上证指数波动的阶段性特征——基于离散小波的实证分析.doc

上证指数波动的阶段性特征
——基于离散小波的实证分析

上证指数波动的阶段性特征
——基于离散小波的实证分析
the Stage Characteristics of Volatility
on shanghai Stock index
——the Empirical analysis under the method of Discrete Wavelet

上证指数波动的阶段性特征
——基于离散小波的实证分析

摘 要：小波分析理论是一种新的信号处理方法，小波函数具有的 “自适应”和“变焦”特性，能有效的处理非平稳信号。上证指数作为人们研究的热点，其具有明显的非平稳特性。本文采用Sym（2）小波对上证指数进行4层分解、重构、降噪以及多分辨分析，从其结果显示的长、短期的波动性特征将其划分为3个阶段，然后对这三个阶段进行分析，发现了上证指数在4到8天的平均波动构成了上证指数的主要波动频率。提出了上证指数的方差生成过程模型——V-DWM方差回归模型（上证指数波动性基于日、周、月的方差回归模型）。

关键词：离散小波变换；阶段性分析；V-DWM模型

一、引言
股票市场波动影响着投资者的风险和收益，对市场波动性特征的阶段划分研究成为金融研究者关注的对象，许多学者对我国股票市场的阶段性进行了研究，有关股票市场阶段性研究的角度主要集中在两方面：一是根据我国股票市场交易制度的变动而划分，二是对股市数据做趋势分析，根据波动性特征进行划分。陈娟和沈晓栋[1]、尹自永[2]以及陈守东、孟庆顺和孔繁利[3]对上证指数的阶段性划分进行了一些研究，虽然各自划分的阶段不大相同，但都是基于涨跌停板制度的变动而对股市进行阶段划分，然后再分别分析每个阶段的波动特征。这种划分方法是依据涨跌停板交易制度的变更会在很大程度上影响股市的波动而划分的。但我们认为，涨跌停板交易制度虽然会影响股市的波动，但其只是外部因素，不能全部反映股市的变动特征。比如说06年到09年这三年上证指数呈现出剧烈的波动，但这显然不再是涨跌停板制度的原因了。所以说这种划分方法存在一定的局限性，同时也缺乏理论的支持。另一方面，学者朱永安和曲春青[4] 根据股市波动特征进行划分，采用GJR、GARCH-M模型，分析了利好消息和利空消息对股票市场的非对称影响，然后根据Perron趋势检验特征将上证指数划分为两个阶段。这种划分方法是作者对上证指数的对数散点图进行研究，然后根据散点图表现出来的特征对上证指数进行阶段划分，但其只对上证指数数据进行了对数处理，平滑效果不明显。本文使用去噪效果较好，重构又不失真的离散小波方法对上证指数的波动性特征进行分析，使其阶段的划分更加精确地依赖于上证指数的波动性特征。
小波分析是现在数学中一个发展迅速的领域。目前，它被广泛地应用于信号分析、图像处理等方面。但是，利用小波分析对实际的金融数据进行分析与预测的并不多。而事实上，金融数据也是一种时间序列，和我们平常分析的信号具有相同的特性。小波分析可以将信号小波分解到不同尺度的频率通道上，由于分解后的信号在频率成分上比原始信号单一，并且小波分解对信号作了平滑处理，这样对一些非平稳时间序列进行小波分解后，可以将其当作近似意义上平稳时间序列来处理，并且小波变换后重构不会丢失原始序列的信息，可以进行不同尺度下的多分辨分析。
由于小波分析的上述优良特性，将上证指数做为一个时间序列（信号）进行小波分析，有着重要的意义。我国学者将小波分析用于股票市场分析的起步比较晚，徐梅[5]系统地研究了小波分析在金融波动应用研究的方法理论。此后，多位学者也进行了实证研究，兰秋军、马超群、文凤华[6]比较分析了传统滤波方法对金融数据去噪的缺陷, 采用小波分析对金融时间序列进行去噪；邓凯旭、宋宝瑞[7]用小波分解对信号作了平滑处理,通过例子证明了这种预测方法的有效性；杜建卫、王超峰[8]亦得出用小波分解和重构在金融股票数据预测比传统的方法有效的结论；李智[9]系统地研究了小波在金融时间序列的应用。
基于此我们使用小波变换对上证指数进行多分辨分析，根据分析结果表现出来的波动性特征，将上证指数划分为三个阶段，并发现上证指数自身的长、短期波动特征之间的关系，最终得到一个上证指数波动性基于日、周、月的方差回归模型。
二、小波理论简介
小波：设为一平方可积函数，即，若其傅里叶变换满足条件：

