3.2--二维离散型随机变量的分布律及性质说课材料.ppt

*,3.2 二维离散型随机变量的分布律及性质,2,二维离散型随机变量的分布律及性质,一、二维离散型随机变量的联合概率分布,定义,若二维随机变量 的可能取值的全体为有限或可数多个数组，则称 为,二维离散型随机变量,象一维离散型分布那样，可以用一个概率分布来表达,二维离散型分布设二维离散型随机变量 可能,的取值为,记,则 的联合概率分布律（简称分布律）也可用,如下表,3-1,表示：,其中：,对二维离散型随机变量，由图,3-1,知离散型随机变,量 和 的联合分布函数为：,(2.1),例,1,一口袋中有三个球，它们依次标有数字,1,、,2,、,2.,从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球,.,设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同以,、分别记第一次、第二次取得球上标有的数字，求,的概率分布,解：,二、二维离散型随机变量的边缘概率分布,二维随机变量 作为一个整体，具有分布函数,而 和 都是随机变量，也分别具有分布函数，记之为 ，依次称为二维随机变量 关于 和 的,边缘分布函数,边缘分布函数可以由 的分布函数 所确定，事实上,即 （,2.2,）,同理 （,2.3,）,对离散型随机变量，由（,2.1,）和（,2.2,）,可得：,设 是二维离散型随机变量，它的概率分,布如表,3-1,所示，那么,同理可得关于 的边缘概率分布也是离散的，它的概率分布如表,3-4.,其中：,以后把 记作 。因此关于 的,边缘概率分布,也是离散的，它的概率分布如表,3-3.,例,2,设二维离散型随机变量 的概率分布如表,3-5,求关于 及关于 的边缘概率分布,.,解,：,解：可能取的值为数组（,1,，,2,）、（,2,，,1,）、,(2,，,2).,下面先算出取每组值的概率第一次取得,1,的概率为 ，第一次取得,1,后，第二次取得,2,的概率为,1.,因此，按乘法定理，得,第一次取得,2,的概率为 ，第一次取得,2,后，第二次取得,1,、,2,的概率都为 ,同理可得,于是，所要求的概率密度,如表,3-2.,解：求得边缘概率分布如表,3-6,所示,我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，如上表所示，这便是“边缘分布律”这个词的由来,三、二维离散型随机变量的条件概率分布,前面第一章讨论过事件的条件概率在事件 发生的条件下事件 发生的条件概率为,这里,对二维随机的变量 ，我们考虑在其中一个变量,取固定值的条件下，另一个变量的概率分布这样,得到的 或 的概率分布叫,条件分布,对二维离散型随机变量,设,考,虑在随机变量,取得可能值 的条件下，随机变量,取它的任一可能值 的条件概率,由上述随机事件的条件概率公式可得：,(2.4),易知，上述条件概率满足概率分布的,性质,同理，设 ，则可得到在,时随机变量 的条件概率分布为：,(1),(2),且,(1),(2),例,3,设二维离散形随机变量 的概率分布如表,3-7,求 时关于 的条件概率分布及 时关于 的条件概率分布。,解：,解,由 得,的条件概率分布为：,由 得时,关于 的条件概率分布为：,求得边缘概率分布为,:,四、,独立性,下面借助于随机事件的相互独立性，引入随机变量的相互独立性的概念，已知任二事件 相互独立的充分必要条件是,:,从而有如下定义,定义,设 及 ，分别是二维随机变量 的联合分布函数和边缘分布函数若对所有的 有,即,=,（,2.6,）,则称随机变量 是,相互独立的,当 为离散型随机变量时，是相互独立的条件（,2.6,）式等价于：对于 的所有可能取值,有,反之，若存在,使得 ，,则称 不独立,即,(2.7),例,4,相互独立，填如下表,3-8,空白处的值,解：,解,故,又 相互独立，所以,所以,从而,从而 所以,同理,例,5,设 表示把硬币掷三次时头两次掷出正面的次数，表示这三次投掷中出现正面的总次数那么，二维随机变量 概率分布如表,3-9,所示,.,问随机变量 是不是相互独立？,解：,解,仔细观察概率分布表及由它算出的边缘概率分布，发现,于是有,所以 不是相互独立的随机变量其实，我们从 的实际背景容易得出，头两次掷出的正面次数肯定要影响三次掷出的正面次数，故 不可能相互独立。,例,6,证明 离散型随机变量 独立的充分必要条件是：对实数轴上的任意两个点集,有 （,2.8,）成立,解：,证明,若对任意两个点集 有（,2.8,）成立，则当依次为单点集 时，仍有：,成立，所以 独立,反之，若 独立，则 成立从而对实数轴上的任意两个点集,有,（因为独立）,得证,此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢,