模糊分析方法及其应用.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,西南财经大学经济数学学院,刘 丽,模糊分析方法及其应用,参考资料：,1,杨纶标、高英仪，模糊数学原理及其应用，华南理工大学出版社,2,谢季坚、刘承平，模糊数学方法及其应用，华中科技大学出版社。,教材：教师自编讲义,本课程的教学目标是使学生掌握模糊分析的主要方法，培养学生应用模糊分析方法研究不确定性的复杂系统的能力。,第一章 绪论,1.1,模糊现象,一、模糊性现象,现象本身不确定，具有模糊性。,它是由概念的模糊性产生的。,例如：胖子，瘦子，,高山，大河，,富裕，贫困，,健康，不健康，,年轻，年老，,产品质量好，质量不好,.,模糊与清晰是相悖的：,凡在类属问题上判断,“是”与“非”的属清晰。,如：地球是“行星”吗？是。,鸡蛋呢？非。,凡在类属问题上可用程度，等级区别的，属模糊。,如：“高山”，青城山：高？不高？,（相比较而言）,成都市的空气质量：好？不好？,（以等级划分）,二、模糊数学的诞生与发展,在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。以前人们回避它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。,在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，,没有分明的数量界限，要使用一些模糊,的词句来形容、描述。比如，比较年轻、,高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远,。这些概念是不可以简单地用是、,非或数字来表示的。,精确数学方法：,1.,精确的定义,2.,在精确定义的基础上进一步推理,3.,得出正确的，合乎常理的结论,模糊性现象无法采用精确数学方法解决,例,1,著名问题：“秃头悖论”,_,古希腊学者发现,秃头定义：,n,根头发者为秃头,这样，,k,可以取很大,当,k,很大时，结论,:“,头发很多者为秃头”,这是一个不合常理的，荒谬的结论,例,2,.,“,找人”,定义要找的人：,如果恰逢头发掉了一根，就找不到此人了。,太精确了，未必是好事,!,但如果要你某日上午,10,点在校门口接一个“大胡子，高个子，长头发，戴宽边黑色眼镜的中年男人”,这里只有一个精确信息,男人,其余,模糊的概念,经综合分析判断，就可以找到此人。,模糊，未必不好！,例,3.,有人曾经精确定义,:“GDP,连续减少,6,个月则为经济衰退”,若从,1,月,1,日起,GDP,连续减少，那到,6,月,30,日就是,6,个月，则,7,月,1,日就是经济衰退，而,6,月,30,日则算是经济繁荣。,这就有些不合常理。,结论：精确数学不适用于解决模糊性问题,于是，模糊数学诞生了。,1.,模糊数学的诞生,模糊数学诞生于,1965,年。,1965,年，美国,California,大学的,L.A.Zadeh,教授发表了论文：“,fuzzy sets”,，模糊数学便作为一门独立的数学学科而诞生了。,Zadeh,教授这篇文章被公认为模糊数学诞生的标志。,模糊数学的其它命名：模糊分析、模糊学，模糊论。,2.,模糊数学的发展,Zadeh,教授具有创新精神，又具有务实态度，他的研究（隶属度，隶属数，模糊集合等）为模糊数学作为一门独立的学科建立了必要的基础。更为可贵的是,Zadeh,的研究与解决现代科学技术的实际问题紧密地联系在一起。这一新兴的学科吸引了众多国内外科技工作者的浓厚兴趣。因此，模糊数学理论和应用方面都呈现出朝气蓬勃的景象。,模糊数学从诞生到现在已经四十多年了，现在在自然科学，工程技术，社会、经济、农业科学各领域都有广泛的应用。,经典的集合论明确地规定：每一个集合都必须由确定的元素所构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论没办法对模糊概念处理，运算就产生了模糊集合论。,1965,年美国控制论学者,L.A.,扎德发表论文,模糊集合,，标志着这门新学科的诞生。在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于,0,和,1,之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。比如“老人”是个模糊概念，,70,岁的肯定属于老人，它的从属程度是,1,，,40,岁的人肯定不算老人，它的从属程度为,0,，按照查德给出的公式，,55,岁属于“老”的程度为,0.5,，即“半老”，,60,岁属于“老”的程度,0.8,。