则称为一个小波母函数，我们称上式为小波函数的可容许条件。
（一）小波变换
小波变换就是指把一称为基本小波的函数Ψ（t）做位移τ后，再在不同尺度а下与待分析信号x（t）做内积：

等效的频域表示是：

式中，分别是的傅里叶变换。
小波变换具有以下特点：
1.具有多分辨率的特点，可以由粗到细地逐步观察信号。
2.我们也可以把小波变换看成用基本频率特性为的带通滤波器再不同尺度下对信号做滤波。由于傅里叶变换的尺度特性，如果的傅里叶变换是，则的傅里叶变换为，因此这组滤波器具有品质因数恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。
3.适当地选择基本小波，使在时域上为有限支撑，在频域上也比较集中，便可以使小波变换在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，这样就有利于检测信号的瞬态或奇异点。
（二）离散小波
将小波基函数的、限定在一些离散的点上取值。
1.尺度的离散化：对尺度进行冥数级离散化，即令取 ，此时对应的小波函数是，j=0，1，2，……。
2.位移的离散化：对进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。要求采样间隔满足Nyqiust采样定理，采样率大于等于该尺度下频率通带的二倍。在尺度j下，由于的宽度是的倍，因此采样间隔可以扩大，同时也不会引起信息的丢失。这样，就改成：

记为
离散小波变换定义为：
，
在实际中，我们一般取，这时。
当时，沿轴的相应采样间隔是，此时，变为：
，
即
我们把轴用归—化，，于是有：
此时，对应的WTf为：
（三）多分辨率分析与正交小波变换
构造正交基的方法一般是，在离散框架的基础上，取则：

我们把平方可积的函数看成是某一逐级逼近的极限情况。每级逼近都是用某一低通平滑函数对做平滑的结果，在逐级逼近时平滑函数也做逐级伸缩，这就是“多分辨率”，即用不同分辨率来逐级逼近分析函数。
把空间做逐级二分解产生一组逐级包含的子空间：

J是从到得整数，j值越小空间越大，当j=4时，如图1所示。
V4 W4 W3 W2 W1
V3
V2
V1
V0

图1 j=4函数空间的剖分
空间剖分是完整的，即当时，，包含整个平方可积的实变函数空间。

当时，，即空间最终剖分到空集为止。

这种剖分方式使得空间与空间正交，各个之间也正交，即：
， ，
这种函数空间的部分还具有位移不变性、二尺度伸缩性。
这样可得出多分辨率的概念，即空间中的多分辨率分析是指中满足下列条件的一个空间序列。
1.单调性：对任意，有。
2.逼近性：，。
3.伸缩性：，伸缩性体现了尺度的变换、逼近正交小波函数的变化和空间的变化具有一致性。
4.平移不变形：对任意，有。
5.Riesz基存在性：存在，使得构成的Riesz基。
定义函数为尺度函数，若其经过整数平移k和尺度j上的伸缩，得到一个尺度和位移均可变化的函数集合：

