概率论与数理统计模拟试题.doc

山东建筑大学《概率论与数理统计》近年试题及参考答案
06-07-1《概率论与数理统计》试题A
一、填空题（每题3分，共15分）
1. 设A，B相互独立，且，则__________.
2. 已知，且，则__________.
3. 设X与Y相互独立，且，，，则___
4.设是取自总体的样本，则统计量服从__________分布.
5. 设，且，则__________.
二、选择题（每题3分，共15分）
1. 一盒产品中有只正品，只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 【 】
(A) ；(B) ；(C) ；(D) .
2. 设随机变量X的概率密度为则方差D(X)= 【 】
(A) 2； (B) ； (C) 3； (D) .
3． 设、为两个互不相容的随机事件，且，则下列选项必然正确的是【 】
；；；．
4. 设是某个连续型随机变量的概率密度函数，则的取值范围是【 】
； ； ； ．
5. 设，，其中、为常数，且，
则【 】
； ；
； ．
三、（本题满分8分） 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被命中，求它是乙命中的概率.
四、（本题满分12分）设随机变量X的密度函数为，求：
（1）常数A； （2）； （3）分布函数.
五、（本题满分10分）设随机变量X的概率密度为

求的概率密度.
六、（本题满分10分）将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次数，Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）.
七、（本题满分10分）二维随机变量（X，Y）的概率密度为

求：（1）系数A；（2）X，Y的边缘密度函数；（3）问X，Y是否独立。
八、（本题满分10分）设总体X的密度函数为

其中未知参数，为取自总体X的简单随机样本，求参数的矩估计量和极大似然估计量.
九、（本题满分10分）设总体，其中且与都未知，，．现从总体中抽取容量的样本观测值，算出，，试在置信水平下，求的置信区间．
（已知：，，，）．
07-08-1《概率论与数理统计》试题A
一．选择题（将正确的答案填在括号内，每小题4分，共20分）
1．检查产品时，从一批产品中任取3件样品进行检查，则可能的结果是：未发现次品，发现一件次品，发现两件次品，发现3件次品。设事件表示“发现件次品” 。用表示事件“发现1件或2件次品”，下面表示真正确的是（ ）
(A); (B); (C) ; (D) .
2．设事件与互不相容，且，，则下面结论正确的是（ ）
(A) 与互不相容; (B);
(C) ; (D).
3．设随机变量，，且与相互独立，则（ ）
(A); (B);
(C); (D).
4．设总体，是未知参数，是来自总体的一个样本，则下列结论正确的是（ ）
(A) ;
(B) ;
(C);
(D)
5．设总体，是来自总体的一个样本，则的无偏估计量是（ ）
(A); (B) ; (C); (D) .
二．填空（将答案填在空格处，每小题4分，共20分）
1．已知两个事件满足条件，且，则_________.
2．3个人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，则此密码被破译出的概率是 .
3．设随机变量的密度函数为，用表示对的3次独立重复观察中事件出现的次数，则 .
4．设两个随机变量和相互独立，且同分布：，，则 .
5．设随机变量的分布函数为：，则 .
三．计算
1．（8分）盒中放有10个乒乓球，其中有8个是新的。第一次比赛从中任取2个来用，比赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中取2个，求第二次取出的球都是新球的概率。
2．（6分）设随机变量和独立同分布，且的分布律为：

求的分布律。
3．（12分）设随机变量的密度函数为：
（1）试确定常数C ；（2）求；（3）求的密度函数。
4．（20分）设二维连续型随机变量的联合概率密度为：

（1） 求随机变量和的边缘概率密度；
（2） 求和；
（3） 和是否独立？求和的相关系数，并说明和是否相关？
（4） 求。
5．（6分）设总体的分布律为，是来自总体的一个样本。求参数的极大似然估计。
6．（8分）食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐的标准重量为500g。每隔一定的时间，需要检验机器的工作情况。现抽得10罐，测得其重量（单位：g）的平均值为，样本方差。假定罐头的重量，试问机器的工作是否正常（显著性水平）？（，，）
08-09-1《概率论与数理统计》试题A
一、填空题（每题3分，共15分）
1、已知随机变量服从参数为2的泊松（Poisson）分布，且随机变量，则 ____________．
2、设、是随机事件，，，则
3、设二维随机变量的分布列为

