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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,第1章 概率及概率密度分布函数,1/53,系统状态宏观量,系统状态微观量,统计方法,最基础概念,概率,2/53,1.1,概率基本概念,统计规律性,随机现象与随机事件,随机事件发生可能性 概率定义,概率基本性质,概率简单计算,3/53,1.1.1 随机现象与随机事件,确定性事件,:,能够被预言事情,.,比如，做简谐振动单摆，只要知道其固有频率及初始条件，我们就能计算出摆球在任何时刻位置和速度。,随机现象,:,只能确定影响它们演化一部分原因，还有一部分原因是无法确定，或无法控制，所以，现象发展结局不是唯一，到底怎样，事先不能预言。,比如，容器中气体，尽管我们能够控制容器容积、气体压强、乃至其温度，但我们无法控制气体分子在热运动中怎样和其它分子、又怎样和容器壁去碰撞，因而无从预言各个分子每一时刻空间位置与速度，我们说，气体中一个分子所在空间位置及其运动状态怎样,，,是一个随机现象。,随机事件,:,在一定条件下，一个随机现象能够出现各种结果中每一个，就叫做一个随机事件。,4/53,对随机现象进行试验观察，在单次试验中所出现不能再“分解”事件，叫做,基本随机事件,。,比如掷骰子可能出现不一样点数这一,随机现象,，在单次试验中分别出现,1,点、,2,点、,3,点、,4,点、,5,点、,6,点，就是它六个,基本随机事件,。,一随机现象全部基本随机事件组成一,基本事件组,.,掷骰子,基本事件组,就由上述六个,基本事件,而组成。,复杂随机事件,:,某一随机事件,B,是由随机事件,A1,、,A2,、,.,、,Am,所组成，即,:,当且仅当这,m,个事件中有一个发生时，事件,B,才发生。这么随机事件,B,就属于,复杂随机事件,了。,还以掷骰子为例，我们能够取“掷出点数等于或大于,5”,为一随机事件，记为,B,。显然，不论掷出点数是,5,还是,6,，都算做事件,B,发生了。我们称,B,事件是由“掷出点数为,5”,这一基本随机事件与另一“掷出点数为,6”,基本随机事件而组成,.,这时,随机事件,B,就属于,复杂随机事件,了,.,5/53,基本随机事件组,内事件含有,互不相容性,:,在单次试验中,若上述事件,B,发生了，也就是,A1,、,A2.,、,Am,中任何,一个,发生了，而,A1,、,A2.,、,Am,中任两个事件绝不可能在单次试验中同时发生，我们称它们是互不相容。基本随机事件组内事件都是互不相容。,普通地，凡不可能在单次试验中同时发生两个随机事件，就是互不相容随机事件。,6/53,两个随机事件含有,各自独立性,:,有时，对于,选定,随机事件,A,与,B,，其中之一是否发生并不受另一个是否发生所影响，则称,A,与,B,是相互独立。,比如，同时掷两只骰子，其一是否出现,5,点与另一个是否出现,3,点毫无联络，两骰子分别出现,5,点与,3,点这两个随机事件尽管能够同时发生，却相互独立。,即便拿一只骰子来说，“这次投掷是否出现,5,点”与“下次投掷是否出现,3,点”也是不相干，尽管是两次相继投掷，这两个随机事件仍是各自独立。,再以我们在本课程中将尤其关注气体分子速度为例，一分子速度,X,分量介于怎样大小区间与它,Y,分量介于怎样大小区间，,Z,分量又介于怎样大小区间，是相互独立。