青理工高数同济第七章教案.doc

青理工高数同济第七章教案

§7.3 齐次方程

齐次方程:
如果一阶微分方程中的函数f(x, y)可写成的函数,
即,则称这方程为齐次方程
下列方程哪些是齐次方程？
(1)是齐次方程..
(2)不是齐次方程..
(3)(x2+y2)dx-xydy=0是齐次方程..
(4)(2x+y-4)dx+(x+y-1)dy=0不是齐次方程..
(5)是齐次方程.

齐次方程的解法:
在齐次方程中,令,即y=ux,有,
分离变量,得.
两端积分,得.
求出积分后,再用代替u,便得所给齐次方程的通解.
例1解方程.
解 原方程可写成,
因此原方程是齐次方程.令,则y=ux,,
于是原方程变为,即 .
分离变量,得.
两边积分,得u-ln|u|+C=ln|x|,或写成ln|xu|=u+C.
以代上式中的u,便得所给方程的通解.
.
练习: P314 1 (3)
作业: P314 1 (2) 2 (2)

§7.4 线性微分方程
一、线性方程
线性方程:
方程叫做一阶线性微分方程.
如果Q(x)º0 ,则方程称为齐次线性方程,否则方程称为非齐次线性方程.
方程叫做对应于非齐次线性方程的齐次线性方程.
下列方程各是什么类型方程？
(1)Þ是齐次线性方程.
(2) 3x2+5x-5y¢=0Þy¢=3x2+5x, 是非齐次线性方程.
(3) y¢+y cos x=e-sin x, 是非齐次线性方程.
(4), 不是线性方程.
(5)Þ或, 不是线性方程.
齐次线性方程的解法:
齐次线性方程是变量可分离方程.分离变量后得
,
两边积分,得,
或 ,
这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）.
例1 求方程的通解.
解 这是齐次线性方程,分离变量得,
两边积分得 ln|y|=ln|x-2|+lnC,
方程的通解为y=C(x-2).
非齐次线性方程的解法:
将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x),把

设想成非齐次线性方程的通解.代入非齐次线性方程求得
,
化简得,
,
于是非齐次线性方程的通解为
,
或.
非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解及非齐次线性方程的一个特解之和.
例2 求方程的通解.
解法1这是一个非齐次线性方程.
先求对应的齐次线性方程的通解.
分离变量得,
两边积分得 ln y=2ln (x+1)+ln C,
齐次线性方程的通解为y=C(x+1)2.
用常数变易法.把C换成u,即令y=u×(x+1)2,代入所给非齐次线性方程,得

,
两边积分,得.
再把上式代入y=u(x+1)2中,即得所求方程的通解为
.
解法2 这里,.
因为,
,
,
所以通解为
.
例3解方程.
解 若把所给方程变形为,
即为一阶线性方程,则按一阶线性方程的解法可求得通解.但这里用变量代换来解所
给方程.
令x+y=u,则原方程化为
,即.
分离变量,得,
两端积分得u-ln|u+1|=x-ln|C|.
以u=x+y代入上式,得
y-ln|x+y+1|=-ln|C|,或x=Cey-y-1.

练习: P320 1 (2) 2 (3) 7 (1) (2)

作业：P320 1 (1) (7) 2 (2)

§7.5可降阶的高阶微分方程

一、y(n)=f (x)型的微分方程
解法:积分n次
,
,
×××.
例1求微分方程y¢¢¢=e2x-cos x的通解.
解对所给方程接连积分三次,得
,
,
,
这就是所给方程的通解.
或 ,
,
,
这就是所给方程的通解.

