两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形.doc

　 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)公式
①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C(α－β))
②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C(α＋β))
③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S(α－β))
④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S(α＋β))
⑤tan(α－β)＝(T(α－β))
⑥tan(α＋β)＝(T(α＋β))
(2)公式变形
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．
②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
2．二倍角公式
(1)公式
①sin 2α＝2sin_αcos_α，
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，
③tan 2α＝.
(2)公式变形
①cos2α＝，sin2α＝；
②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin.
3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√)
(3)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(×)
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)
(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×)
(6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√)
(7)若α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√)
(8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.(×)
(9)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√)
(10)y＝的x无意义．(×)

考点一　三角函数式的给角求值

命题点
1.已知非特殊角求函数式的值
2.已知含参数的角化简函数或求值
[例1]　(1)求值：－sin 10°；
解：原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝＝＝.
(2)化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos 2α·cos 2β.
解：法一：(复角→单角，从“角”入手)
原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·(2cos2α－1)·(2cos2β－1)
＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
法二：(从“名”入手，异名化同名)
原式＝sin2α·sin2β＋(1－sin2α)·cos2β－cos 2α·cos 2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2α·cos 2β
＝cos2β－sin2α·cos 2β－cos 2α·cos 2β
＝cos2β－cos 2β·
＝－cos 2β·
＝－cos 2β＝.
法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原式＝·＋·－cos 2α·cos 2β
＝(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－·cos 2α·cos 2β＝.

1．求值sin 50°(1＋tan 10°)．
解：sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°)
＝sin 50°·
＝sin 50°·＝＝＝＝1.
2．在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan＋tan＋tantan的值为________．
解析：因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，
所以A＋C＝，＝，tan＝，
所以tan＋tan＋tantan
＝tan＋tan tan
＝＋tantan ＝.
考点二　三角函数式的给值求值
命题点
1.已知某角的三角函数值求其它的三角函数值
2.已知某角的三角函数值，求三角函数的值
3.已知三角函数式的值，求三角函数值

[例2]　(1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ＝－，则cos 2θ＝(　　)
A．－　　　　　 B．－ C. D.
解析：法一：cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝
＝＝.故选D.
法二：由tan θ＝－，可得sin θ＝±，因而cos 2θ＝1－2sin2θ＝.
答案：D
(2)已知tan＝，且－＜α＜0，则等于(　　)
A．－ B．－ C．－ D.
解析：由tan＝＝，得tan α＝－.
又－＜α＜0，所以sin α＝－.
故＝＝2sin α＝－.
答案：A
(3)已知α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则＝________.
解析：2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，
由于α∈，sin α＋cos α≠0，
则2sin α＝3cos α.又sin2α＋cos2α＝1，∴cos α＝，
∴＝＝.
答案：

1．在本例(1)中，已知条件不变，求tan的值．
解：tan＝＝＝.
2．在本例(1)中，已知条件不变，求2sin2θ－sin θcos θ－3cos2θ的值．
解：原式＝
＝＝＝－.
3．已知cos＋sin＝，则cos＝________.
解析：由cos＋sin＝，得
sin α＋sincos α－cos πsin α＝∴sin α＋cos α＝，
即sin＝，∴sin＝，
因此cos＝1－2sin2＝1－2×＝.
答案：
考点三　已知三角函数式的值求角
命题点
1.利用弦函数值求角
2.利用切函数值求角

[例3]　(1)已知cos α＝，cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，则β＝________.
解析：∵cos α＝，0＜α＜.∴sin α＝.
又cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜.∴0＜α－β＜，则sin(α－β)＝.
则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝＝，由于0＜β＜，所以β＝.
答案：
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝＞0，∴0＜α＜.又∵tan 2α＝＝＝＞0，
∴0＜2α＜，∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－π.
答案：－π
[方法引航]　1.解决给值求角问题应遵循的原则
(1)已知正切函数值，选正切函数．
(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是，选正、余弦皆可；②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是，选正弦较好．
2．解给值求角问题的一般步骤
(1)求角的某一个三角函数值．
(2)确定角的范围．
(3)根据角的范围写出所求的角．

1．设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　)
A.　　 　B. C. D.或
解析：选C.∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，
∴cos α＝，sin β＝，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝＞0.
又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，∴α＋β＝.
2．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
解：由cos β＝，β∈，得sin β＝，tan β＝2.
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵α∈，β∈，∴＜α＋β＜，∴α＋β＝.