,7/53,随机现象,基本随机事件,基本事件组,复杂随机事件,A,1,A,2,A,n,A,m-1,A,m,8/53,1.1.2统计规律性,演示试验 对大量随机事件整体有统计规律可循.,伽尔顿板试验:,9/53,如图,一个带有玻璃面板大盒内用竖直隔板分成许多等宽小格，另有一斜放着、底板面钉有许多小铁钉木槽，其开口处与大盒口一边相接。常叫这种装置为,伽尔顿板,。,伽尔顿板,令小球从钉板上方滚下，它要与板上铁钉进行无规则碰撞，在下滚途中受力复杂细节是失去人为控制，尤其在把不止一个小球乃至大量小球同时或连续沿钉板撒下时，我们不可能一一控制它们落下初始状态，而且它们除与铁钉碰撞还要彼此碰撞，更使得每个小球运动展现随机状态。尽管各个小球运动都遵从牛顿力学定律，但它们离开钉槽时速度不论在大小还是方向上都含有偶然性，以致，就单个小球来说，它滚下后终究会落在大木盒中哪一个格子里，是不能预知。,10/53,一,.,现保持木槽倾斜度不变，先把,少许,小球从钉板上撒下，它们将滚落在盒中各格里而有一分布。以尽可能相同方式将一样数量小球再撒下一次，又一次，,，发觉：每次小球在各格中分布是有显著差异。,二,.,现改撒,大量,小球，盒中各格里接到小球数目是不相等，越靠两边格里小球数目越少，中间有一格中落入小球数目最多。终究是哪一格中最多这与木槽倾斜度相关。用一样多小球再撒一次，按上面所说单个小球运动轨迹不可控制，以致落入盒中哪一格完全含有偶然性来推想，或许仍会象少许小球撒下时那样，出现显著不一样于前次分布。但实际上，只要木槽倾斜度固定，球数目足够多，且总数保持不变，撒球方式也尽可能相同，那么屡次试验得出结果彼此都非常靠近。,11/53,伽尔顿板试验结论,:,大数量小球落在大盒各格中分布不再含有偶然性，它说明，在一定条件下，对大量随机事件整体而言，含有较稳定特征，是有必定规律可循，这就是,统计规律性,。,12/53,统计规律性包容着单个随机事件,偶然性,:,试将大量小球中一只染成与众不一样颜色，在屡次试验得到各格小球数有稳定分布同时，这只可被识别染色小球出现在哪一格中却完全没有一定。,13/53,统计规律性一定伴随有所谓,“涨落”现象,。,在伽尔顿板试验中，假如我们每次都逐格清点落入小球数目，并做下统计，就会发觉，每次试验中球数实际分布与经极屡次试验后统计算得平均分布是有偏差。这就叫做“涨落”，而且用来投撒小球总数较少时，这种“涨落”现象就很显著。,大量,随机事件,所必定遵从,统计规律性,是依存于个别随机事件,偶然性,，,涨落现象,与,统计规律性,相伴正表明了偶然性与必定性之间辩证关系。,14/53,1.1.3,随机事件发生可能性,-,概率定义,:,概率是统计规律中最基本概念。,概率,-,给出一随机事件发生可能性有多大。,在确定条件下，对随机现象进行足够屡次观察试验，将看到该现象中各种可能随机事件。设试验总次数为,N,，其中，事件,A,出现次数为,N,A,，定义,为事件,A,出现频数。这频数会依,N,不一样有所改变；但伴随,N,增大，因为偶然原因所起作用相对降低，随机现象本身固有特征变得显著，以致,v,A,会稳定在某一值附近而只有越来越小起伏。,当,N,较大时，频数趋于一极限：,P,A,就叫事件,A,出现概率。显然，概率反应了随机事件出现可能性，,P,A,越大，事件,A,出现可能性就越大。,15/53,1.1.4概率基本性质,1.,任意一事件概率,P,A,必有,0,P,A,1,.,P,A,=1,意味着,A,事件在给定条件下一定发生,是,必定事件,；,P,A,=0,则是,A,事件在给定条件下根本不可能发生，这是,不可能事件,。,16/53,2.,加法定理,设,A,1,、,A,2,为两互不相容事件，若,A,1,或者,A,2,出现时都可认为事件,A,已出现，称,A,为,A,1,与,A,2,“或”,(,或称为“和”,).,表示为,:A=A,1,+A,2,或,A=A,1,A,2,。