二、y¢¢=f(x,y¢)型的微分方程
解法:设y¢=p则方程化为p¢=f(x,p).
设p¢=f(x,p)的通解为p=j(x,C1),则 .
原方程的通解为.
例2求微分方程(1+x2)y¢¢=2xy¢满足初始条件y|x=0=1,y¢|x=0=3的特解.
解所给方程是y¢¢=f(x,y¢)型的.设y¢=p,代入方程并分离变量后,有
.
两边积分,得ln|p|=ln(1+x2)+C,
即 p=y¢=C1(1+x2) (C1=±eC).
由条件y¢|x=0=3,得C1=3,所以 y¢=3(1+x2).
两边再积分,得 y=x3+3x+C2.
又由条件y|x=0=1,得C2=1,
于是所求的特解为y=x3+3x+1.
例3设有一均匀、柔软的绳索,两端固定,绳索仅受重力的作用而下垂.试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线?
三、y¢¢=f(y,y¢)型的微分方程
解法: 设y¢=p,有.
原方程化为.
设方程的通解为y¢=p=j(y,C1),则原方程的通解为
.
例4求微分yy¢¢-y¢2=0的通解.
解设y¢=p,则,代入方程,得.
在y¹0、p¹0时,约去p并分离变量,得.
两边积分得 ln|p|=ln|y|+lnc,
即 p=Cy或y¢=Cy(C=±c).
再分离变量并两边积分,便得原方程的通解为
ln|y|=Cx+lnc1,或y=C1eCx(C1=±c1).
例5求微分yy¢¢-y¢2=0的通解.
解设y¢=p,则原方程化为,
当y¹0、p¹0时, 有,
于是 ,即 y¢-C1y=0,
从而原方程的通解为.

例6 一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由静止开始落向地面.求它落
到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力）.

练习：1（2）（5） 2（2）
作业： 1（4）（5）

§7.6高阶线性微分方程

一、线性微分方程
二阶线性微分方程:二阶线性微分方程的一般形式为
y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x),
若方程右端f(x)º0时,方程称为齐次的,否则称为非齐次的.
二、线性微分方程的解的结构
先讨论二阶齐次线性方程
y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0, 即.
定理1如果函数y1(x)及y2(x)是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0.的两个解,那么
y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程的解,其中C1、C2是任意常数.
齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理.
证明 [C1y1+C2y2]¢=C1y1¢+C2y2¢,
[C1y1+C2y2]¢¢=C1y1¢¢+C2y2¢¢.
因为y1及y2是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0,所以有
y1¢¢+P(x)y1¢+Q(x)y1=0及y2¢¢+P(x)y2¢+Q(x)y2=0,
从而 [C1y1+C2y2]¢¢+P(x)[ C1y1+C2y2]¢+Q(x)[ C1y1+C2y2]
=C1[y1¢¢+P(x)y1¢+Q(x)y1]+C2[y2¢¢+P(x)y2¢+Q(x)y2]=0+0=0.
这就证明了y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0的解
函数的线性相关及线性无关:
设y1(x),y2(x),×××,yn(x)为定义在区间I上的n个函数.如果存在n个不全为零的常数k1,k2,×××,kn,使得当xÎI时有恒等式
k1y1(x)+k2y2(x)+×××+knyn(x)º0
成立,那么称这n个函数在区间I上线性相关;否则称为线性无关.
