资源描述
{
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-
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-
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高三参考答案
1
．答案：B
解析：由 log x < 2可得 < x < 22 ，则得 A = (0, 4) ， B = (2,+¥)
0
2
故 AU B = (2,+¥)U (0, 4) = (0,+¥) .
故选：B.
2
．答案：C
1
+ i
2
解析：由题设 z =
，则 z =| z |=
.
2
2
故选：C
3
．答案：B
r
r
解析：向量 a = (0, 4)，b = (3, 6)， c = (-1, 6)，
r
r
若 c = la + mb ，则 -1,6 = l 0,4 + m 3,6 = 3m,4l + 6m ，
(
)
(
)
( ) (
)
所以3m = -1， 4l + 6m = 6 ，
1
1
5
可得 m = - ， l = 2 ，即得 l + m = - + 2 =
.
3
3
3
故选：B.
．答案：B
解析：因为 m > 0， n > 0 ，
4
1
4
æ 1 4 ö
è m n ø
n
4m
n 4m
= ç + ÷(m + n)=1+
+
+ 4 ³ 5+ 2
×
= 9，
所以
+
m
n
m
n
m n
n
4m
2
1
当且仅当
=
，即 n = ， m = 时，等号成立，
m
n
3
3
-
1
4
所以
+
的最小值为 9.
m
n
故选：B.
5
．答案：A
x
2
解析：设圆柱的高为 x，底面半径为 r，则有 r = 36 -
，（ 0 < x < 6），
4
æ
3
ö
x
所以V = πr × x = πç- + 36x÷ ，（ 0 < x < 6）
2
è
4
ø
x
3
3x2
令 f (x)= - + 36x ，则 f ¢(x)= -
+ 36 ，
4
4
令 f ¢(x)= 0，得 = ± 3 又 x > 0 ，所以 x = 4 3 ，
x
4
当 xÎ(0,4 3)时， f ¢(x)> 0， f (x)在区间(0,4 3)上单调递增；
当 xÎ(4 3,6)时， f ¢(x)< 0， f (x)在区间(4 3,6)上单调递减.
所以 f (x)max = f (4 3)= 96 3 .
故Vmax = 96 3π .
所以圆柱体积的最大值为96 3π .
故选：A.
6
．答案：C
ì
2x + 4, x £ a
解析：已知函数 f (x)= í
，当 x £ a 时，
x
2
+1, x > a
î
(
)= + 单调递增，所以最大值为 2a + 4 ；
f x 2x 4
当 x > a 且 a > 0 时， f (x)= x2 +1在(a,+¥)上单调递增，最小值为 a2 +1；
ì
2x + 4, x £ a
所以要使函数 f (x)= í
在 R 上单调递增，
x
2
+1, x > a
î
则 a2 +1³ 2a + 4 ，解得 a ³ 3或 a £ -1(舍去).
故选：C.
7
．答案：D
解析：对于 A：将一枚均匀的骰子掷两次基本事件共有 6´6 = 36个，
2
1
事件 AB 包括(4, 5)，(6, 3)，2 个基本事件，所以 P(AB) =
，故 A 错误；
=
3
6 18
2
1
对于 B：因为 A，B 不互斥， P(AU B) = P(A) + P(B) - P(AB) ， P(AB) =
=
，所
3
6 18
以 P(AU B)¹ P(A)+ P(B)，故 B 错误；
对 于 C ： 事 件 B 包 括 (3, 6)， (4, 5)， (5, 4)， (6, 3)， 4 个 基 本 事 件 ， 所 以
1
(
)
P AB
P(B)
1
2
4
1
9
(
) =
=
， ( )
P A| B
=
= 118 =
，故 C 错误；
P B
3
6
9
1
1
对 于 D ： 事 件 A 为 “ 第 一 次 出 现 偶 数 点 ” ， P(A) = ， P(AB) =
，
2
18
1
1
1
P(A)P(B) = ´ = ， P(AB) = P(A)P(B)，A 与 B 相互独立，故 D 正确；
9 18
2
故选：D.
8
．答案：B
解析：因为 f (x)是周期为 1 的周期函数，且在[0,1)上 f (x)= x2 ，
要判断 f (x)= g (x)= kx + b 有多少个解，需分析 f (x)与 g (x)在一个周期内的解的个数，
当 k > 0 时，在一个周期内，因为 f (x)= x2 是二次函数， g (x)是线性函数， f (x)与
(
)最多有 2 个交点，
g x
当 k < 0 时，在一个周期内，因为 f (x)= x2 是二次函数， g (x)是线性函数， f (x)与
)最多有 1 个交点，
(
g x
作出函数 f (x)在两个周期内的图象，如图所示：
由图象可知，
当 k =1，若b = 0时，直线 g (x)= kx + b过原点与 (1, 1) ，此时只有 1 个交点，
向下平移至与曲线相切之前有两个交点，相切时有 1 个交点，
所以 f (x)与 g (x)最多两个交点， f (x)= g (x)最多二个解，故 A 错误；
1
当 k = 时，若b = 0，直线 g (x)= kx + b过原点与 (2,1) ， f x 与 g (x)可能有二个交点，
( )
2
向下平移至与曲线相切之前有三个交点，故 f (x)= g (x)可以有三个解，故 B 正确；
当 k = -1时，若b = 0，直线 g (x)= kx + b过原点与 (-1, 1) ，
(
)与 ( )有两个交点，左右平移也有两个交点，
g x
f x
所以 f (x)与 g (x)一定有两个交点， f (x)= g (x)不可能有一个解，故 C 错误；
1
当 k = - 时，b = 0，直线 g (x)= kx + b过原点与 (-2,1) ，
2
(
)与 ( )有三个交点，左右平移也有三个交点，
g x
f x
(
)与 ( )一定有三个交点，故 ( )= ( )不可以有四个解，故 D 错误.
g x f x g x
f x
故选：B.
9
．答案：ACD
解析：由题意知抛物线 C 的交点坐标为(1, 0)，准线方程为 x = -1，直线l : y = kx - k
过定点(1, 0)，所以直线过抛物线的焦点，故 A 正确；
ì
y = x -1
当 k =1时，直线的方程为l : y = x -1，联立 í
，消去 y 得， x2 - 6x +1= 0 ，
y
2
= 4x
î
设 P(x , y )，Q(x , y )，则 x + x = 6，所以 P，Q 两点横坐标的和为 6，故 B 错误；
1
2
2
1
2
由抛物线的定义可知， PQ = PM + QN = x + x + 2 = 8 ，故 C 正确；
1
2
1
1
设线段 PQ 的中点为 E，则 ME = ( PM + QN )= PQ ，所以以 MN 为直径的圆与直
2
2
线 l 相切，故 D 正确.
故选：ACD.
1
0．答案：BD
解 析：点 P 满足 BP = lBC + mBB ， l Î[0,1]， m Î[0,1]，即点 P 在正方形 BCC B 内（包
1
1
1
括正方形的四条边）上运动，
对于 A：取线段CC 的中点 E，过点 B，E， D 作正方体的截面 BED F ，
1
1
1
因为面 BCC B // 面 ADD A ，面 ABB A // 面 DCC D ，根据面面平行
1
1
1
1
1
1
1
1
的性质定理知如果一个平面与两个平行平面相交，则交线平行，
所以有 BE//D F ， ED //BF ，即四边形 BED F 为平行四边形，
1
1
1
又 E 为线段CC1 的中点，由 BCE≌ D C E 可得 BE = ED
△
△
，
1
1
1
所以四边形 BED F 为菱形，所以当点 P 在线段 BE 上时，过 D ，B，P 的
1
1
平面与正方体的截面是菱形，故有无穷多个点 P，使得过 D1 ，B，P 的平面
与正方体的截面是菱形，A 错误；
以 D 为坐标原点，以 DA ， DC ， DD1 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图，
令 AD =1， P(x,1, z)（ 0 £ x £1， 0 £ z £1），
则 A(1,0,0)， A (1, 0,1)，C (0,1,1)， D(0, 0, 0)，
1
1
(
)，
(
)， (
)， (
)，
B 1,1, 0
D 0, 0,1
B 1,1,1 C 0,1, 0
1
1
因为 AP = (x -1, 1, z)， B D = (-1,-1, 0)， B C = (-1,0,-1)，
1
1
1
ì
ïAP× B D =1- x -1= 0
若 AP ^平面 B D C ，则
í
uuur uu
1
ur1
，解得 x = 0 ， z =1，
1
1
ï
î
AP B C =1- x - z = 0
×
1
即存在唯一点 P(0,1,1)满足条件，故 B 正确；
r
因为 DA = (1, 0,1)， DC = (0,1, 0)，设平面平面 ACD 的法向量 m = (a,b,c)，
1
1
r
ì
则
则
í
，令
a =1，则 mr = (1,0,-1)
，若
AP//
平面 ACD
，
1
1
ï
= - - = ，即 x =1+ z ³1，所以只有当 x =1， z = 0时方程有解，
AP×m x 1 z 0
即存在唯一点 P(1,1, 0)满足题意，故 C 错误；
因为 D P = (x,1, z -1)， BC = (-1, 0,1)，若 D P ^ BC ，
1
1
1
1
则 D P× BC = -x + z -1= 0 ，由 x = z -1³ 0 ，可解的 z =1， x = 0 ，
1
1
所以存在唯一一点 P(0,1,1)，使得 D P ^ BC ，故 D 正确.
1
1
故选：BD.
1．答案：ABD
解析：依题意， m = 600´0.6 = 360，s
1
= 600´0.6´0.4 =144 ，s =12 ，
2
对于 A，变量 X 服从正态分布 N (360,144)，A 正确；
对于 B， P(X ³ 372) = P(X ³ m +s )
1
- P(m -s < X < m +s ) 1- 0.682
=
»
= 0.159
B 正确；
，
2
2
对于 C， P(X < 384) = P(X < m + 2s )> P(X < m +s )
=
(
P X
> m -s )= (
P X 348)，C 错误；
>
1
1
对于 D， P(X < 384) = P(X < m + 2s ) = + P(m - 2s < X < m + 2s )
2
2
1
2
1
»
+ ´0.9545 » 0.9773，D 正确.
2
故选：ABD
1
2．答案：400
(
+
)
( + )
2
0 a1
a20
20 1 39
解析：在等差数列{a }中， S =
=
= 400.
n
20
2
2
故答案为：400.
æ
è
7 13ù
3 3 û
1
3．答案：ç ,
ú
æ
è
π ö
2 ø
π æ π wπ π ö
6 è 6 2 6 ø
解析：因为 xÎç0, ÷ ，wx - Îç- ,
- ÷ 上有且仅有 2 个零点，
ì
wπ
π
6
π
6
-
-
> π
ï
2
7
13
3
所以 í
，所以 < w £
.
w
π
3
ï
£
2π
ï
î 2
æ
è
7 13ù
3 3 û
故答案为：ç ,
ú
1
1
4．答案： - / -e-2
e
2
解析：对于 y = ex - x ，有 y¢ = ex -1，
x < 0 时 y¢ < 0 ，即 y 在 (-¥,0)上单调递减，
x > 0 时 y¢ > 0，即 y 在 (0,+¥)上单调递增，
所以 ymin =1，故 y = ln x + ax 的最大值为 1，
1
1+ ax
对于 y = ln x + ax 且 x > 0 ，有 y¢ = + a =
，
x
x
显然 y = ln x + ax 先增后减，故 a < 0 ，
1
1
0
< x < - 时 y¢ > 0，即 y 在 (0,- ) 上单调递增，
a
a
1
1
x > - 时 y¢ < 0 ，即 y 在 (- ,+¥)上单调递减，
a
a
1
1
e2
所以 ymax = ln(- ) -1=1，则 a = -
.
a
1
故答案为： -
e
2
2
π
1
5．答案：(1)
；
3
1
9
(2)
2
解析：（1）方法一：
c
1
因为b = acosC - ，由正弦定理得：sinB = sinAcosC - sinC ，
2
2
1
又sinB = sinAcosC + cosAsinC ，得 cosAsinC = - sinC ，
2
1
△
ABC 中，sinC ¹ 0 ，所以 cosA
= -
，
2
2
π
又因为在△ABC 中，所以 A
=
.