称每一个尺度j上的平移系列所组成的空间为尺度为j的尺度空间。

对于任意函数，有：

下式是从多分辨率理论导出的二进正交小波函数。所以，称为小波函数，相应的是尺度为j的小波空间。同时小波空间是两个相邻空间的差，即：

它表示相邻尺度空间的投影之间的细小差别即为函数在相应尺度小波空间上的投影，所以我们又称小波空间为细节空间。
1.尺度函数

同一尺度下j下的两个函数之间具有正交归一样，即：

但不同尺度之间的不具有正交性，即：

2.小波函数对所有的都是互相正交的。

3.同一尺度下，因为，所以小波函数和尺度函数之间是正交的，即：

三、离散小波实证研究
（一）样本及离散小波的选取
1.样本选取
对于上证指数的阶段性研究，所选取的样本要尽可能的跨越不同时期，同时为了避免将客观的冲击性事件（设立涨停板制度，修改印花税，和金融危机等）作为划分阶段的依据，样本的起始点和终止点在没有特定事件发生的时期中选择，如果某一事件影响的时期比较长，则尽可能选取在距该事件发生后较长的时间点。本文选取上证指数在1992年5月22日到2009年9月9日收盘价共4096（212）个数据为样本数据来源：大智慧股票软件
（见图2）。（选择212个数据作为样本可以满足离散小波的二进尺度的要求）
2.离散小波的选取
由于Symlets系是具有有限紧支撑性的正交小波，其时域和频域的局部化能力强，所以用来分析上证指数时间序列，可以将上证指数序列分解到不同的尺度进行研究。
对Sym2的选择是尽可能平衡小波滤波器的宽度的结果。因为，宽度很短的小波滤波器有时会在分析结果中出现人工痕迹（不真实的块状、鲨鱼鳍和三角形状），宽度大的小波滤波器可以更好地反映时间序列的特征，但会导致更多的小波系数被影响以及离散小波变换系数的局部化等级会较少。本文选取Sym2是在实验的结果中选取的，使宽度不断的扩大，直到得到小波系数没有人工痕迹的分析结果。
对分解层次的选择是基于分析上证指数波动性的特征这一特定的问题而做出的选择。在金融市场上，波动的来源有很多，投资者初始禀赋、投资者策略、信息不对称以及地域和时间的影响等等。
假设仅仅关注不同类型交易者在不同时间尺度的影响，金融时间序列表现出不同类型交易者频率的组合，不同的交易者的交易策略在交易结果中留下不同的频率（如社保基金，公募基金，保险公司等交易者交易频率较低，但是交易量巨大）。将投资者划分三种类型:短期投资者频率集中在2个工作日（由于我国股市是T+1交割）；中期投资者的交易策略一般是以5个工作日为平均变化的；长期投资者在以月为时间间隔来实现其交易策略的。
上证指数的波动可以看作是这三种不同类型的交易者不同的交易策略所引起的波动的组合。这样，选择4分解层次在不同的尺度上可以和三种交易者的策略引起的波动相对应，尺度1、2、4、8、16分别对应现实中股票交易日1、2、4、8、16工作日。这样尺度1、2反映了短期投资者的交易频率，尺度4、8反映中期投资者的频率，尺度16（16×2）则反映长期投资者的频率。
下文我们用Sym2小波进行4层分解、降噪、重构以及多分辨分析（matlab7.0）。
（二）上证指数的分解、降噪和重构
用Sym2小波进行4层分解、降噪（图4）、重构（图3）与原始价格（图2）的比较。

图2上证指数收盘价价格图
图3 小波重构上证指数收益率序列

图4 Sym2（4层）离散小波降噪图

图5 Sym2（4层）离散小波降噪残差图
对以上得出的图表结果，总结出表1的数据。
表1 图表分析有效数据
统计量
均值
最大值
最小值
中位数
众数
标准差
原始
1567
6092
333.9
1345
1198
972.1
合成
1567
6092
333.9
1345
1198
972.1
降噪后残差
-0.036
89.51
-89.76
0.756
5.249
23.19

从上证指数收盘价图和用Sym2（4层）离散小波重构上证指数收益率序列图形的比较来看，原始收盘价图（图2）和小波重构图（图3）非常相似，统计量基本相同（表1）。均值大于中位数，中位数大于众数，呈右偏态分布。可见用Sym2离散小波4层分解上证指数重构不会导致信息的丢失。降噪后，时间序列表现平滑（图4），Sym2离散小波（4层）分解降噪后残差均值为-0.03643，标准差为23.19，残差序列近似于白噪声，直方图近似正态分布（图5），用Sym2（4层）离散小波可以很好的处理上证指数的降噪问题。
（三）上证指数的多分辨分析
上面已说明上证指数收盘价序列经小波重构后与原始序列相比较，没有信息丢失，所以利用Sym2小波变换对上证指数进行多分辨分析（图6）。

图6 上证指数多分辨分析图

由于上证指数收盘价每隔一个工作日为时间间隔，所以尺度：d1的实际周期为1工作日，d2的实际周期为2工作日，d3的实际周期为4工作日，d4的实际周期为8工作日。从四层细节总体的平均变化来看，可以分为三个阶段，1995年6月12日以前为一阶段，从1995年6月12日到2006年4月13日个为第二阶段，从2006年4月13日到2009年9月9日为第三阶段。三阶段的波动程度表现为：第三阶段剧烈波动，第一阶段较大波动，第二阶段比较平稳。细节四层小波系数在三阶段的集中趋势如表2所示。
表2 三阶段集中趋势表