判别两个函数线性相关性的方法:
对于两个函数,它们线性相关及否,只要看它们的比是否为常数,如果比为常数,那么它们就线性相关,否则就线性无关.
例如, 1, cos2x, sin2x在整个数轴上是线性相关的.函数1,x,x2在任何区间(a, b)内是线性无关的.
定理2如果如果函数y1(x)及y2(x)是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0 的两个线性无关的解,那么y=C1y1(x)+C2y2(x)(C1、C2是任意常数)是方程的通解.
例1验证y1=cos x及y2=sin x是方程y¢¢+y=0的线性无关解,并写出其通解.
解因为y1¢¢+y1=-cos x+cos x=0,
y2¢¢+y2=-sin x+sin x=0,
所以y1=cos x及y2=sin x都是方程的解.
因为对于任意两个常数k1、k2,要使
k1cos x+k2sin xº0,
只有k1=k2=0,所以cos x及sin x在(-¥, +¥)内是线性无关的.
因此y1=cos x及y2=sin x是方程y¢¢+y=0的线性无关解.
方程的通解为y=C1cos x+C2sin x.
例2验证y1=x及y2=ex是方程(x-1)y¢¢-xy¢+y=0的线性无关解,并写出其通解.
解 因为
(x-1)y1¢¢-xy1¢+y1=0-x+x=0,
(x-1)y2¢¢-xy2¢+y2=(x-1)ex-xex+ex=0,
所以y1=x及y2=ex都是方程的解,
因为比值ex/x不恒为常数,所以y1=x及y2=ex在(-¥, +¥)内是线性无关的.
因此y1=x及y2=ex是方程(x-1)y¢¢-xy¢+y=0的线性无关解.
方程的通解为y=C1x+C2ex.
推论如果y1(x),y2(x),×××,yn(x)是方程y(n)+a1(x)y(n-1)+×××+an-1(x)y¢+ an(x)y=0
的n个线性无关的解,那么, 此方程的通解为y=C1y1(x)+C2y2(x)+×××+ Cnyn(x),
其中C1,C2,×××,Cn为任意常数.
二阶非齐次线性方程解的结构:
我们把方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0叫做及非齐次方程
y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x)对应的齐次方程.
定理3 设y*(x)是二阶非齐次线性方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x)的一个特解,Y(x)是对应的齐次方程的通解,那么y=Y(x)+y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解.
证明提示: [Y(x)+y*(x)]¢¢+P(x)[ Y(x)+y*(x)]¢+Q(x)[ Y(x)+y*(x)]
=[Y ¢¢+P(x)Y ¢+Q(x)Y ]+[ y* ¢¢+P(x)y* ¢+Q(x)y*]
=0+f(x)= f(x).
例如,Y=C1cos x+C2sin x是齐次方程y¢¢+y=0的通解,y*=x2-2是y¢¢+y=x2 的一个特解,因此y=C1cos x+C2sin x+x2-2是方程y¢¢+y=x2的通解.
定理4 设非齐次线性微分方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x)的右端f(x)几个函数之和, 如
y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f1(x)+f2(x),
而y1*(x)及y2*(x)分别是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f1(x)及y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f2(x)
的特解,那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解.