,扎德认为，指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。当隶属于,0,和,1,之间值时，就是模糊集合。,模糊数学发展的主流是在它的应用方面。由于模糊性概念已经找到了模糊集的描述方式，人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊数学的方法来描述。,例如模糊聚类分析、模糊综合评判、模糊决策、模糊控制等。这些方法构成了一种模糊系统理论，构成了一种思辨数学的雏形，它已经在医学、气象、心理、经济管理、石油、地质、环境、生物、农业、林业、化工、语言、控制、遥感、教育、体育等方面取得具体的研究成果。,模糊数学的研究内容,模糊性数学自身的理论研究进展迅速。我国模糊性数学自身的理论研究仍占模糊性数学及其应用学科的主导地位，所取得的研究成果在,模糊性数学,、,模糊系统与数学,等数十种学术期刊和全国高校学报中经常可见，模糊聚类分析理论、模糊神经网络理论和各种新的模糊定理及算法不断取得进展。,一、研究模糊性数学的理论,二、研究模糊语言学和模糊逻辑。,人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定为,1,，那么，其他文法稍有错误，但尚能表达相仿的思想的句子，就可以用以,0,到,1,之间的连续数来表征它从属于“正确句子”的隶属程度。这样，就把模糊语言进行定量描述，并定出一套运算、变换规则。目前，模糊语言还很不成熟，语言学家正在深入研究。,三、研究模糊数学的应用。,更多的学者和专家是搞应用的。主要的应用方面是：,模糊数学目前在自动控制技术领域仍然得到最广泛的应用，所涉及的技术复杂繁多，从微观到宏观、从地下到太空无所不有，在机器人实时控制、电磁元件自适应控制、各种物理及力学参数反馈控制、逻辑控制等高新技术中均成功地应用了模糊性数学理论和方法。,模糊性数学在计算机仿真技术、多媒体辨识等领域的应用取得突破性进展，如图像和文字的自动辨识、自动学习机、人工智能、音频信号辨识与处理等领域均借助了模糊性数学的基本原理和方法。,模糊聚类分析理论和模糊综合评判原理等更多地被应用于经济管理、环境科学、安全与劳动保护等领域，如房地价格、期货交易、股市情报、资产评估、工程质量分析、产品质量管理、可行性研究、人机工程设计、环境质量评价、资源综合评价、各种危险性预测与评价、灾害探测等均成功地应用了模糊性数学的原理和方法。,地矿、冶金、建筑等传统行业在处理复杂不确定性问题中也成功地应用了模糊性数学的原理和方法，从而使过去凭经验和类比法等处理工程问题的传统做法转向数学化、科学化，如矿床预测、矿体边界确定、油水气层的识别、采矿方法设计参数选择、冶炼工艺自动控制与优化、建筑物结构设计等都有应用模糊性数学的成功实践。,我国医药、生物、农业、文化教育、体育等过去看似与数学无缘的学科也开始应用模糊性数学的原理和方法，如计算机模糊综合诊断、传染病控制与评估、人体心理及生理特点分析、家禽孵养、农作物品种选择与种植、教学质量评估、语言词义查找、翻译辨识等均有一些应用模糊性数学的实践，并取得很好效果。,目前，世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机，,1986,年日本山川烈博士首次试制成功模糊推理机，它的推理速度是,1000,万次,/,秒。,1988,年，我国汪培庄教授指导的几位博士也研制成功一台模糊推理机,分立元件样机，它的推理速度为,1500,万次,/,秒。这表明我国在突破模糊信息处理难关方面迈出了重要的一步。,经济：经济发展水平的评判，富裕，小康，温饱，贫困分类，市场划分，产品质量评判,工程技术：洗衣机，电冰箱，洗碗机，空调，腕式血压计,广泛采用了模糊控制技术,自然科学：自然灾害，环境的综合评判，计算机图像识别,医学：癌细胞识别，血白球识别与分类，计算机医疗诊断,气象：天气预报，气候模拟试验，气象资料分析与决策,农业：土壤分类，小麦样本识别,第二章 模糊集合,2.1,经典集合概述,一、集合的基本概念,1,集合：具有某种特性的事物的全体。用,A,，,B,等记,2,论域：讨论集合时给出的研究对象的全体，用,U,记。,注：论域本身是一种特殊的集合；,论域的选取一般不唯一。,如：讨论正整数集合时，论域可取为自然数 集合；也可以取为整数集合，预先取定即可。,在讨论的论域中取出一个元素,a,，同时给出一个集合,A,，,两者必居其一。