,则有,:P,A,=P,A1+,P,A2,式中,P,A,、,P,A1,和,P,A2,分别为出现,A,、单独出现,A,1,和单独出现,A,2,概率。,若,A,为若干个互不相容随机事件“或”,:,A=A,1,A,2,A,n,则,:,17/53,3.,基本随机事件组中各事件概率归一,.(,概率归一化条件,),若,A,1,至,A,n,组成一随机基本事件组,亦即包含了某随机现象全部可能独立出现全部基本随机事件,那么,A,便是必定事件,:,18/53,4.,乘法定理,设,A,、,B,两事件是相容，把,A,、,B,都发生事件称之为,C,，换句话说，,C,是在,A,和,B,都出现时方才实现事件，简单地称,C,是,A,和,B,“交”,(,也称为“积”,).,表示为,:C=AB,或,C=A,B,则有,:P,C,=P(A,B)=P,A,P(B|A),其中,P,A,是,A,事件发生概率,;,P(B|A),是在,A,发生前提下,B,事件出现概率，叫,“条件概率”,.,当,A,、,B,两事件是相互独立，即,B,出现概率跟是不是附加上,A,出现这一条件无关，反之亦然,则有：,P(B|A)=P,B,;P(A|B)=P,A.,此时,P,C,=P(A,B)=P,A,P,B,两相容独立事件都出现概率，等于两独立事件单独出现概率之乘积，这叫做乘法定理。,推广到计算多个相容独立事件都出现概率：,19/53,1.1.5概率简单计算,一,.,古典式随机现象概率简单计算,:,古典式随机现象要满足以下两个条件：,(1),该随机现象基本随机事件组事件数目有限；,(2),每一基本随机事件发生概率相等。,例一,:,掷一只匀质、形状规则骰子，它有六个对称面，掷出去终究出现点数是几，有六种等概率可能，这是一个古典式随机现象。,例二,:,容器内有,N,个气体分子，若以一假想截面将容器分为容积相等,A,、,B,两部分，每个分子都可自由往来于,A,、,B,之间，倘视,N,个分子是能够彼此区分，但又各自独立地以一样方式热运动着，那么这些气体分子在,A,、,B,两部分中分布共有种可能，而且每种分布出现概率都相等。这又是一个古典式随机现象。,20/53,设一古典式随机现象基本随机事件组中含有,n,个基本事件，那么依古典式随机现象应满足条件，易得每一基本事件发生概率,:,-(1.1.8),假如该随机现象某个复杂随机事件,c,是由,m,个基本事件复合而成，则,c,概率,:,-(1.1.9),在详细计算中，必须先适当地定义基本事件组，并由,(1.1.8),和,(1.1.9),式可见，关键是计算,n,和,m,，这需要用到数学中相关排列、组合公式。,21/53,1.2,随机变量与概率分布,随机变量,离散型随机变量概率分布,连续型随机变量概率密度分布函数,22/53,1.2.1 随机变量,为了讨论,随机事件,与对应,概率,之间关系，首先要把随机事件数值化，于是，引进,随机变量,.,定义,:,把在确定条件下随机现象中每一个随机事件,w,都唯一地与一个实数值,X(,w,),相对应，则称实数值变量,X(,w,),为一个随机变量。,23/53,例,1-2-1,设盒中有,3,个白球，两个黑球，从中随便摸取,3,个球。考查,:,在摸取,3,个球中黑球数目。,现给这,5,个球编号，,(1),、,(2),、,(3),号为白球，,(4),、,(5),号为黑球。则“摸取,3,个球”可能结果,w,有十种，见表,1.2.1,第一列，给出了十种可能里各自摸到三球编号。设随机变量,X(,w,),为每种可能情形下摸到黑球数目，其值也列于表,1.2.1,中。