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3.抽象向量组线性相关性的判定与证明
　　对于抽象给出的向量组，判断或证明其线性相关与线性无关常采用以下方法.
　　方法1 定义法：先设，然后对其作恒等变形，如用某个矩阵同乘该式两边，或对该式拆项重新组合等. 究竟用什么方法应当从已知条件去寻找信息，通过一次或多次恒等变形来分析能够不全为零还是必须全为零，从而得知是线性相关还是线性无关.
　　方法2 求秩法：要论证线性相关或线性无关，可将其构成矩阵，利用或来说明.
　　方法3 利用有关结论，如“等价的向量组有相同的秩”等.
　　方法4 反证法.
　　例1 已知向量组线性无关. 设
， ，
讨论的线性相关性 .
　　解 法1 利用定义. 设，代入的表达式，有

整理得
由于线性无关，所以有
其系数行列式
从而方程组有非零解，即不全为零(或求得方程组的通解任意；取得)，故线性相关.
　　法2 利用矩阵的秩. 将看做行向量，令
，其中
因为线性无关，所以，又可求得，从而. 又知

因此，故线性相关.
　　注 上题中，如将看做列向量，则有

其余证明同法2.
　　例2 已知向量组，令，，证明：
　　(1) 当为偶数时，向量组线性相关；
　　(2) 当为奇数时，向量组与同时线性相关或线性无关.
　　证 (1) 法1 当为偶数时，由于

所以线性相关.
　　法2 设数组，使得
(*)
代入的表达式并整理得

令，则上式成立. 该齐次方程组的系数行列式
(两条线行列式)
故有非零解，即存在不全为零的数使(*)式成立，从而线性相关.
　　(2) 当为奇数时，将看做列向量，则有

其中
由于，所以可逆，从而

这表明向量组与可以互相线性表出，即它们等价，从而有相同的秩. 故当向量线性无关，即秩为时，向量组的秩也是，即线性无关；而当线性相关时，也线性相关.
　　注 上题中，如将看做行向量，则有

　　例3 向量组线性无关，则下列线性无关的向量组是 ．
　　(A) ，，，；
　　(B) ，，，；
　　(C) ，，，；
　　(D) ，，，
　　应填:(B)．
　　分析 法1．观察可知

　　(A)线性相关；

　　(C)线性相关；

　　(D) 线性相关．由排除法可知应选(B)．
　　法2 ．对(B)，设

拆项重组为

由线性无关知
，系数行列式
所以方程组只有零解，，从而(B)线性无关．用此法可知(A)，(C)，(D)均线性相关．
　　法3 ．对(B)，设
，，，
形式记为

　　由于，所以可由线性表出，故这两个向量组等价，而等价向量组有相同的秩，从而的秩为4，即它线性无关．对(A)，(C)，(D)如上处理，并写成形式记法，其中矩阵的行列式为0，这表明不能由，线性表出，故均线性相关．
　　例4 (98-1-04) 设是阶方阵，若存在正整数，使线性方程组有解向量，且.证明向量组是线性无关的.
　　证 设有数组，使得

两边左乘，并注意到，得，由于，所以. 此时有，再左乘可得. 依次类推知，故线性无关.
　　例5 在向量组中，设，且都不能由线性表示. 证明向量组线性无关.
　　证 采用反证法.设向量组线性相关，则存在不全为零的数，使得. 在数组中，设从右到左第个不为零的数为，即

于是有

如果，则有，从而，这与题设矛盾.故，上式可改写为

这与题设不能由线性表示矛盾. 因此，向量组线性无关.
　　例6 (01-4-08) 设是维实向量，且线性无关. 已知是齐次线性方程组

的非零解向量，试判断向量组的线性相关性.
　　解 由假设知线性方程组的系数矩阵为，而是方程组的非零解向量，即有，从而得
，即
　　法1 由定义. 设

左乘并利用得. 但，所以，于是有，代入前一式得.由于线性无关，所以，故线性无关.
　　法2 反证. 若线性相关，则由惟一表示定理知

于是

从而，这与是非零解向量矛盾，故线性无关.
　　例7 证明维向量组线性无关的充分必要条件是维单位坐标向量组
，，
可以由线性表出.
　　证 必要性.已知线性无关，由于个维向量必线性相关，所以线性相关，由惟一表示定理知可由线性表出.
　　充分性. 已知可由线性表出，又任意维向量均可由线性表出，所以可由线性表出，故向量组与等价 . 由于的秩为，所以的秩也为，故线性无关.
　　例8 设矩阵的秩为，又设维列向量线性无关. 证明向量组线性无关.
　　证 设数组，使得，即

由于，所以齐次线性方程组只有零解. 故由上式得

由题设线性无关，从而只有，故线性无关.
　　例9 设是矩阵，是矩阵，其中．若，证明的列向量组线性无关．
　　证 法1 (由定义，同乘). 将按列分块，设

变形为
，即
两边左乘得，即，从而，故，线性无关．
　　法2 (用秩)．因为

又是矩阵且，从而，故的列向量组线性无关．
　　例10 设是齐次线性方程组的线性无关解向量，是非齐次线性方程组的解向量，证明向量组线性无关．
　　证 法1 (用定义，同乘)．设

左乘矩阵，并注意得，由于，从而．于是．由于线性无关，故．于是线性无关．
　　法2 (反证法)．若线性相关，由于线性无关，所以可由线性表出，即，从而

这与是的解矛盾，故线性无关．