,经典集合论的基本要求,3,、集合的分类,4,集合的表示法,枚举法,描述法,二、集合的特征函数,定义,2.1,设,A,是论域,U,中的集合，下述函数称为,集合,A,的特征函数,注：特征函数是布尔函数（取值为,0,，,1,的函数）,三、集合的幂集,定义,2.2,设,U,是一个集合，由,U,的所有子集作为元素构成的集合称为,U,的幂集，记作,J,(,U,),.,四、集合的直积（笛卡儿积）,定义,2.3,设,A,与,B,是两个集合，称,为,A,与,B,的直积，也称为,A,与,B,的笛卡儿积。,例如：,五、集合的关系,包含：若,则称,A,是,B,的子集或,B,称包含,A,.,记作,则称,A,与,B,相等,记作,A=B,六、集合的运算及其性质,1.,运算,.,2.,性质,(1),交换律,:,(2),结合律,:,(3),分配律,:,(4),幂等律,:,(5),吸收律,:,(6)01,律,:,(7),还原律,:,(8),对偶律,:,(9),排中,(,互补,),律,:,七、映射,定义,2.4,设,X,，,Y,是两个非空集合,若存在一个对,应规则,f,有唯一元素,则称,f,为由,X,到,Y,的映射，记作：,与之对应，,2.2,模糊集合的概念,一、模糊集合的定义,则称映射,确定了,U,上的一个模糊集,称为该模糊集的隶属函数,.,为,x,对模糊集,的隶属度,.,的点,x,称为过渡点,.,该点最具模糊性,.,定义,2.5,设,U,是论域，根据一个模糊概念，在,U,上给定了一个映射,F,集的实质是二要素：模糊概念，映射,.,例,1.,由于人种，地理环境的不同，人们对“高个子”的理解也不同,.,设论域,下面是用,100,人打分的方法确定的隶属度,.,例,2.,设,U,（单位：岁）表示人的年龄,.Zadeh,给出“年轻”（,Y,）与“年老”（,O,）两个模糊集合的隶属函数分别为：,二、模糊集合的表示法,（,1,）,Zadeh,表示法,注：上述表示法只有符号意义,（,2,）序偶表示法,（,3,）向量表示法,2.,论域,U,为无限集,符号法：,例,4,设,U,k,（实数集），,例,4,设,U,整数集，,由上式可得：,2.3,模糊集的运算,一,.,模糊幂集,在给定的论域上可以有多个模糊集,.,定义,2.6,记论域,U,上的,F,集的全体为,F,（,U,）,.,称,F,（,U,）为,U,的模糊幂集即,注：,F,（,U,）是普通集合，它的元素为,U,上的,F,集,二,.F,集的关系与运算,1.,包含与相等,定义,2.7,设,2.,并，交，补,其隶属函数为：,（,1,）有限论域：,（,2,）无限论域,例,1,设论域（,5,人集）,求模糊集,解：,其隶属函数分别为：,例,2,设,U,0,200,（年龄集）,解：先求两直线的交点,.,75,50 51,25,由,因底大于,0,，故两边开方，得：,因,如图：当,如图可得：,模糊集的运算律：,（,1,）幂等律：,（,2,）交换律：,（,3,）结合律：,（,4,）分配律：,（,5,）吸收律：,（,6,）,0,1,律：,（,7,）还原律：,（,8,）对偶律：,2.4,隶属函数的确定,对于应用问题，首先要建立,F,集的隶属函数,.,应用模糊数学的关键在于建立符合实际的隶属函数，这是至今尚未充分解决的问题,.,不过现在已有一些较为有效的方法,.,本节介绍确定隶属度和隶属函数的常用方法,.,一、确定隶属度和隶属函数的方法,1.,模糊统计法,.,此方法源于,1976,年，它是根据模糊统计试验得出隶属频率，再根据隶属频率的稳定性确定隶属度,.,模糊统计试验的基本方法与原理：,设,是论域,U,中的模糊集合，,造一个可变的可移动的普通集合,S,S,中可含有,也可不含,定义,2.12,设进行了,n,次模糊统计试验构成,S,，,其中有,m,次出现,为,对,的隶属频率,.,随着,n,的增大（继续造,S,）则隶属频率趋于稳定的常数，,该常数即为,对,的隶属度,.,例,1,设论域,U,（人的年龄）,.,为在,U,中建立模糊集合“青年人”的隶属度,.,张南纶等,1981.,（,1,）,.,武汉建材学院学报）进行了一次较大规模的模糊统计试验，他们在武汉建材学院进行抽样调查，要求被调查的大学生在独立认真思考“青年人”的含义后，给出“青年人”的年龄区间,.,他们随机抽取了,129,人，相应收到了,129,个“青年人”的年龄区间,样本：,18,25 17,30 17,28 18,25,16,35 14,25 18,30 18,35,18,35 15,25 15,30 18,35,17,30 18,25 18,35 20,30,18,30 16,26 20,35 18,30,解：（,1,）对,129,个数据作出如下的统计处理,.,构成,S,的次数,n,:,10 20 120 129,S,中含,27,的次数,m,:,6 14 95 101,f,:,0.6 0.7 0.79 