破解图形中变幻莫测的“阴影”.doc

破解图形中变幻莫测的“阴影”
朱咏松 (南通市虹桥二中 226006)
近年来的中考数学试卷中，围绕图形面积而展开的试题渐多起来，并以它奇妙组合与非常变化困扰了不少学生，也成为学生心中的一个“阴影”．今天让我们走进“阴影”，一起来探寻它的破解方法．
一、直接公式法

〖例 1〗如图，正六边形与正十二边形内接于同一个⊙O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为 ．

〖分析〗本图的阴影很明显是由六个全等的等腰三角形所构成，只要求出一个等腰三角形的面积即可．等腰三角形是一个特殊的几何图形，求面积时通常首选“直接用公式”．
〖解答〗连结OA、OB、OC，则OC⊥AB．
由圆内接正六边形得等边△ABO，则∠BAO=60º，AB=OA=2，
在⊙O中，OD⊥AB，则AD=AB=1，由勾股定理得OD=，

∴CD=2-，S△ABC=AB·CD=2-，∴S阴=6S△ABC=12-6．
〖例 2〗如图，AB是同心圆中大圆的弦，且与小圆相切于C点，若AB=8cm，则图中的阴影部分面积为 ．
〖分析〗本题是求一个圆环的面积，显然是用大圆面积减去小圆面积．但题中并没有给出大、小圆的半径，只有大圆的弦AB的长，怎么办呢？

〖解答〗连结OB，OC，由AB为小圆的切线，∴OC⊥AB，
在大圆中得BC=AB=4，由勾股定理知OB 2 -OC 2=BC 2=16，
由S阴=S大圆-S小圆=πOB 2 - OC 2=π（OB 2 -OC 2）=16π
【小结】“直接公式法”通常是针对一些特殊的规则图形，且易于直接用公式来表示的问题．但这里也藏着一定的变化，命题者经常会将直接需要的量隐藏在其它条件之中，这就要我们善于探寻这些条件间的联系．

二、面积组合法
〖例 3〗在Rt△ABC中，∠ACB=90º，S△ABC =30cm2，分别以AC、BC、AB为直径所作的圆构成如图所示的图形，则图中的阴影部分面积
为 ．
〖分析〗本题所示的阴影部分的构成显然是：S阴=S⊙M+S⊙N+S△ABC-S⊙O．但题中只给出了△ABC的面积，没有△ABC的三边的具体长度，其中有什么奥妙呢？
〖解答〗由S阴=S⊙M+S⊙N+S△ABC -S⊙O = π[+-]+30
=π+30=30（cm2）．

此外，从本题条件分析可知，“阴影部分面积”与“此三角形的具体边长”没有什么关系，只要此三角形面积一定，它的值就是定值．故本题也可自取一组合适的边长（如AB=5cm，AC=12cm，则BC=13cm），代入上面所列的面积组合中进行计算．
〖例 4〗如图，⊙Q内切与扇形OAB，若扇形OAB的半径为6cm，
圆心角为60º，则图中阴影部分的面积为 ．
〖分析〗本题所示的阴影部分组合为：S阴=S扇形OAB-S⊙Q．扇形OAB的面积很好解决，⊙Q的面积关键在于半径，如何来求它的半径呢？

〖解答〗连结QC、QD、QE，设⊙Q的半径为r．
∵OA、OB切⊙Q与D、E，且∠AOB =60º ∴∠QOE =30º
在Rt△OQE中，∠OEQ =90º，∠QOE =30º ∴OQ =2EQ =2r
由⊙O与⊙Q内切于点C ∴OC=OQ+QC 即3 r=6 则r=2
S阴=S扇形OAB-S⊙Q=（cm2）．
〖例 5〗
如图，五边形ABCDE的边长都大于2，分别以A、B、C、D、E为圆心作半径为1的圆，则图中阴影部分的面积为 ．
〖分析〗本题既可以直接看成是五个阴影扇形面积之和，也可以看成五个等圆的面积和减去五个空白扇形面积和．但这五边形是任意的，我们不知道每个内角的具体度数，怎么办呢？
〖解答〗因为五边形的内角和为540º，
则这五个空白扇形的面积之和为：；
所以 S阴 =．