1 2 3
1

2

若与相互独立，则的值分别为 。
4、设 ，则 ___ _
5、设是取自总体的样本，则统计量服从__________分布.
二、选择题（每题3分，共15分）
1. 一盒产品中有只正品，只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 【 】
(A) ； (B) ； (C) ； (D) .
2、设事件与互不相容，且，，则下面结论正确的是【 】
(A) 与互不相容; (B);
(C) ; (D).
3、设两个相互独立的随机变量与分别服从正态分布和，则【 】
(A)； (B) ；
(C)； (D)。
4、 如果满足，则必有【 】
（A）与独立；（B）与不相关；（C）；（D）

0 1

5、设相互独立的两个随机变量与具有同一分布律，且的分布律为

则随机变量的分布律为【 】
(A)； (B) ；
(C) ；(D) 。
三、（本题满分8分）两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求：任意取出的零件是合格品(A)的概率.
四、（本题满分10分）将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次数，Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）.
五、（本题满分12分）设随机变量，，试求随机变量的密度函数．
六、（10分）设的密度函数为
① 求的数学期望和方差；
② 求与的协方差和相关系数，并讨论与是否相关？
七、（本题满分10分）二维随机变量（X，Y）的概率密度为

求：（1）系数A；（2）X，Y的边缘密度函数；（3）问X，Y是否独立。
八、（本题满分12分） 设总体，其中是已知参数，是未知参数．是从该总体中抽取的一个样本，
⑴. 求未知参数的极大似然估计量；
⑵. 判断是否为未知参数的无偏估计．
九、（本题满分8分）设总体，其中且与都未知，，．现从总体中抽取容量的样本观测值，算出，，试在置信水平下，求的置信区间． （已知：，，，）．
06-07-1《概率论与数理统计》试题A参考答案
一、1. 0.75；2. 0.2；3. 3；4. ；5.
二、1、 (C)；2、 (D)；3．；4、；5、
三、解：设表示事件“甲命中目标”，表示事件“乙命中目标”，则表示“目标被命中”，且

所求概率为

四、解：（1）由，即

所以.
（2）

（3）分布函数
五、解：

当即时，；
当即时，；
当即时，；
即

所以
六、解：由题意知，X的可能取值为：0，1，2，3；Y的可能取值为：1，3. 且
，
，
，
.
于是，（1）（X，Y）的联合分布为
Y
X

3
0
0

1

0
2

0
3
0

（2）.
七、解：（1）由

所以.
（2）X的边缘密度函数：.
Y的边缘密度函数：.
（3）因，所以X，Y是独立的.
八、解：
令，即，得参数的矩估计量为
似然函数为
当时，，

得参数的极大似然估计值为

九、解：由于正态总体中期望与方差都未知，所以所求置信区间为
．
由，，得．查表，得．
由样本观测值，得， ．
所以， ，
，
因此所求置信区间为
07-08-1《概率论与数理统计》试题A参考答案
一．1．B；2D．；3．B；4．C；5．A.
二．1．；2．；3．；4．；5．1.
三．1．解：设用表示：“第一次比赛取出的两个球中有个新球”，；
表示：“第二次取出的两个球都是新球”。则
；
；
；
则2．解：的可能取值为2，3，4，则

所以的分布律为：

2
3
4

3．解（1）
得：

（2）
（3）当时，；
当时，

4．解（1）当时，
，
则
同理
（2）
同理：

同理：

同理：
（3）由于，所以和不独立。

所以和相关。
（4）

5．解：似然函数为：

令
得参数的极大似然估计为：
6．解：假设，
选择统计量：
统计量的样本值：
由于，接受原假设。所以在显著性水平下，可以认为自动装罐机工作正常。
08~09-1学期《概率论与数理统计》试题A参考答案
一、填空题：1、；2、0.4；3．；4、2.6；5、
二、选择题：1、C；2、D；3、B；4、B；5、C
三、解：设Bi=“取出的零件由第 i 台加工”

四、解：由题意知，X的可能取值为：0，1，2，3；Y的可能取值为：1，3. 且
，，
，.
于是，（1）（X，Y）的联合分布为
Y
X

3
0
0

1

0
2

0
3
0

（2）
五、解：随机变量的密度函数为

设随机变量的分布函数为，则有

①. 如果，即，则有；
②. 如果，则有

即
所以，
即 ．
六、解： ①

②
所以与不相关.
七、（本题满分10分）
解：（1）由
所以
（2）X的边缘密度函数：
Y的边缘密度函数：
（3）因，所以X，Y是独立的
八、解：⑴. 当为未知，而为已知参数时，似然函数为
因而
所以
解得
因此，的极大似然估计量为．
⑵. 因为 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以
因此，

所以，是未知参数的无偏估计
九、解：由于正态总体中期望与方差都未知，所以所求置信区间为 ．
由，，得．查表，得．
由样本观测值，得，
所以， ，
，
因此所求置信区间为

15