第一阶段
19920522到19950612
第二阶段
19950612到20060413
第三阶段
20060413到20090909
均值
最大值
最小值
均值
最大值
最小值
均值
最大值
最小值
d1
-1.163
97.71
-80.97
0.4673
57.5
-80.06
0.02
182.8
-412.7
d2
1.904
153.1
-117.6
-0.038
109.6
-98.43
-1.2
579.5
-314.3
d3
-4.333
210.2
-261.3
-1.578
275.8
-162.1
3.86
509.3
-559.5
d4
-5.237
322.4
-452.1
0.4769
312.6
-258.5
2.06
595.7
-1305

在第一阶段，上证指数的细节在不同尺度上均值为三负一正，且在高尺度d3、d4负项较大，说明上证指数在较长的走势中表现下降的趋势，在低尺度上，正负偏向差值较小为0.741。在第二阶段，有三个细节均值绝对值均小于0.5（d1的为0.4673，d2的为-0.038，d4的为0.4769）趋势集中，有稳定的趋势。在第三阶段，细节的均值呈正向的有d3的为3.858，d4的为2.056，偏离正向比较大，说明在第三阶段总体表现出上升的趋势。
为了研究尺度与标准差之间的关系，我们做了细节四层小波系数在三阶段的标准差之间的对比如表3所示。
表3 细节四层小波系数在三阶段的标准差
标准差表
d1
d2
d3
d4
第一阶段（19920522—19950612）
21.74
32.77
71.76
136
第二阶段（19950612—20041020）
12.85
21.44
45.49
83.36
第三阶段（20041020—20090909）
52.09
87.27
144.2
236.1

在四层细节中，第三阶段的标准差大于第一阶段的标准差，第一阶段的标准差大于第二阶段的标准差，说明了上证指数在第三阶段波动剧烈，在第一阶段波动较大，而在第二阶段趋于平稳。在上表中还可以看出，尺度越高，标准差越大的趋势，说明上证指数的平均变换随时间的增加而波动幅度变大。
由于上证指数在第三阶段波动剧烈，所以我们单独把第三阶段的波动特征拿出来分析一下，研究一下股市上涨阶段与下跌阶段的波动性差异，具体分析结果如表4所示。
表4 典型的上升阶段和下降阶段的细节集中和离中趋势

上升阶段（20060907--20071016）
下降阶段（20071016--20081229）
均值（标准差）
最大值
最小值
均值（标准差）
最大值
最小值
d1
0.09（31.25）
145.4
-123
-1.47（74.04）
182.8
-412.7
d2
0.03（41.28）
188.7
-96.22
-3.77（144.3）
579.5
-314.3
d3
-0.62（57.93）
127.8
-172.6
-15.3（224.5）
344.9
-559.5
d4
1.74（42.19）
145.4
-161.5
-65.0（415.5）
331.7
-1305