证明提示:[y1+y2*]¢¢+P(x)[ y1*+y2*]¢+Q(x)[ y1*+y2*]
=[ y1*¢¢+P(x) y1*¢+Q(x) y1*]+[ y2*¢¢+P(x) y2*¢+Q(x) y2*]
=f1(x)+f2(x).

练习： P337 1

§7.7 二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程:
方程y¢¢+py¢+qy=0
称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中p、q均为常数.
如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.
我们看看, 能否适当选取r,使y=erx满足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=erx代入方程y¢¢+py¢+qy=0
得 (r2+pr+q)erx=0.
由此可见,只要r满足代数方程r2+pr+q=0,函数y=erx就是微分方程的解.
特征方程:方程r2+pr+q=0叫做微分方程y¢¢+py¢+qy=0的特征方程.特征方程的两个根r1、r2可用公式
求出.
特征方程的根及通解的关系:
(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时,函数、是方程的两个线性无关的解.
这是因为,函数、是方程的解,又不是常数.
因此方程的通解为.
(2)特征方程有两个相等的实根r1=r2时,函数、是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.
这是因为,是方程的解,又

,
所以也是方程的解,且不是常数.
因此方程的通解为.
(3)特征方程有一对共轭复根r1, 2=a±ib时,函数y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.函数y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.
函数y1=e(a+ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解, 而由欧拉公式, 得
y1=e(a+ib)x=eax(cosbx+isinbx),
y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx),
y1+y2=2eaxcosbx,,
y1-y2=2ieaxsinbx,.
故eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程解.
可以验证,y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的线性无关解.
因此方程的通解为y=eax(C1cosbx+C2sinbx ).
求二阶常系数齐次线性微分方程y¢¢+py¢+qy=0的通解的步骤为:
第一步 写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0
第二步 求出特征方程的两个根r1、r2.
第三步 根据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解.
例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=0的通解.
解所给微分方程的特征方程为
r2-2r-3=0,即(r+1)(r-3)=0.
其根r1=-1,r2=3是两个不相等的实根,因此所求通解为
y=C1e-x+C2e3x.
例2 求方程y¢¢+2y¢+y=0满足初始条件y|x=0=4、y¢|x=0=-2的特解.
解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.
其根r1=r2=-1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为
y=(C1+C2x)e-x.
将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e-x.
将上式对x求导,得y¢=(C2-4-C2x)e-x.
再把条件y¢|x=0=-2代入上式,得C2=2.于是所求特解为
x=(4+2x)e-x.
例 3 求微分方程y¢¢-2y¢+5y= 0的通解.
解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0.
特征方程的根为r1=1+2i,r2=1-2i, 是一对共轭复根,
因此所求通解为
y=ex(C1cos2x+C2sin2x).
n阶常系数齐次线性微分方程:
方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) +×××+pn-1y¢+pny=0,
称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,×××,pn-1,pn都是常数.
二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.
n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:
L(r)=rn+p1rn-1+p2 rn-2 +×××+pn-1r+pn=0
称为微分方程L(D)y=0的特征方程.
特征方程的根及通解中项的对应:
单实根r对应于一项:Cerx;
一对单复根r1,2=a±ib 对应于两项:eax(C1cosbx+C2sinbx);
k重实根r对应于k项:erx(C1+C2x+×××+Ckxk-1);
一对k重复根r1,2=a±ib对应于2k项:
eax[(C1+C2x+×××+Ckxk-1)cosbx+(D1+D2x+×××+Dkxk-1)sinbx].
例4 求方程y(4)-2y¢¢¢+5y¢¢=0 的通解.
解 这里的特征方程为r4-2r3+5r2=0,即r2(r2-2r+5)=0,
它的根是r1=r2=0和r3,4=1±2i.
因此所给微分方程的通解为y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x).
例5 求方程y(4)+b4y=0的通解,其中b>0.
解 这里的特征方程为r4+b 4=0.
它的根为,.
因此所给微分方程的通解为
.

练习： P346 1（2）（5）（3）（7）（9）

作业： P346 1（1）（4） 2（1）（2）（6）

§7.8 二阶常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程:
方程 y¢¢+py¢+qy=f(x)
称为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中p、q是常数.
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y=Y(x)及非齐次方程本身的一个特解y=y*(x)之和: y=Y(x)+ y*(x).
当f(x)为两种特殊形式时,方程的特解的求法:
一、f(x)=Pm(x)elx型
当f(x)=Pm(x)elx时,可以猜想,方程的特解也应具有这种形式.因此,设特解形式为y*=Q(x)elx,将其代入方程,得等式
Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).
(1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0 的根,则l2+pl+q¹0.要使上式成立,Q(x)应设为m次多项式:
Qm(x)=b0xm+b1xm-1+×××+bm-1x+bm,
通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,×××,bm,并得所求特解
y*=Qm(x)elx.
(2)如果l是特征方程r2+pr+q=0 的单根,则l2+pl+q=0,但2l+p¹0,要使等式
Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).
成立,Q(x)应设为m+1 次多项式: Q(x)=xQm(x),
Qm(x)=b0xm+b1xm-1+×××+bm-1x+bm,
通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,×××,bm,并得所求特解
y*=xQm(x)elx.
(3)如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根,则l2+pl+q=0,2l+p=0,要使等式
Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).
成立,Q(x)应设为m+2次多项式: Q(x)=x2Qm(x),
Qm(x)=b0xm+b1xm-1+×××+bm-1x+bm,
通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,×××,bm,并得所求特解
y*=x2Qm(x)elx.
综上所述,我们有如下结论:如果f(x)=Pm(x)elx,则二阶常系数非齐次线性微分方程y¢¢+py¢+qy=f(x)有形如
y*=xkQm(x)elx
的特解,其中Qm(x)是及Pm(x)同次的多项式,而k按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.
例1求微分方程y¢¢-2y¢-3y=3x+1的一个特解.
解这是二阶常系数非齐次线性微分方程,且函数f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=3x+1,l=0).
及所给方程对应的齐次方程为 y¢¢-2y¢-3y=0,
它的特征方程为 r2-2r-3=0.
由于这里l=0不是特征方程的根,所以应设特解为
y*=b0x+b1.
把它代入所给方程,得-3b0x-2b0-3b1=3x+1,
比较两端x同次幂的系数,得
,-3b0=3,-2b0-3b1=1.
由此求得b0=-1,.于是求得所给方程的一个特解为
.
例2求微分方程y¢¢-5y¢+6y=xe2x的通解.
解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=x,l=2).
及所给方程对应的齐次方程为 y¢¢-5y¢+6y=0,
它的特征方程为 r2-5r+6=0.
特征方程有两个实根r1=2,r2=3.于是所给方程对应的齐次方程的通解为
Y=C1e2x+C2e3x.
由于l=2是特征方程的单根,所以应设方程的特解为
y*=x(b0x+b1)e2x.
把它代入所给方程,得-2b0x+2b0-b1=x.
比较两端x同次幂的系数,得
,-2b0=1,2b0-b1=0.
由此求得,b1=-1.于是求得所给方程的一个特解为
.
从而所给方程的通解为
.
二、型
方程y¢¢+py¢+qy=elx[Pl (x)coswx+Pn(x)sinwx]的特解形式：
如果f(x)=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx],则二阶常系数非齐次线性微分方程
y¢¢+py¢+qy=f(x)的特解可设为
y*=xkelx[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx],
其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式,m=max{l,n},而k按l+iw (或l-iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.
例3求微分方程y¢¢+y=xcos2x的一个特解.
解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,
且f(x)属于elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型(其中l=0,w=2,Pl(x)=x,Pn(x)=0）.
及所给方程对应的齐次方程为y¢¢+y=0,
它的特征方程为r2+1=0.
由于这里l+iw=2i不是特征方程的根,所以应设特解为
y*=(ax+b)cos2x+(cx+d )sin2x.
把它代入所给方程,得
(-3ax-3b+4c)cos2x-(3cx+3d+4a)sin2x=xcos2x.
比较两端同类项的系数,得,b=0,c=0,.
于是求得一个特解为.
提示:
y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x.
y*¢=acos2x-2(ax+b)sin2x+csin2x+2(cx+d)cos2x,
=(2cx+a+2d)cos2x+(-2ax-2b+c)sin2x,
y*¢¢=2ccos2x-2(2cx+a+2d)sin2x-2asin2x+2(-2ax-2b+c)cos2x
=(-4ax-4b+4c)cos2x+(-4cx-4a-4d)sin2x.
y*¢¢+ y*=(-3ax-3b+4c)cos2x+(-3cx-4a-3d)sin2x.

由, 得,b=0,c=0,.

练习： P354 1 (7) (9) (10) 2 (1) 6

作业： P354 1 (1) (3) (5)

习题课

一、基本概念
1、微分方程的阶
2、微分方程的解（通解、特解）
3、初始条件
4、初值问题
二、常见的微分方程的类型
1、可分离变量的微分方程
2、齐次方程
3、一阶线性微分方程
4、可降阶的高阶微分方程
5、二阶常系数齐次线性微分方程
6、二阶常系数非齐次线性微分方程
三、例题
例1 已知某曲线经过点（1,1），它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程。
例2 设可导函数满足
求

例3 设光滑曲线过原点，且当时对应于一段曲线的弧长为，求

31 / 3131 / 31