0.78,统计结果表示隶属频率稳定在,0.78,附近,.,因,此，年龄为,27,岁的隶属度为,小区间序号 年龄组 频数（,m,）相对频率（,m/129,）,1 13.5,14.5 2 0.0115,2 14.5,15.5 27 0.2093,3 15.5,16.5 51 0.3953,4 16.5,17.5 67 0.5194,5 17.5,18.5 124 0.9612,6 18.5,19.5 125 0.9690,7 19.5,20.5 129 1,8 20.5,21.5 129 1,9 21.5,22.5 129 1,10 22.5,23.5 129 1,11 23.5,24.5 129 1,12 24.5,25.5 128 0.9922,13 25.5,26.5 103 0.7984,14 26.5,27.5 101 0.7829,15 27.5,28.5 99 0.7674,16 28.5,29.5 80 0.6202,17 29.5,30.5 77 0.5969,18 30.5,31.5 27 0.2093,19 31.5,32.5 27 0.2093,20 32.5,33.5 26 0.2016,21 33.5,34.5 26 0.2016,22 34.5,35.5 26 0.2016,23 35.5,36.5 1 0.0078,15.5,25.5,35.5,0.2,0.4,0.6,0.8,注：,(1),对模糊概念进行模糊统计试验时，应要求被调查者熟悉该模糊概念，并能对其量化,.,(2),对模糊概念还可以采用“专家打分”等办法作统计,.,例如产品质量评判，环境评判,等,.,（今后小论文可作这些问题）,(3),统计者对获得的数据应当首先进行筛选，删除质量不合乎逻辑的数据，然后再进行隶属频率的计算,.,（例如“青年人”调查中，,5,12,，,50,80,这些数据都是不符合逻辑的数据）,2.,指派法（模糊分布法）,指派法：根据问题的性质意义套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据（或经验数据）确定分布的参数,.,指派隶属函数的方法普遍被认为是一种主观的方法，在使用这种方法的时候可以把实践经验考虑进去,.,1.,矩形分布,偏小型 中间型 偏大型,0 a,1,0 a,1,0 a b,1,常用的模糊分布,2.,梯形分布,0 a b,1,0 a b c d,0 a b,1,偏小型,中间型,偏大型,3.k,次抛物型,0 a b,1,0 a b c d,0 a b,1,偏小型,中间型,偏大型,4.,型,0 a,1,0 a b,0 a,1,偏小型,中间型,偏大型,5.,正态型,0 a,1,0 a,1,0 a,1,偏小型,中间型,偏大型,6.,柯西型,0 a,1,0 a,1,0 a,1,偏小型,中间型,偏大型,例,1,评价学生成绩,0 85 95,1,于是有,注：使用时：,偏小型适合描述：“小”，“冷”，“青年”，颜色“淡”,偏大型适合描述：“大”，“热”，“老年”，“浓”,中间型适合描述：“中”，“暖和”，“中年”,确定出的隶属函数都是近似的，需不断加以修改（即对参数的调整），使之趋于完善,.,例,2,建立“年轻人”的隶属函数,2,确定参数,）将不足,25,岁的人看作真正的“年轻人”，故选,a,25.,）大于,25,岁的人属于年轻人的程度应随年龄的增加而减少,.,这个衰减显然不是线性的，为计算方便，取,2,）认为,30,岁作为“年轻人”应是最模糊的概念,即此时,3.,借用已有的“客观”尺度,4.,二元对比排序法,对很难直接确定隶属函数的模糊集，通,过两两比较，易确定两个元素相应隶属,度的大小，先排序，再定隶属度,.,这种方,法是一种离散法,.,5.,其它方法,确定隶属度的方法还有很多，例如：,请专家或有经验的工程技术人员直接打分,推理,1 2 30,即两点,（,1,，,1,），（,30,，,0,）,.,由两点式,2.5,集的截集,根据医生的经验，赋予“发烧”的隶属度：,温度,隶属度,39,1,38.5-39,0.9,38-38.5,0.7,37-38,0.4,37,0,定义,2.9,称,为,F,集的,截集,称,为,F,集的,强截集,.,例,1,在一次“优胜者”的选拔考试中，,10,位应试者及其成绩如下：,应试者,成绩（分）,100,92,35,68,82,25,74,80,40,55,注：模糊集的,截集实际上是普通集,.,取,0.5,作为奴隶社会的划分界限,问奴隶社会包含哪些朝代？,截集的性质：,二,.,分解定理,1.,数乘,F,集,特别地，当,A,为经典集合时，,运算性质：,上述定理表明，模糊集可由普通集表示,.,这反映了,F,集和普通集的关系,.(,证略,),由分解定理：,