,24/53,表,1.2.1,随机事件,w,与随机变量,X(w),w,X(w),(1)(2)(3),0,(1)(2)(4),1,(1)(2)(5),1,(1)(3)(4),1,(1)(3)(5),1,(2)(3)(4),1,(2)(3)(5),1,(1)(4)(5),2,(2)(4)(5),2,(3)(4)(5),2,这里，我们看到，所选取随机变量能够取,0,，,1,，,2,三个实数值，区分出了三种不一样复杂随机事件。而每种可能，是在给定条件下，符合明确要求一个基本随机事件，它对应着一个确定值；但一个确定值却能够对应不止一个基本随机事件，比如，,X=1,就对应着六个不一样可能情况。,25/53,例,1-2-2,硬币一面刻着国徽，另一面刻着币值。抛掷一枚硬币，它落地时哪一面朝上是随机。我们能够事先约定，令刻着国徽一面朝上对应着随机变量,X=1,，而刻有币值一面朝上对应着随机变量,X=0,。这么，对于并不显现为某某数量怎样随机事件，也照样能用随机变量把它们标识出来。,例,1-2-3,气体分子处于不停、无规则热运动之中，任何单个分子所在空间位置及运动速度都在随机地瞬息万变。能够把单个分子速率取做随机变量，或者把它速度分量取做随机变量组，还能够把它空间位置坐标取做随机变量组。,26/53,随机变量分类,:,离散型随机变量,:,随机变量,(,或随机变量组,),所取值可被一一列举出来；,非离散型随机变量,:,随机变量,(,或随机变量组,),所取值不能被一一列举出来,:,在例,1-2-3,中，分子位置坐标能够取某一范围内全部实数值，不尽穷举。分子速率和速度三个分量取值也是如此。实际碰到非离散型随机变量大都有很好数学性质，按数学家定义，有连续型随机变量之称,27/53,1.2.2,离散型随机变量概率分布,为了完全地描述一个随机现象，只知道其随机变量,X,可取哪些值是远远不够，更主要是要知道,X,取各个值概率。,设可能取值是，对应概率分别是,P,i,=P(X=x,i,)(i=1,2,n),经适当选定随机变量，还能够把不一样随机事件概率,P,写成各事件对应随机变量,X,函数：,P=f(x),28/53,概率分布,-,二项式分布,有一些随机现象，在单次试验观察中所出现结果只可能有两种，就是说，它基本事件组中只包含两个基本事件，记为,A,和,B,。设它们各自概率分别为,p,和,q,，依据概率归一化条件有,p+q=1,(1.2.1),现在，要对这么一个随机现象,N,次独立试验结果来做整体察看。求在这,N,次独立试验序列中有,n,1,次出现事件,A(,自然也就是有,N-n,1,次出现,B),概率。,由互不相容事件“或”概率加法定理,:,(1.2.2),式中因子 是以各种不一样次序在,N,次试验中有,n,1,次,A,出现组合数，通常记为 。,利用二项式定理及,(1-2-1),式，不难证实,(1-2-2),式给出概率分布函数满足归一化条件：,也正因为概率分布函数,P,N,(n,1,),恰是二项式展开中,P,第,n,1,次幂通项，所以这一分布叫做,二项式分布,.,29/53,一维“无规行走,(Random walk)”,问题,例,1-2-4,一条笔直东西走向狭街上立着一电线杆，杆下有一醉汉沿街踉踉跄跄忽东忽西地走路。假定他每一步步长都是,l,，但各步朝东还是朝西不受上一步影响，是完全随机。试求他从电线杆处出发走了,N,步之后，离电线杆距离为,x,概率。,“无规行走”是有名概率问题。它能够不限于一维，也能够每步长不相等，那就要包括更多个随机变量。物理中有许多问题数学模型就是“无规行走”。比如布朗粒子运动如同醉汉行路，用“无规行走”模型来讨论它们方均位移就很适当。