3
方法二：
c
a
2
+ 25-9 3
因为b = acosC - ，b = 5， c = 3，由余弦定理得：5 = a×
-
，
2
2a´5
2
b
2
+ c2 - a2 25+ 9 - 49
1
2
解得 a2 = 49，所以 cos A =
=
= -
，
2bc
2´5´3
2
π
又因为在△ABC 中，所以 A
=
.
3
（
2）方法一：
在△ABC 中，D 是
uur 1 uuur2 1 uuur uuur 1 uuur
u
uur 1 uuur 1 uuur
BC
中点，所以 AD
=
AB
+
AC ，
2
2
u
AD
1
1
æ 1 ö 1
è 2 ø 4
19
4
2
2
=
AB
+
AB AC
×
+
AC
= ´ + ´ ´ ´ - + ´
9
3 5 ç
25
=
÷
，
4
2
4
4
2
u
uur
19
1
9
AD =
，即 AD 的长为
.
2
2
方法二：
由（1）方法二，知 a = 7 ，
7
又 D 是 BC 中点， BD = CD =
，
2
2
æ
è
7
ö
ç
÷ + AD2 -9
2 ø
在△ABD 中由余弦定理有： cosÐ
=
，
ADB
7
2
2
AD´
2
æ
è
7
ö
ç
÷ + AD2 - 25
2 ø
在△ACD 中由余弦定理有： cosÐ ADC
=
，
7
2
2
AD´
因为 ÐADB + ÐADC = π ，所以 cosÐ ADB = -cosÐ ADC ，
2
æ ö2
æ
è
7
ö
7
ç
÷ + AD2 -9
ç ÷ + AD2 - 25
2 ø
è 2 ø
即
= -
，
7
2
7
2
2
AD´
2AD´
1
9
19
2
解得
=
，即 AD 的长为
.
AD
2
1
6．答案：(1) an = 2n +1；
(2)
m = 2 ， n = 7
5
´4
解析：（1）由 S = 5a +
d = 35 ，所以 a1 + 2d = 7.
5
1
2
又因为 a ， a ， a 成等比数列，所以 a
2
= a ´a ，
13
1
4
13
4
1
(a1
+
)
2
=
´( +
12d )，9d = 6a1d
2
3d
a1
a
1
又因为 d ¹ 0 ，所以3d = 2a1
所以 a1 = 3， d = 2
所以 an = 2n +1
2
1
1
2
1
1
+
（
2）由题意可得
=
+
，所以
= +
am a1 an
+
2
m 1 3 2n 1
方法一：
整理可得
2
2n + 4
6n + 3
n + 2
9
n + 2
=
，所以 2m +1=
= 6 -
，
2
m +1 6n + 3
因为 m < n 且 m,nÎN* ，所以 m = 2 ， n = 7
方法二：
2
1
1
1
5
2
=
+
>
，所以 m <
，
2
m +1 3 2n +1 3
又 mÎN* ，所以 m =1或 m = 2 ，
当 m =1时， n =1，与 m < n 矛盾，
当 m = 2 时， n = 7 ，符合条件，
所以 m = 2 ， n = 7
1
7．答案：(1)证明见解析；
3
105
(2)
3
5
解析：（1）因为 PA ^ 面 ABCD ， BD Ì 平面 ABCD ，
所 以 PA ^ BD ， 又 因 为 AC ^ BD ， PAI AC = A， PA Ì 平 面 PAC ， AC Ì 平 面
PAC ，所以 BD ^ 平面 PAC ，又因为 BD Ì 平面 PBD ，
所以平面 PAC ^ 平面 PBD ；
（
2）设 AC I BD = O ，又因为 AC ^ BD ，
以点 O 为坐标原点，OD 为 x 轴，OC 为 y 轴如图建立空间直角坐标系，
因为 AB//DC ，所以△
△
ABO∽ CDO ，
又因为 AB = 2 ， DC = 4 ， AC = 3，
所以 AO =1，OC = 2 ，又因为 AC ^ BD ，
所以 BO = 3 ， DO = 2 3 ，
故 P(0,-1, 3)，C (0, 2,0)， D(2 3, 0, 0)， B(- 3, 0, 0)，
所以 PC = (0,3,-3)， DC = (-2 3, 2,0)， BC = ( 3, 2,0)，
设面 PDC 一个法向量为 n = (x , y , z )，
1
1
1
1
ìï3y -3z = 0
1
1
n = (1, 3, 3)
所以
í
，所以
，
ïî-2 3x + 2y = 0
1
1
1
设面 PBC 一个法向量为 n = (x , y , z )，
2
2
2
2
ìï3y -3z = 0
2
2
n = (2,- 3,- 3)
所以
í
，所以
，
2
ï
2
2
u
r uur
n ×n
4
3
105
35
cosq = ur1 u ur2
=
.
