全等三角形难题集.doc

倍长中线（线段）造全等
1、已知：如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且 AE=EF，求证：AC=BF

分析：要求证的两条线段AC、BF不在两个全等的三角形中，因此证AC=BF困难，考虑能否通过辅助线把AC、BF转化到同一个三角形中，由AD是中线，常采用中线倍长法，故延长AD到G，使DG=AD，连BG，再通过全等三角形和等线段代换即可证出。

2、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF

提示：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA
三角形BEG是等腰三角形

3、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

4、在△ABC中,AC=5,中线AD=7，则AB边的取值范围是( )
A、1<AB<29 B、4<AB<24
C、5<AB<19 D、9<AB<19

5、已知：AD、AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA=BD， 求证：AE=AC

6、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

7、已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE

提示：倍长AE至F，连结DF
证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）
进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS）

8、如图23，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，
DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.
⑴求证：BG=CF
⑵请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由。

9、如图，AD为的中线，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F. 求证：

方法1：在DA上截取DG=BD，连结EG、FG
证明ΔBDE≌ΔGDE ΔDCF≌ΔDGF
所以BE=EG、CF=FG
利用三角形两边之和大于第三边
方法2：倍长ED至H，连结CH、FH
证明FH=EF、CH=BE
利用三角形两边之和大于第三边

10、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

11、已知：如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.
求证：AE平分

方法1：倍长AE至G，连结DG
方法2：倍长FE至H，连结CH
图4-2
图4-3

截长补短
7.9作业：已知，四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，
∠3＝∠4。求证：BC＝AB＋CD。

1、如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.
求证：CD=AD+BC.

证明：在CD上截取CF=BC
在△FCE与△BCE中，

∴△FCE≌△BCE（SAS）,
∴∠2=∠1.
又∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4.
在△FDE与△ADE中，

∴△FDE≌△ADE（ASA），
∴DF=DA，
∵CD=DF+CF，
∴CD=AD+BC.

2、已知：如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.

证明：方法一（补短法）
延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，
∴∠ACB＝2∠E，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠B＝∠E，
在△ABD与△AED中,

∴△ABD≌△AED（AAS）,
∴AB=AE.
又AE=AC+CE=AC+DC，
∴AB=AC+DC.

方法二（截长法）
AB上截取AF=AC，
在△AFD与△ACD中,

∴△AFD≌△ACD（SAS）,
∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.
又∵∠ACB＝2∠B，
∴∠FDB＝∠B，
∴FD=FB.
∵AB=AF+FB=AC+FD，
∴AB=AC+CD.

3、如图，在△ABC中，∠BAC=60°， AD是∠BAC的平分线，且AC=AB+BD，求∠ABC 的度数

4、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

5、已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．

6、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

7、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

8、如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?

角平分线上的点向角两边引垂线段

1、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，
求证：∠BAD+∠C=180°

2、如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，
CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，则∠B与∠ADC互补.
为什么？
D
B
E
A
C

3、如图4，在△ABC中，BD=CD，∠ABD=∠ACD,求证AD平分∠BAC.
A
B
C
D

4、如图，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB，D是AC上一点，若∠CBD=20°，求∠ADE的度数.

7.5作业：已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CD＝BC。
求证：∠ADC＋∠B＝180°。

7.6作业：如图，在△ABC中∠ABC,∠ACB的外角平分线交P.求证:AP是∠BAC的角平分线

7.6作业：如图,∠B=∠C=90°,AM平分∠DAB,DM平分∠ADC求证:点M为BC的中点

连接法（构造全等三角形）
7.9作业：已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF。
D
B
Cc
A
F
E

1、如图，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．　　　　　　　　　　　　　　　　　

2、已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．

3、如图 11-30，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，点F是CD的中点.求证：AF⊥CD.

4、在正内取一点，使，在外取一点，使，且，求.

5、如图所示，BD=DC,DE⊥BC,交∠BAC的平分线于E，EM⊥AB,EN⊥AC,求证：BM=CN
A
C
N
E
M
B
D

6、如图，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABD≌△ACD．

全等+角平分线性质
1、如图21，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC

2、已知：如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，判断PM与PN的关系．

全等+等腰性质
1、如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O.
求证：(1) △ABC≌△AED； (2) OB＝OE .

2、.已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C．
求证：OA＝OD．

两次全等
7.4作业：AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF

1、如图，D、E、F、B在一条直线上AB=CD, ∠B=∠D，BF=DE.
求证：（1）AE=CF;
（2）AE∥CF
（3）∠AFE=∠CEF
A
D
F
E
C
B

2、如图：A、E、F、B四点在一条直线上，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD。
求证：△ACF≌△BDE

3、如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．

4、已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF
求证：AC与BD互相平分
A
B
E
O
F
D
C

由BF＝DF，得BE＝DF
∴△ABE≌△CDF，∴∠B＝∠D
再证△AOB≌△COD，得OA＝OC，OB＝OD
即AC、BD互相平分
5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC.求证：BG=FG
A
F
C
B
D
E
G

直角三角形全等（余角性质）
作业：如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．
求证：BD＝CG．

1、如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．

解：全等三角形为：△ACD≌△CBE．
证明如下：
由题意知∠CAD+∠ACD=90°，
∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE．
在△ACD与△CBE中，
∠ADC=∠CEB=90° ∠CAD=∠BCE AC=BC ，
∴△ACD≌△CBE（AAS）．

A
B
C
F
D
E
2、如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F
求证：EF＝CF－AE

证△ABE≌△BCF，得BE＝CF，AE＝BF，
∴EF＝BE－BF＝CF－AE
3、在△ABC中，，，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，
求证： ①≌；②；
(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

4、如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。
求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

作平行线
1、已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证：EG=GF．

2、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E．
求证：CD=BE
1
5
4
3
2
E
F
B
D
C
A

证明：过点D作DF∥AB交BC于点F．
∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2．
∵DF∥AB，∴∠1=∠3，∠4=∠ABC．
∴∠2=∠3，∴DF=BF．
∵DE⊥BD，∴∠2+∠DEF=90º，∠3+∠5=90º．
∴∠DEF=∠5．∴DF=EF．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．
∴∠4=∠C，CD=DF．
∴CD=EF=BF，即CD=BE．

延长角平分线的垂线段
1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．
求证：∠ACE=∠B+∠ECD．

分析：注意到AD平分∠BAC，CE⊥AD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形．
证明：延长CE交AB于点F．
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE=∠CAE．
∵CE⊥AD，
∴∠FEA=∠CEA=90º．
在△FEA和△CEA中，
∠FAE=∠CAE，
AE=AE，
∠FEA=∠CEA．
∴△FEA≌△CEA．
∴∠ACE=∠AFE．
∵∠AFE=∠B+∠ECD，
∴∠ACE=∠B+∠ECD．

2、如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
求证：BD=2CE．

3、如图：∠BAC=90°，CE⊥BE，AB=AC ，BD是∠ABC的平分线，求证：BD=2EC

4、已知，如图34，△ABC中，∠ABC=90º，
AB=BC，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．
求证：CD=AE．

面积法
例1 如图1，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC.

分析：根据已知可知AD是∠BAC的平分线，可通过点D作∠BAC的垂线，根据角平分线的性质，结合三角形的面积进行证明.
证明：
过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.
因为DA为∠BAC的平分线，所以DE=DF.
又因为AD平分BC，所以BD=CD，
所以S△ABD=S△ACD，
又S△ABD=AB·DE，S△ACD=AC·DF，
所以AB·DE=AC·DF，
所以AB=AC.
2、如图所示,已知D是等腰△ABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,CM⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系, 并给予证明.

3、己知，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足为D，P是BC上任一点，PE⊥AB，PF⊥AC垂足分别为E、F，
求证：① PE+PF=CD.
② PE – P F=CD.
F
E
D
C
A
B
G
P

F
E
D
C
A
B
G
P

旋转型
1、如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合）， 以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。
求证：① △BCG≌△DCE
② BH⊥DE
F
E
D
C
A
B
G
H

2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：DC⊥BE．
图1
图2
D
C
E
A
B

3、（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；
C
B
O
D
图7
A
E

（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.
B
A
O
D
C
E
图8

4、如图，AE⊥AB，AD⊥AC，AB=AE，∠B=∠E，
求证：（1）BD=CE；（2）BD⊥CE．

．证明：（1）AE⊥AB，AD⊥AC ∠BAE=∠CAD
∠BAD=∠CAE．而AB=AE，∠B=∠E，
∴△ABD≌△AEC．∴BD=CE．
（2）由△ABD≌△AEC知∠B=∠E．
而∠AGB=∠EGF，∴∠EFG=∠EAB=90°，∴BD⊥CE．

5、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。
求证： （1）EC=BF；（2）EC⊥BF
A
E
B
M
C
F

6、 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

7、D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
①当绕点D转动时，求证DE=DF。
②若AB=2，求四边形DECF的面积。

8、如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求的周长。

9、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE

10、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积

11