,30/53,解,基本随机事件只有两个：或朝东走，或朝西走。设他朝东、朝西走概率分别是,p,和,q,。,p,能够等于、也能够不等于,q,，比如这条街路面是倾斜，那么醉汉朝上坡方向走概率就小于朝下坡方向走概率；而若街道水平，则能够认为,p=q=1/2,。,先来看在他走过,N,步中若有,n,1,步是朝东走这种可能性有多大。取,n,1,为随机变量，这正是要求得一维无规行走问题概率分布函数,P,N,(n,1,),，而它恰应是二项式分布：,(1-2-4),(N-n,1,),是他向西走步数，我们视之为,n,2,。取,x,轴平行于街道，原点在电线杆所在处，从原点向东为正轴方向。既然走了,N,步之后距原点,x,远，那么必有：,这里，,N,若为奇数，则,x,必为奇数倍步长；而,N,若为偶数,x,则必为偶数倍步长。,轻易解出：,将所得,n,1,及,n,2,代入分布函数,(1-2-4),，便得到认为随机变量概率分布函数：,(1-2-5),-,本题所要求概率。,31/53,1.2.3,连续型随机变量概率密度分布函数,连续型随机变量是在实数轴某一区间内连续取值,连续型随机变量取某一确定值概率必定为零,32/53,示例：分子按速率分布情况描述,自拟一组气体分子按速率分布数据，见表,1-2-2:,思绪,A：,先取速率间隔,v=100,米秒,1,，用各速率区间所对应分子比率,N/N,做图，如图1-2-1中实线所表示。,该图中每一小矩形之宽表示所取速率间隔大小，而矩形之高则表示分布在对应速率区间 内分子比率。,因为速率大于700 米秒,1,分子比率大于8，则速率介于0700 米秒,1,之间分子比率即为92。对图1-2-1中用实线所画七个矩形之高求和，即得92。,33/53,再取,v=50,米秒,1,，仍用各速率区间所对应分子比率来做图，如图中虚线所表示。在0700 米秒,1,速率范围内所做出十四个小矩形高度之和仍应为92，但其上方轮廓线较先前七个矩形显著地降低了。,原来，速率间隔取得足够小才能细致地描写速率分布情况，,但,假如照上法，认为纵横坐标画小矩形来做图示，则必定是取得越小，小矩形数目越多，即使它们高度之和不变，但它们上方轮廓线随之缩小发生显著下移，越来越贴近横轴。,34/53,图,1-2-1,分子按速率分布一个图示,35/53,思绪,B：,先近似认为分布在某一速率区间 内 个分子是平均分布在该速率区间内每单位速率间隔上，那么分布在,内每单位速率间隔上分子数比率就是 。下面，改用 为纵坐标来描绘速率介于,0,700,米,秒,1,之间分子按速率分布情况,。,36/53,先取,v=100,米秒,1,，如图,1-2-2,，每一小矩形之宽仍表示速率间隔之大小，矩形之高则表示分布在对应区间内、平均每单位速率间隔上分子数比率。显然对应矩形面积表示分子在区间内分子比率，那么图,1-2-2,中用实线画出七个矩形面积之和应等于,92%,。,再将取为,v=50,米,秒,1,，所画十四个小矩形上方轮廓线将围绕以前那七个小矩形上方轮廓线上下起伏，如该图虚线所表示，且十四个小矩形面积之和为,92%,。,37/53,图,1-2-2,分子按速率分布,38/53,概率密度分布函数,当速率间隔取得足够小时，、，一排细窄矩形上轮廓线将趋于一条光滑曲线，如图,1-2-3,所表示。,这条曲线就代表了分布在 附近、单位速率间隔内分子数比率 随 改变情况，称这曲线为速率分布曲线，其对应函数记为,:,-,速率分布函数,39/53,图,1-2-3,速率分布曲线,40/53,分布函数与概率问题之间关系,:,(1).,气体中任意分子其速率在,区间内概率应等于,N,个分子中速率介于此区间内分子数比率,dN/N，,此概率就是,f(v)dv;,(2).,任意分子其速率落在,v,附近单位速率间隔内概率则是,所以,f(v),是,概率密度,。,同时它作为速率,v,函数，又反应出不一样,v,附近概率密度怎样随改变，所以速率分布函数,f(v),实为,概率密度分布函数,。,普通地，对于连续型随机变量,X，,存在非负可积函数,p(x)(x,有一定取值范围,),，使对,x,取值范围内任意,a,b(ab),都有,式中,P(aXb),是随机变量介于,a-b,所对应随机事件之概率，称,p(x),为,X,概率密度分布函数。,41/53,(3).,从,f(v),引入过程不难推知图,1-2-3,中速率分布曲线下面积应该是,1,，写成积分形式，就是概率密度分布函数归一化条件：,变量概率密度分布函数归一化条件为：,(积分遍布取值范围),42/53,1.3 统计平均值及涨落,统计平均值,围绕统计平均值涨落,43/53,1.3.1 统计平均值,1,、离散型随机变量统计平均值,普遍适合用于计算离散型随机变量统计平均值,公式：,加权平均,-,不但要考虑随机变量取值，还要考虑到它取那些值所对应概率。,44/53,例1-3-1,求二项式分布 中随机变量,n,1,平均值。,45/53,2,、连续型随机变量统计平均值,把这结果在整个速率改变范围内积分，便得到,个分子速率总和：,接下来，轻易得到,分子热运动方均速率,普通地，已知连续型随机变量概率密度分布函数，则与该随机现象相关函数之平均为：,积分遍布取值范围。,46/53,3,、相关统计平均值简单定理,(1),若和是同一随机变量两个函数，则,(2),若是随机变量函数，而与该随机变量无关，则,(3),若两随机变量、彼此独立，与分别是这两随机变量函数，则,对于离散型随机变量，求统计平均值时，也可证实有与上对应三个简单定理。,47/53,1.3.2 围绕统计平均值涨落,统计规律必伴随有涨落现象。,随机现象单次试验观察值与其统计平均值之差或大或小、或正或负，是随机改变。,各次观察所得数据波动情况，也是反应客观现象一个主要方面，于是我们有必要来研究怎样表征随机变量取值分散程度.,48/53,涨落散差(或弥散度)：,通常还用 来表示标准误差或涨落,定义为相对涨落或相对误差。,49/53,只在相对涨落很小时，统计平均值才有意义,假如研究对象是由极大数目,N,个相同独立或近独立部分所组成,比如一定量气体由,N,个分子所组成，属于这对象一些物理量是它各独立部分对应量之和，比如质量、能量、总磁矩等，就含有这么可加性，热力学中称之为“广延量”。,这些广延量相对误差百分比于,50/53,统计物理能够计算能级落于区间内粒子数相对涨落，它与该区间内粒子数之平方根成反比。,对于所含粒子数众多系统，随机量围绕统计平均值涨落是非常之小。,应用统计方法时，粒子数目巨大非但不再成为处理问题困难或障碍，反而是使统计平均值有实际意义确保，因为此时相对涨落小到能够忽略不计了，那么统计平均值就足以代表每一瞬时真实值了。,51/53,本章小结,在确定条件下，随机现象随机事件屡次发生时，就表现出统计规律：,每一随机事件发生都有一定概率；,概率分布函数(对离散型随机变量)或概率密度分布函数(对连续型随机变量)给出各种随机事件发生概率分布情况；,随机现象所表现出各种平均结果，由对应统计平均给出；,因为统计规律性离不开个别随机事件偶然性，所以统计规律必定伴随有涨落现象。,52/53,第一章结束！,53/53,
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