从表4可以看出，上证指数在下降阶段要比在上升阶段波动的剧烈，下降要比上升快。反映了我国股市股民的追涨杀跌的羊群效应，在发生羊群效应时，跟风向下的心态要偏好于受利好诱惑的追涨的心态。细节反映了上证指数的波动集群效应，即大的波动后面紧跟着大的波动，小的波动后面往往是小的波动。
在Sym2离散小波（4层）分解上证指数收盘价序列图中，光滑a4（尺度为16工作日）与原始图和合成图比较，光滑a4很好的反映了上证指数收盘价序列的长期趋势，没有出现三角波纹和鲨鱼鳍的人工痕迹。Sym2离散小波（4层）分解上证指数收盘价序列s=a4+d4+d3+d2+d1（见图6）。
上证指数在股市初创期波动较大，且呈现剧烈波动，投机氛围十分明显，从最初到1995年6月一直呈上升型趋势，且速度特别快，从1995年6月到1996年11月波动率方差呈下降趋势，但是仍然具有很高的波动性。虽然1997年上证指数有起起落落，但是还处在波动性高位。从1998年之后上证指数波动率长期处于缓慢的下降通道，一直到2006年。2006年上证指数波动率又开始上升，并且波动剧烈，2007年的过山车行情，尤其是2007年10月16日附近的波动在不同尺度下的系数比较大，波动尤其突出。
（四）小波分析小结
本文用Sym2离散小波（4层）对上证指数收盘价序列进行分解、降噪、重构以及不同尺度的多分辨分析，将上证指数分为了三个阶段，证明了我国股市存在的羊群效应和波动的集群效应，并发现了上证指数收盘价序列的波动在间隔（1，2，4，8工作日）的范围内随着时间间隔的增大而变大，上证指数波动的主频体现在时间间隔为4工作日和8工作日的平均变化。在相邻的上升阶段和下降阶段，下降时候的波动高于上升时候的波动。
四、V-DWM方差回归模型
（一）模型设定
根据小波分析的结论，时间间隔4和8工作日的平均变化波动贡献了上证指数的主要波动。在股票市场上，短期投资者、中期投资者和长期投资者由于交易的策略不同，表现出不同的交易行为（频率）。但是三者的影响并不是相同的，中长期交易者的行为对短期交易者行为的影响要强于短期交易者对中长期交易者行为的影响。本文以上证指数时间序列特征出现的主要时间间隔提出V-DWM方差回归模型，来拟合上证指数的波动性特征。D(date日),W(week周)，M（month月），根据我国的实际情况，日代表我国股票交易所工作日，一周包含5个工作日，一月包含四个周即20个工作日。波动率，为收益率。
假设数据生成过程：
=(t=1到n) ，为随机项 （1）
2=Var()
（2）
满足经典计量经济学的假定并且服从标准正态分布；设其中：
（3）
（4）
（二）实证模拟
样本选取与处理：本文选取上证指数收盘价为研究对象，样本区间为1992年5月22日到2009年9月9日（共4096个数据），计算其收益率方差。设定日波动方差，周波动方差和月波动方差的计算初始值一样，本文以月波动方差的数据个数为基础，做模型回归。
模型估计：通过以上样本估计模型（2）

上式中的各个系数估计值以及其统计量如表5所示。
表5 变量估计值
变量
系数
标准差
T统计量
P值

4.90
4.37
0．00

0.08
0.03
3.18
0.00

2.08
0.05
42.71
0.00

-1.17
0.03
-44.65
0.00

从T统计量来看，该模型的四个系数通过了检验，显著不为0，全部系数统计量也通过了F检验，拟合优度R2=0.997248，调整后的拟合优度R2=0.997245，很好的拟合了波动率方差走势。上证指数的波动率方差表现出和预期相符的对前期日方差、周方差、月方差显著的相关性，但是前期方差对其的影响并不大，系数仅为0.08，月方差是负影响，系数为-1.67，周方差对方差的生成过程有较大的影响，系数为2.08。
从实证结果可以看出，我国上证指数波动的方差，在周的影响上高于日波动和月波动的影响，和小波分析的结论一致（即上证指数时间序列的波动主频主要体现在尺度为4和8的分解的小波系数上）。反映了上海股票交易市场上短期交易者的交易频率引起的波动不会影响到中长期交易者的交易策略，因为中长期投资者更关注长期的波动。相反，中长期的波动会影响到短期交易者的交易行为，因为，在市场上，中长期投资者的交易行为主导了长期的波动，短期交易者关注短期波动对资产未来的风险和收益的影响，而短期波动往往由于股市的长期记忆性而被过去很长时间的波动所影响，V-DWM方差回归模型就证明了长期波动往往影响到短期波动的这一特征。所以我国上海股票交易市场上，中期投资者交易波动最大，并且和长期投资者的交易行为一起影响短期交易者的行为。
五、结论
本文用Sym2离散小波对上证指数收盘价进行4层分解、降噪、重构和多分辨分析，在多分辨分析的基础上对上证指数波动性进行确定的阶段划分，在1995年6月12日以前和2006年4月13日到2009年9月9日这两个阶段里，上证指数波动剧烈，从1995年6月12日到2006年4月13日波动比较平稳，并且上证指数在下降阶段比上升阶段的波动幅度更大，发现了时间间隔4和8工作日的平均变化波动贡献了上证指数的主要波动。在波动阶段性研究的基础上我们提出了一个上证指数的方差生成过程，即V-DWM方差回归模型，证实了上证指数序列的主要波动源于工作周的波动。证明了在我国上海股票交易市场上，中长期交易者的行为明显地影响着短期交易者的行为。
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