[方法探究]
三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用
三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
[典例]　某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
(1)sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
(2)sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
(3)sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
[解]　(Ⅰ)选择(2)式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(Ⅱ)法一：三角恒等式为
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin α·cos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
[高考真题体验]
1．(2016·高考全国甲卷)若cos＝，则sin 2α＝(　　)
A.　　　　B. C．－ D．－
解析：选D.因为cos＝coscos α＋sinsin α＝(sin α＋cos α)＝，所以sin α＋cos α＝，所以1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－，故选D.
2．(2016·高考全国丙卷)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)
A. B. C．1 D.
解析：选A.法一：由tan α＝＝，cos2α＋sin2α＝1，得或，则sin 2α＝2sin αcos α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＋＝.
法二：cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.
3．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)
A．－ B.C．－ D.
解析：选D.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°
＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.
4．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)
A．3α－β＝ B．2α－β＝C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
解析：选B.由条件得＝，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin，因为－＜α－β＜，0＜－α＜，所以α－β＝－α，所以2α－β＝，故选B.
5．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．
解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.
所以2sin αcos α－cos2α＝＝
＝＝－1.
答案：－1
6．(2016·高考四川卷)cos2－sin2＝________.
解析：由二倍角公式，得cos2－sin2＝cos＝.
答案：
课时规范训练
A组　基础演练
1．tan 15°＋＝(　　)
A．2　 　 B．2＋ C．4 D.
解析：选C.法一：tan 15°＋＝＋
＝＝＝4.
法二：tan 15°＋＝＋
＝＋＝＝4.
2.的值是(　　)
A. B. C. D.
解析：选C.原式＝
＝
＝＝.
3．已知θ∈(0，π)，且sin＝，则tan 2θ＝(　　)
A. B. C．－ D.
解析：选C.由sin＝，得(sin θ－cos θ)＝，所以sin θ－cos θ＝.
解方程组，得或.
因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以不合题意，舍去，所以tan θ＝，所以tan 2θ＝＝＝－，故选C.
4．若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ等于(　　)
A. B. C. D.
解析：选D.由sin 2θ＝和sin2θ＋cos2θ＝1得
(sin θ＋cos θ)2＝＋1＝，
又θ∈，∴sin θ＋cos θ＝.
同理，sin θ－cos θ＝，∴sin θ＝.
5．已知sin 2(α＋γ)＝nsin 2β，则的值为(　　)
A. B. C. D.
解析：选D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝nsin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n[sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n－1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以＝，故选D.
6．若sin＝，则cos 2θ＝________.
解析：∵sin＝cos θ＝，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－.
答案：－
7．若点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.
解析：∵点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上
∴sin α＝－2cos α，
于是sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos2α－1)
＝－4cos2α＋4cos2α－2＝－2.
答案：－2
8．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．
解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.
∵α∈，sin α≠0，∴cos α＝－.又∵α∈，∴α＝π，
∴tan 2α＝tanπ＝tan＝tan＝.
答案：
9．化简：(0＜θ＜π)．
解：由θ∈(0，π)，得0＜＜，∴cos＞0，
∴＝＝2cos.
又(1＋sin θ＋cos θ)＝
＝2cos
＝－2coscos θ.故原式＝＝－cos θ.
10．已知α∈，且sin＋cos ＝.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．
解：(1)因为sin ＋cos ＝，两边同时平方，得sin α＝.
又＜α＜π，所以cos α＝－.
(2)因为＜α＜π，＜β＜π，所以－π＜－β＜－，故－＜α－β＜.
又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.
cos β＝cos[α－(α－β)＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－×＋×＝－.
B组　能力突破
1．已知sin α＋cos α＝，则1－2sin2＝(　　)
A.　　　 B. C．－ D．－
解析：选C.由sin α＋cos α＝，得1＋2sin αcos α＝，∴sin 2α＝－.
因此1－2sin2＝cos2＝sin 2α＝－.
2．已知f(x)＝2tan x－，则f的值为(　　)
A．4 B. C．4 D．8
解析：选D.∵f(x)＝2＝2×＝，
∴f＝＝8.
3．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　)
A. B. C. D.
解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－＜α－β＜.
又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.
又sin α＝，∴cos α＝，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
∴β＝.
4．若tan α＝lg(10a)，tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a的值为________．
解析：tan α＋tan β＝lg(10a)＋lg＝lg 10＝1，
∵α＋β＝，所以tan ＝tan(α＋β)＝＝，
∴tan αtan β＝0，则有tan α＝lg(10a)＝0或tan β＝lg＝0.
所以10a＝1或＝1，即a＝或1.
答案：或1
5．已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求tan β的值．
解：(1)∵tan(π＋α)＝－，∴tan α＝－.∵tan(α＋β)＝
＝＝＝
＝＝＝＝.
(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.