，所以sinq =
n1 n2
70
1
2
1
8．答案：(1) y =
；
(2)答案见解析；
(3) a = -e
1
1
1
解 析 ： （ 1 ） 当 a = -1时 ， f (x) =
2
- lnx ， f (1) = ， f ¢(x) = x - ， 所 以
x
2
2
x
1
¢
( )= ，所以切线方程为 =
f 1
0
y
2
a
x
x
2
-(a +1)x + a (x -1)(x - a)
（
2） f ¢(x) = x -(a +1)+
=
=
,(x > 0)
x
x
若 a £ 0 ，则 xÎ(0,1)时 f ¢(x)< 0， f (x)单调递减， xÎ(1,+¥)时 f ¢(x)> 0， f (x)单
调递增；
若 0 < a <1，则 xÎ(0,a)时 f ¢(x)> 0， f (x)单调递增， xÎ(a,1)时 f ¢(x)< 0， f (x)
单调递减， xÎ(1,+¥)时 f ¢(x)> 0， f (x)单调递增；
若 a =1，则 xÎ(0,+¥)时 f ¢(x)³ 0， f (x)单调递增；
若 a >1，则 xÎ(0,1)时 f ¢(x)> 0， f (x)单调递增， xÎ(1,a)时 f ¢(x)< 0， f (x)单调
递减， xÎ(a,+¥)时 f ¢(x)> 0， f (x)单调递增
1
3）令 h(x) = f (x)+ (a +1)x =
2
+ alnx ，
（
x
2
a
x
x
2
+ a
¢
( )= +
=
( > )，
, x 0
h x
x
x
当 a ³ 0 时， h¢(x)³ 0 ，故无最小值
所以 a < 0 ，由 h¢(x)= 0得 x = -a ，
所以 xÎ(0, -a )时 h¢(x)< 0 ， h(x)单调递减， xÎ( -a,+¥)时 h¢(x)> 0， h(x)单
调递增单增，
1
所以 h(x)min = h( -a )= - a + aln -a = 0，
2
所以 ln(-a)=1， a = -e.