【小结】“面积组合法”是求阴影部分面积中最常用的一种方法，它既考查了学生对常见几何图形面积公式的认识，又考查了学生对几何图形的拆解组合能力，还考查了学生对求解中未知条件分析应变能力．故而这种方法是我们在学习中要特别关注的．
三、等积形补法
〖例 6〗如图，矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，以D为圆心，DC为半径作弧交DA延长线与E，交AB于F，若F点恰为CE的中点，则图中阴影部分的面积为 ．

〖分析〗本题这两块阴影面积连结DF后，可以分别用“面积组合法”求出．虽不难，但计算过程还是有些繁的，有没有更好的方法呢？
〖解答〗过F点作FG⊥CD于G，
因为点F点恰为CE的中点，且FA⊥DE，FG⊥DC，
由图形的对称性可知：图中E、A、F构成的封闭区域与C、G、F构
成的封闭区域是全等的，所以它们的面积也相等，

∴S阴 =S矩形BCGF=（cm2）．
〖例 7〗如图，⊙O的半径为6cm，AB是⊙O中的弦，且与半径相等，OC∥AB，则图中的阴影部分面积为 ．

〖分析〗本题可以把阴影部分拆分为一个弓形与一个三角形分别计算，有没有更好的选择呢？
〖解答〗过O作OG⊥AB，过C作CH⊥AB，
∵OC∥AB ∴OG=CH（平行线间的距离处处相等）
由△OAB与△CAB同底等高，得S△OAB =S△CAB

∴S阴 =S扇形OAB=（cm2）．
〖例 8〗⊙A、⊙B、⊙C、⊙D是四个半径为5cm的等圆，位置如图所示，则图中的阴影部分面积为 ．

〖分析〗本题阴影部分中的⊙B面积好求，但三个两两外切的圆的中间部分面积计算起来有些费力，能不能不走此路解决问题呢？
〖解答〗如图，延长AB，CB交⊙B与F、E，则S阴 =S菱形ABCD
∵⊙A、⊙B、⊙C、⊙D的半径都为5cm，AB=10cm，∠A=60º
∴S阴 =S菱形ABCD =（cm2）．

【小结】“等积形补法”可以看作是一种技巧性解题手段．通过“等积形补”，它能把一些不规则的，复杂的图形变成常用的标准图形，从而减少了繁杂的计算，提高了解答的正确率．因为这类问题能够充分考查学生对图形的辨析能力，思路宽，解题方法多，十分吻合新课程改革的要求，故倍受命题人青睐．
四、单位面积法
〖例 9〗图中的虚线网格是正方形网格，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，若每个小正方形的面积都为1，则阴影部分面积为 ．

〖分析〗正方形网格是这类问题中最常用的一种，这里主要用图形的切割或外扩成矩形进行面积组合．
〖解答〗如图把ABCD外扩入一个矩形之中，
则S阴 =S矩形EFCG-S△EAB-S△BCF-S△CDG-S△DEA
．

〖例10〗图中的虚线网格是正三角形网格，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，若每个小正三角形的面积都为1，则阴影部分面积为 ．
〖分析〗正三角形网格是正形网格的一种变形，解题的手法与正方形网格相似，但在组合时通常沿网格线进行切割，一般可扩成等腰梯形或平行四边形．
〖解答〗如图把ABCD外扩入一个等腰梯形之中，
则S阴 =S梯形AMNP-S△MAB-S△BCN-S△CDN-S△DPA．
【小结】“单位面积法” 是针对网格面积问题的一种重要解题手段．这里关键是要充分利用构成网格的单位图形，把要求的阴影图形依托网格线进切割或外扩，并把所分割出来的图形与单位图形行面积对比，从而解决问题．
以上所介绍的四种方法是处理阴影图形面积的主要方法．在此要提醒的是，解题时还需要注意认真审题，拾阶而上，切不可把简单问题复杂化．