广东省2025年深圳市高三第一次模拟-数学试题（含答案）.docx

2
025 年深圳市高三年级第一次调研考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
题号
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
B
C
B
C
B
D
命题说明：
1
2
3
．说明：本题改编自人教 A 版必修第一册 10 页例 1．
．说明：本题改编自人教 A 版必修第二册 71 页例 2．
．说明：本题改编自人教 A 版必修第二册 60 页第 8 题．
4
5
．说明：本题改编自人教 A 版必须第一册 229 页第 9 题．
．说明：本题改编自 2024 年新高考全国Ⅱ卷第 6 题．
6
7
8
．说明：本题改编自人教 A 版选择性必修第一册 129 页第 13 题．
．说明：本题改编自 2024 年新高考全国Ⅰ卷第 13 题．
．说明：本题改编自人教 A 版必修第二册 119 页例 4．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
题号
答案
9
10
11
ABD
AC
AD
命题说明：
9
． 说明：本题改编自人教 A 版选择性必修第三册 112 页思考．
0．说明：本题改编自人教 A 版必修第一册 250 页阅读与思考．
1．说明：本题改编自人教 A 版选择性必修第一册 116 页第 11 题．
1
1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2．240 13．6
命题说明：
1
14．14
1
1
1
2．说明：本题改编自人教 A 版选择性必修第三册 35 页第 6 题．
3．说明：本题改编自人教 A 版选择性必修第二册 31 页第 3 题．
4．说明：本题改编自《趣味数学 100 题》．
数学试题参考答案及评分标准
第 1页 共 12页

四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
在△ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ， c2 a2 +b2 - ab， cos 2B sinC ．
=
=
（1）求 B ；
（2）若 b =1，求 △ABC 的面积．
【命题说明】本题改编自 2024 年新高考全国Ⅰ卷第 15 题.
【参考答案】
a2 + b2 - c2
（
1）由余弦定理推论 cosC =
及 c2 = a2 + b2 - ab 得 ……………………………1 分
2
ab
1
cosC = ，…………………………………………………………………………………………2 分
2
由于CÎ(0,π) ，……………………………………………………………………………………3 分
π
则C = ， …………………………………………………………………………………………4 分
3
3
2π
，且 B Î(0, ) ， ……………………………………………………5 分
又因为 cos 2B = sinC =
2
3
π
π
所以 2B = ，则 B = ． …………………………………………………………………………6 分
12
6
7
1
π
2
（2）解法 1 由（1）可知 A =
，………………………………………………………………7 分
π
π
4
π
6
6 - 2
且sin B = sin = sin(
-
) =
， ………………………………………………………8 分
12
4
7
1
π
π
4
π
6 + 2
sin A = sin
= sin(
+
) =
，…………………………………………………………9 分
2
3
4
a
b
c
=
=
由正弦定理：
， ……………………………………………………………10 分
sin A sin B sin C
bsin A sin A
得 a =
=
= 2 + 3 ， …………………………………………………………………11 分
sin B
sin B
1
1
3
3+ 2 3
所以 S = absinC = ´(2 + 3 )´
=
． ……………………………………………13 分
2
2
2
4
π
解法 2 由（1） A = + B ， ………………………………………………………………………7 分
2
所以 sin B = - cos A ， ………………………………………………………………………………8 分
a
b
c
由正弦定理：
=
=
，………………………………………………………………9 分
sin A sin B sin C
bsin A sin A
π
4
π
3
得 a =
=
= - tan A = - tan(
+
) = 2 + 3 ，………………………………………11 分
sin B
sin B
1
1
3
3 + 2 3
S = absinC = ´ (2 + 3 )´
=
． …………………………………………………13 分
2
2
2
4
解法 3 如图，过点 A 作 AD ^ AC 交 BC 于 D ，…………………………………………………7 分
7
1
π
2
π
由于 A =
，则 ÐDAB = ÐB =
， ……………………………………………………………8 分
12
数学试题参考答案及评分标准
第 2页 共 12页

所以 AD = DB = 3 ，CD = 2 ， …………………………………………………………………10 分
a = 2 + 3 ， ………………………………………………………………………………………11 分
1
1
3
3+ 2 3
所以 S = absinC = ´( 2+ 3 )´
=
． ……………………………………………13 分
2
2
2
4
A
C
B
D
1
6．（15 分）
如图，在直三棱柱 ABC - A B C 中，AB = AC = 2 3 ，ÐBAC =120°，D 为 AA 的中点，E 为 BC
1
1
1
1
1
的中点．
（
1）证明： DE ^ 平面 B BCC ；
1
1
（
2）若 BB = 6 ，求直线 A B 与平面 DBC 所成角的正弦值．
1
1
1
A
1
C
1
B
1
D
E
A
C
B
【命题说明】本题改编自 2023 年新高考全国Ⅰ卷第 18 题.
【参考答案】
（1）取 BC 中点 M ，连接 AM ， ME ，…………………………………………………………1 分
因为 AB = AC ，所以 AM ^ BC ，…………………………………………………………………2 分
由于点 E 为正方形 B BCC 对角线的交点， E 为 BC 的中点，所以 EM 为VBCC 的中位线，
1
1
1
1
所以 EM //CC1 //AD ， ……………………………………………………………………………………3 分
1
1
又 EM = CC1 = AA1 = AD ，所以四边形 AMED 为平行四边形，………………………………4 分
2
2
又因为 AA ^ 平面 ABC ， AM Ì 平面 ABC ，则 AA ^ AM ，EM ^ AM ， …………………5 分
1
1
EM,BC Ì
由于
平面
B BCC
1
，EM I BC M ，所以 AM 平面 B BCC ， …………………6 分
=
^
1
1
1
又因为 DE//AM ，所以 DE ^ 平面 B BCC ． ……………………………………………………7 分
1
1
数学试题参考答案及评分标准
第 3页 共 12页

（2）解法 1 由（1）可知： MA ， MC ， ME 两两垂直，如图，以 M 为坐标原点，以 MC 所在
x
y
直线为 轴， MA 所在直线为 轴， ME 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系， ……………8 分
在V A B C 中，由余弦定理可得： B C = A1B12 + A1C12 - 2 A B × A C × cos ÐB A C ，
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
则 B C = 6 ， ……………………………………………………………………………………………9 分
1
1
于是 D( 0, 3,3)， B( - 3,0,0 ) ， B ( - 3, 0, 6) ， C (3, 0, 6 ) ， A ( 0, 3, 6) ，
1
1
1
uuur
则 BA = ( 3, 3,6 ) ，……………………………………………………………………………………11 分
1
r
uuur
uuur
设 n = (x, y,z) ^平面 DBC ， BD = (3, 3, 3) ， BC = (6, 0, 6) ， ………………………………12 分
1
1
r uuur
n × BD = 0
ì
ìï
3x
ïî6x + 6z = 0
ï
+
3y + 3z
=
0
于是 ír uuur
，即 í
，………………………………………………………13 分
ï
1
r
令 z =1，则 n = (-1, 0,1) ，…………………………………………………………………………14 分
设直线 A B 与平面 DBC 所成角为q ，
1
1
uuur r
BA ×n
uuur r
3
6
1
那么sinq
=
cos BA ,n
<
> =
=
=
，
uuur r
1
×
×
n
4 3
2
8
BA
1
6
即直线 A B 与平面 DBC 所成角的正弦值为
.……………………………………………………15 分
1
1
8
数学试题参考答案及评分标准
第 4页 共 12页

解法 2 在VA B C 中，由余弦定理可得： BC
2
1
= A1B + A1C12 - 2A B × AC ×cosÐB AC ，
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
则 B C = 6 ， ……………………………………………………………………………………………8 分
1
1
如图，连接 B E ，由（1）， DE ^ 平面 B BCC ， BC Ì 平面 B BCC ，则 DE ^ BC ，………9 分
1
1
1
1
1
1
1
又因为 BB = B C ，四边形 B BCC 为正方形， E 为 BC 的中点， B E ^ BC ，……………10 分
1
1
1
1
1
1
1
1
由于 B E I DE = E ， B E ， DE Ì 平面 B DE ，则 BC ^ 平面 B DE ， ………………………11 分
1
1
1
1
1
如图，记 A B I B D = N ，过点 N 作 NH ^ DE ，连接 BH ，由于 BC ^ 平面 B DE ，NH Ì 平面 B DE ，
1
1
1
1
1
则 NH ^ BC ，又因为 DE I BC = E ， DE, BC Ì 平面 DBC ，则 NH ^ 平面 DBC ， …………12 分
1
1
1
1
1
所以 ÐNBH 即为直线 A B 与平面 DBC 所成角，由于VA DN : DBB N ，
1
1
1
1
B1N
BN
=
= 2
， ………………………………………………………………………………13 分
则
ND A1N
1
8
8 3
3
由于 DE ^ B1E ，则 H 为 DE 的三等分点，则 NH = B1E = 2 ， NB =
=
，
3
3
NH
NB
6
于是sin ÐNAH =
=
， ……………………………………………………………………14 分
8
6
即直线 A B 与平面 DBC 所成角的正弦值为
. ……………………………………………15 分
1
1
8
解法 3 设直线 A B 与平面 DBC 所成角为q ，点 A 到平面 DBC 的距离为 h ，
1
1
1
1
h
则sinq =
，…………………………………………………………………………………………8 分
|
A1B |
数学试题参考答案及评分标准
第 5页 共 12页

在 Rt△A B B 中， A B = 2 3 ， BB = 6 ，则 A B = 4 3 ，………………………………………9 分
1
1
1
1
1
1
过 B 作 BQ ^ CA 交CA 的延长线于Q ，易得 BQ = 3 ，…………………………………………10 分
且易证 BQ ^ 平面 A ACC ，………………………………………………………………………11 分
1
1
1
2
1
3
由于 S△A1DC1
=
´ 3´ 2 3 = 3 3 ，则VB-A1DC1
=
´3 3´3 = 3 3 ，……………………………13 分
1
在△DBC 中， DB = DC = 21 ，且 BC = 6 2 ， S
=
´ 6 2 ´ 3 = 3 6 ，…………14 分
1
1
1
△DBC1
2
3
3
3 3
1
6
又VA1 -BDC1 =VB-A1DC1 = 3 3 ，则 h =
， sinq =
´
=
.…………………………15 分
6
6
4 3
8
1
7．（15 分）
甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为 p( 0 < p <1) ，输的概率为1- p ，
每局比赛的结果是独立的．
2
3
p
=
（1）当
时，求甲最终获胜的概率；
（2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案. 方案一：最终获胜者得3分，失败者得 -2
分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得 0 分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望
更大．
【命题说明】本题改编自 2024 年新高考全国Ⅱ卷第 18 题.
【参考答案】
（1）记“甲最终以 2 :1 获胜”为事件 A ，记“甲最终以 2 : 0 获胜”为事件 B ，
“甲最终获胜”为事件 C ， ……………………………………………………………………………1 分
于是C = A U B ， A 与 B 为互斥事件，……………………………………………………………2 分
8
由于 P( A ) = C2
1
× p × p × (1 - p) =
，………………………………………………………………3 分
2
7
4
P( B ) = p2 = ，……………………………………………………………………………………4 分
9
2
2
0
7
则 P( C ) = P( A ) + P( B ) = 3p2 - 2 p3 =
， ……………………………………………………5 分
数学试题参考答案及评分标准
第 6页 共 12页

2
0
即甲最终获胜的概率为 . ………………………………………………………………………6 分
2
7
2）由（1）可知，P( C ) = P( A) + P( B ) =3p
2
-2p3 ，………………………………………7 分
（
若选用方案一，记甲最终获得积分为 X 分，则 X 可取3，-2 ， ………………………………8 分
P( X =3) = P(C ) =3p2 -2p3 ， P( X = -2) =1-3p2 +2p3 ， …………………………………9 分
则 X 的分布列为：
X
p
3
-2
3
p2
-2p3
1-3p2 +2p3
则
E( X ) =9p2 -6p3 -2+6p2 -4p3 = -10p3 +15p2 -2， ……………………………………10 分
若选用方案二，记甲最终获得积分为Y分，则Y 可取1，0 ，…………………………………11 分
P(Y =1) = P( C ) =3p2 -2p3 P(Y = 0) =1-3p2 +2p3 ，………………………………………12 分
则Y的分布列为：
Y
p
1
0
3p2 -2p3
1-3p2 +2p3
则
E(Y ) =3p2 -2p3 ， ……………………………………………………………………………13 分
1
- 2 = -4( p - )( 2 p
- 2 p - 1 )，
所以 E( X ) - E( Y ) = -8 p3 + 12 p
2
2
2
0
< p <1，则 2p2 - 2p -1= 2p( p -1) -1< 0
由于
，……………………………………………14 分
【14 分段：设 f ( p) = -8 p3 + 12 p
2
- 2 ，
0
< p <1，利用 f '( p)
= -24 p
2
+
24 p = -24 p( p 1) 0 ，
-
>
1
f ( p) 在 (0,1)
上单调递增，且
f ( ) = 0
.】
则
2
1
于是 p = 时，两种方案都可以选，
2
1
当 0 < p < 时，
E( X ) < E( Y )
，应该选第二种方案，
2
1
2
< p < 1 时，
E( X ) > E(Y )
，应该选第一种方案.…………………………………………15 分
当
1
8．（17 分）
已知抛物线 y2 = 2x ，过点
N(2,0)
作两条直线l ,l 分别交抛物线于 A,B 和C, D（其中 A,C 在 x 轴
2
1
上方）．
（
1）当 l 垂直于 x 轴，且四边形 ACBD 的面积为 4 5 ，求直线 l 的方程；
1
2
（
2）当l ,l 倾斜角互补时，直线 AC 与直线 BD 交于点 M ，求△MAB 的内切圆的圆心横坐标的
1
2
数学试题参考答案及评分标准
第 7页 共 12页

取值范围．
【
命题说明】本题改编自 2014 年全国大纲卷第 21 题.
参考答案】
【
解：（1）解法 1 当l1 ^ x 轴，令 x = 2 ，则 A(2,2) ， B( 2,-2)，| AB |= 4， …………………1 分
1
设直线l : y = kx - 2k ，C( x , y ) ， D( x , y ) ，由于 S = ´ 4´ | x - x |= 4 5 ，
2
1
1
2
2
1
2
2
则| x - x |= 2 5 ， ………………………………………………………………………………………2 分
1
2
ì
2
ì
y = kx - 2k
ïx + x = 4 +
k
2
x
2
-( 4k2 + 2)x +4k2 = 0，则
í
1
2
2
k ， …………………… 分
3
由于 í
，则
y
2
= 2x
ï
î
x1x2
=
4
î
2
( x - x )2 = ( 4 +
)
2
- 16 = 20 ，…………………………………………………………………4 分
1
2
2
k
2
则 4 +
= 6 ，则 k = ±1 ， …………………………………………………………………………5 分
k
2
所以直线 l2 的方程为 x + y - 2 = 0或 x - y - 2 = 0 .………………………………………………6 分
解法 2 设l : x = ty + 2 ，倾斜角为a ，由对称性知l 有两条，且关于l 对称， ………………1 分
2
2
1
π
π
不妨设 0 < a < ，那么 ÐANC = - a ，t > 0 ，
2
2
1
2
´ 4´ | CD | ´cosa = 4 5 ，则| CD | cosa =
2 5 ，………………………………………………2 分
则 S =
ì
2
= 2x
ìy + y = 2t
y
Þ y2 - 2ty - 4 = 0，则
í
1
2
， ……………………………………………3 分
由于 í
x = ty + 2
y × y = -4
î
î
1
2
1
t
+ 16 ，cosa =
=
则 CD = 1 + t
2
× y1 - y2
=
1 + t
2
×
4t
2
， ……………………4 分
1
1+
t
2
1
+
t
2
- 1 ) ( t + 5 )= 0 ， …………………………………………5 分
|
CD | cosa = 2t t
2
+ 4 = 2 5 ， ( t
2
2
则t = 1 ， x = y + 2 由对称性，另一条直线： x = -y + 2，
所以直线 l2 的方程为 x + y - 2 = 0或 x - y - 2 = 0 .………………………………………………6 分
（
2）解法 1 设点 A(x , y ) ， B(x , y ) ，C(x , y ) ， D(x , y ) ，
1
1
2
2
3
3
4
4
y2 - y
1
2
2
2
2
因为 kAB
=
=
，同理：kCD
=
，kAC
=
，kBD
=
，…………7 分
x2 x1 y1 y2
-
+
y3 + y4
y1 + y3
y2 + y4
2
所以 AB : y - y1 =
( x - x ) ， AB : ( y + y )y - y y = 2x ， CD : ( y + y )y - y y = 2x ，
y2 + y1
1
1
2
1
2
3
4
3
4
AC : ( y + y )y - y y = 2x ，BD : ( y + y )y - y y = 2x ，……………………………………………8 分
1
3
1
3
2
4
2
4
又因为 kAB = -kCD ，直线 AB 和直线C D 交于点 N(2, 0) ，
ì
y y = y y = -4
2
2
1
2
3
4
所以
= -
，且 - y y = - y y = 4 ，即 í
，……………………9 分
y1 + y
2
y3 + y
4
1
2
3
4
îy + y = -( y + y )
1
2
3
4
4
4
y1 - = -y3 +
，且 y ¹ y ，化简得： y y = 4 ，于是 y = -y ， y = - y ，……………10 分
1
3
1
3
3
2
4
1
y1
y3
数学试题参考答案及评分标准
第 8页 共 12页

ì
4
( y1 +
)y = 2x + 4
ï
ìx = -2
ï
y1
则 í
，解得 í
，所以点 M( - 2,0 ) ， ………………………………11 分
y = 0
-( y1 + 4
)y = 2x
+
4
î
ï
ï
î
y
1
y4
-y1
由于 y = - y ，则 x = x ，所以 k
=
=
= -kMA ，则 x 轴平分 ÐAMB ，…………12 分
4
1
4
1
MD
x4 + 2 x1 + 2
2
n + 4
设VMAB的内切圆圆心 Q( n,0 ) ， -2 < n < 2 ，则 Q 到 MA 的距离 r =
，
4
4
+ ( y1 +
)2
y1
4
- 2n
4 + 2n
4 - 2n
点Q 到 AB 的距离 r =
， 于是
=
，………13 分
4
4
4
4
+ ( y1 -
)2
4 + ( y1 +
)2
4 + ( y1 -
)2
y1
y1
y1
4
16
4
4
+ ( y1 +
)
)
2
2
( y1
2
+
) +12
2
2
+
- n
n
y1
4
y
2
1
16
16
所以
=
=
= 1+
，………………………14 分
16
+ ( y1 -
( y1
2
+
) - 4
( y1
2
+
) - 4
y1
y
2
1
y
2
1
1
6
由于 y12 +
> 8 ，当且仅当 y1 = 4取等号（舍）， ……………………………………………15 分
2
y
2
1
2
2
+ n
- n
则1<
< 5 ，…………………………………………………………………………………16 分
则 0 < n < 3- 5 ，nÎ( 0,3- 5 ) . ………………………………………………………………17 分
【
14 :17 分段：
2
2
æ
ö
æ
ö
4
4
16
16
ç
4 + ( y1 +
)
2
- 4 + ( y1 -
)
2
÷
ç 12 + ( y2
+
) - -4 + ( y1
2
+
) ÷
ç
÷
ç
÷
y1
y1
1
y
2
y
2
，
è
ø
è
ø
n
=
=
1
1
8
8
1
6
z = y1
2
+
> 8
y = ±2
，当且仅当 取等号（舍），
令
y
2
1
1
( 12 + z - -4 + z )2
则 n =
，设 f z = 12 + z - -4 + z ， z >8，
( )
8
1
1
z - 4 - z +12
(
) =
-
=
<
f ' z
0 ，
2
12 + z 2 z - 4
2 12 + z z - 4
(
)
( 8,+¥
f z
)
单调递减， 0 < n < f (8) 3 5 ， n ( 0,3 5 ) .】
= -
Î
-
则
在
解法 2 点 M(-2, 0) 证明同解法 1；………………………………………………………………11 分
设VMAB的内切圆圆心 Q( n,0 ) ， -2 < n < 2 ，
设定点 N( 2,0 ) ，由于
MQ = 2+ n， NQ = 2-n，设半径为r ，……………………………12 分
r
+ n
1
设 ÐAMQ =a ， ÐANQ = b ，于是 sina =
，
=
2
1 +
t
2
AM
数学试题参考答案及评分标准
第 9页 共 12页

r
- n
1
sin( p - b ) = sin b =
=
，………………………………………………………………13 分
2
1+
t
2
AB
+
- n
n
1 t
+
2
y
2
2
+
( x1
+
2 )2
x
2
2
+
6x1
+
4
2
2
那么
=
MA
2
=
1
=
1
，………………………………………14 分
1+ t
y
+ ( x1 - 2 )2
x
- 2x1 + 4
AB
1
1
x
x
2
1
2
1
+ 6x1 + 4
8x1
8
4
设 f (x1 ) =
=
+1=
+1> 1,x1 > 0 ，……………………………15 分
-
2x1
+
4
x
2
1
-
2x1
+
4
x1 + - 2
x1
4
2 + n
由于 x1 + > 4 ，当且仅当 x1 = 2 取等号（舍），则1 <
x1
<
5 ，…………………………16 分
2
-
n
则 0 < n < 3- 5 ，则 nÎ( 0,3- 5 ) .……………………………………………………………17 分
【
13:14 分段： 在VAMN 中，由角平分线定理：
( x1 - 2 )2 + y1
2
2
2
+ 6x1 + 4
- 2x1 + 4
SVAMQ MQ
AM
AN
2 + n
2 - n
x
=
=
，
则
=
=
1
.】
SVANQ
NQ
-
2 )2
+
y
2
2
x
( x2
1
1
9．（17 分）
已知无穷数列{a }满足， a ， a 为正整数， a =| a - an+2 | ， nÎN*
.
n
1
2
n
n+1
（
（
（
1）若 a =1， a = 2，求 a ；
1
3
4
2）证明：“存在
k ÎN* ，使得 a = 0 ”是“{a }是周期为 3的数列”的必要不充分条件；
k
n
3）若 a ¹ a ，是否存在数列{a }，使得 a < 2025 恒成立？若存在，求出一组 a ,a 的值；若
1
2
n
n
1
2
不存在，请说明理由．
【命题说明】本题改编自 2006 年北京卷第 20 题
【参考答案】
解：（1）因为 an =| an+1 - an+2 |对任意
nÎN* 成立;
令 n =1得1= a =| a - a | ，所以1=| a - 2| ，则 a =1或3，……………………………………1 分
1
2
3
2
2
若 a =1，由 a =| a - a |，则1=| 2 - a |，则 a =1或3，………………………………………2 分
2
2
3
4
4
4
数学试题参考答案及评分标准
第 10页 共 12页

若 a = 3 ，由 a =| a - a |，则 3 =| 2 - a |，则 a = -1或5 ， …………………………………3 分
2
2
3
4
4
4
因为 a =| a - a |³ 0 ，综上所述： a =1或3或5 ． ……………………………………………4 分
4
5
6
4
（
2）①记 a = x,a = y
1
2
必要性：若{a }是周期为 3的周期数列， a = a + a 或 a - a ， ……………………………5 分
n
3
1
2
2
1
当 a = a + a 时，数列{a }前5 项为： x, y,x + y,x, y ，
3
1
2
n
由 a =| a - a |得 x + y =| x - y | ，该式当且仅当 x = 0 或 y = 0 时成立，
3
4
5
与 a ,a 为正整数矛盾；…………………………………………………………………………………6 分
1
2
当 a = a - a 时，数列{a }前5 项为： x, y, y - x, x, y ，
3
2
1
n
由 a =| a - a | 得 y =| y - 2x |，则 y = 2x - y 或 y = y - 2x (舍，此时 x = 0 )，
2
3
4
因此 x = y ， a = 0 ，此时数列{a }： x, x,0, x, x,0, x, x, 0,L，存在 k
Î
N* ，使得 ak = 0 ，………7 分
3
n
另一方面：取数列{an}：1,1, 0,1,1, 2, 3, 5,L其中当 n ³ 3时， an+2 = an+1 + an ，
此时数列{an}不是周期数列，…………………………………………………………………………8 分
k ÎN* ，使得 a = 0 ”是“ {a }是周期为 3 的周期数列”的必要不充分条
综上，“存在
k
n
件．………………………………………………………………………………………………………9 分
（3）不存在，理由如下：
ì
an+1 - an (*)
或
ï
an =| an+1 - an+2 |等价于 an+2 = í
，…………………………………………………10 分
ï
a
n+1
+
an (**)
î
k ÎN* ，使得 ak = 0 ，否则由 ak-2 =| ak-1 - ak |得 ak-2 = ak-1 记为 w ，
首先说明不存在
所以 ak-3 =| ak-2 - ak-1 |= 0 ， ak-4 =| ak-3 - ak-2 |= w ， ak-5 =| ak-4 - ak-3 |= w ，
依此类推得前 k 项为L,w,0,w,w,0,w,w, 0(第k项) ，则 a ,a 要么相等，要么有一项为 0 ，矛盾，
1
2
因此 an ³1对任意
nÎN* 成立，………………………………………………………………………11 分
k ÎN* ，使得 ak+2 = ak+1 - a k 以及 ak+3 = ak+2 - a k+1 同时成立，否则两式相加得
其次，不存在
ak+3 = -ak ，矛盾．……………………………………………………………………………………12 分
数学试题参考答案及评分标准 第 11页 共 12页

（
i）若 (*) 式只对有限个正整数 n 才成立，不妨设当且仅当 nÎ{p , p ,L, p }时 (*) 式成立，
1
2
k
其中 p < p <L< p ，则当 n ³ p +1时， (**) 式恒成立，此时 a = an+1 + an ³ an+1 +1恒成立，
1
2
k
k
n+2
由此易知当 n ³ p +1，a ³ n - p ，因此数列{a }是无界数列，…………………………………13 分
k
n
k
n
（
ii）若存在无限个正整数 n 使得 (*) 式成立，不妨设当且仅当 nÎ{i ,i ,L,i ,L} 时 (*) 式成立，
1
2
k
其中i < i <L< i <L，考虑 a 与 a ，为方便书写记且i = p ，i = p + j ， j ³ 2 ，则
1
2
k
im+1
i
m
m
m+1
ap = ap-1 - ap-2 ， ap+1 = ap + ap-1 ，
若 j = 2 ，则 ap+ j-1 = ap+1 = ap-1 + ap ³ ap-1 +1，
若 j > 2 ，则 ap+2 = ap+1 + ap ，L， ap+ j-1 = ap+ j-2 + ap+ j-3 ， ap+ j = ap+ j-1 - a