x
2
1
9．答案：(1) + y2 =1；
9
(2)证明见解析；
2
7
(3)
8
c
2 2
3
解析：（1）因为 2b = 2 ，
=
，又
=
+
a2
b2
c2
a
解得： a = 3，b =1， =
c 2 2
，
x
2
故椭圆的标准方程为 + y2 =1
9
（
2）证明：
方法一：
当 PQ ^ x 轴时， AP ， AQ 不可能垂直，
故可设直线 PQ 方程为 y = kx + n
ì
y = kx + n
x2
ï
(
)
，得 1+ 9k
2
x
2
+18knx + 9n2 -9 = 0，
由 í
+ y2 =1
ï
î
9
-
1+
18kn
n2
1+ 9k
-9
9
设 P(x , y )，Q(x , y )，则 x + x =
， x x =
，
1
1
2
2
1
2
2
1
2
9k
2
所以 PA = (x , y -1)，QA = (x , y -1)，
1
1
2
2
又因为 PA ^ QA，所以 PA×QA = 0
即 x x + (y -1)(y -1)= 0，即： x x + (kx + n -1)(kx + n -1)= 0 ，
1
2
1
2
1
2
1
2
所以 x x + k
2
x x + k (n -1)(x + x )+ (n -1)2 = 0
1
2
1
2
1
2
2
9
1
n
2
-9 9n2k
2
-9k
-8n2k
2
+18k
2
n + (n -1)
2
+ 9k
2
(n -1)2
代入可得
+
+
= 0，
+ 9k
2
1+ 9k
2
1+ 9k
2
1+ 9k
2
4
整理10n2 - 2n -8 = 0，解得 n =1（舍）或 n = -
，
5
4
4
5
所以直线 PQ 的方程为 y = kx - ，令 x = 0 ，得 y = -
，
5
æ
è
4 ö
5 ø
所以直线 PQ 过定点ç0,- ÷ ，
方法二：
显然 AP ， AQ 均不可能与坐标轴垂直，故可设 AP : y = kx +1(k ¹ 0)
ì
y = kx +1
x2
ï
(
)
，得 1+ 9k
2
x
2
+18kx = 0
由 í
+ y2 =1
ï
î
9
设 P(x , y )，Q(x , y )，
1
1
2
2
-
1+
18k
1-9k
1+ 9k
2
所以： x1 =
， y1 =
，
9k
2
2
1
8k
k
2
-9
因为 AP ， AQ 互相垂直，同理得 x2 =
， y2 =
9
+
k
2
9 + k
2
k
2
-1
所以直线 PQ 的斜率为： kPQ
=
，
1
0k
1
1
-9k
+ 9k
2
k
2
-1æ
18k ö
直线 PQ 的方程为： y -
=
ç x +
÷ ，
2
10k è
1+ 9k
2
ø
(
- )
9 k
2
1
1-9k
2
2
4
æ
è
4 ö
5 ø
令 x = 0 得 y =
+
= - ，即直线 PQ 过定点ç0,- ÷ .
1+
9k
( +
5 1 9k
2
)
5
（
3）方法一：
7
2
81
由（2）知：(1+ 9k
)x2
2
-
kx -
= 0
5
25
7
2k
81
( +
x + x =
x x = -
)，
)，
25 1 9k
1
2
( +
1 9k
1
2
5
2
2
1
9
5
9
81 25k +1
2
所以△APQ 面积 S
= ´
x1 - x2
=
( + )2
-
=
x
x
4x1x2
1
2
( +
)
2
10
25 1 9k
2
t
2
-1
令
1 t 1
+ = ³ ，所以 k
2
=
代入可得：
2
5k
2
2
5
8
1t
+16
81
81 27
S =
=
16 £ 24
t
=
9t
2
8
9
t +
4
17
27
此时t = ， = ±
，所以△APQ 面积的最大值是
k
3
8
1
5
方法二：
1
+ 9k
8k
由（2）知(1+ 9k )x2 +18kx = 0，所以 AP = 1+ k
2
2
，
1
2
1
18k
9 + k
因为 AP ， AQ 互相垂直，同理得 AQ = 1+
，
k
2
2
1
18k
1+ 9k
1
18k
9 + k
所以△APQ 面积 S
=
AP AQ
=
1+ k
2
1+
2
2
k
2
2
æ
ö
1
+ k ÷
ç
(
+ )
1
9
62 k 1 k
2
è k
ø
=
=162
4
+82k
2
+ 9
9
k
9
k
2
+82 +
k
2
t
+
1
162 27
1
S =162´
=162´
£
=
+
k = t
令
，
2
64
，
9t
64
1
48
8
k
9t +
t
8
此时t = ，解得 k = ±3或 k = ±
，
3
3
2
7
所以△APQ 面积的最大值是
.
8
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