,(,s,),的拉氏反变换为,例,2-12,已知 ，试求原函数,f,(,t,),。,解：,将,F,(,s,),写成部分分式形式，有,式中，,c,11,c,12,c,13,为三重极点,s,=-2,所对应的系数，根据公式式计算,c,2,c,3,为单极点对应的系数，根据公式计算,于是其象函数可写为,查拉氏变换表可求得原函数为,第四节 用拉普拉斯变换解线性微分方程,利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：,(1),对方程两边取拉氏变换，得函数的代数方程；,(2),由代数方程求解出象函数；,(3),取拉氏反变换，得微分方程解。,解：,将初始条件代入上式得,例,2-15,求微分方程,满足初始条件,的解。,方程两边取拉氏变换得,即,利用部分分式法得,作 业,(P44),2-7,（,2,）,谢谢！,此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢,