高考数学一轮复习第5章数列第2讲等差数列及其前n项和知能训练轻松闯关理北师大版.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第 2 讲 等差数列及其前 n 项和1若等差数列an 的前n项和为Sn，且S36，a14，则公差d等于()A1 B 1 C 2 D 3 解析：选C.由题意可得S33a13d123d6，解得d 2，故选 C.2 已知等差数列an，且 3(a3a5)2(a7a10a13)48，则数列 an 的前 13 项之和为()A24 B 39 C104 D 52 解析：选D.因为 an是等差数列，所以3(a3a5)2(a7a10a13)6a46a1048，所以a4a108，其前 13 项的和为13（a1a13）213（a4a10）2138252，故选 D.3(2016新余质检)在等差数列 an 中，a912a126，则数列 an的前 11 项和S11()A24 B 48 C66 D 132 解析：选D.数列 an 是等差数列，故a63d12(a66d)6，所以a612.又S1111（a1a11）211a6，所以S11132.4(2016淮北、淮南模拟)如果等差数列 an 中，a1 11，S1010S88 2，则S11()A 11 B 10 C11 D 10 解析：选 A.由Snna1n（n1）2d，得Snna1（n1）2d，由S1010S88 2，得a192da172d2，解得d2，S1111a1102d 1152 1，所以S11 11.5(2016江西省白鹭洲中学高三模拟)等差数列 an中a10a9 1，它的前n项和Sn有最大值，则当Sn取得最小正值时，n()A17 B 18 C19 D 20 解析：选A.由题意知，a10，d 0，因为a10a9 1，所以a10a90，即 2a1 17d.所以S18（a1a18）182（2a117d）1820，S17（a1a17）172（2a1 16d）172(a18d)17 0.故选 A.6已知Sn是等差数列 an的前n项和，S100 并且S110，若SnSk对nN*恒成立，则正整数k构成的集合为()A5 B 6 C5，6 D 7 解析：选C.在等差数列 an中，由S100，S11 0，得S1010（a1a10）20?a1a100?a5a60，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学S1111（a1a11）20?a1a112a60，故可知等差数列an 是递减数列且a60，所以S5S6Sn，其中nN*，所以k5 或 6.7(2016淮北质检)设Sn为等差数列 an的前n项和，S2S6，a41，则a5_解析：由题意知2a1d6a1652d，a13d1，解得a17，d 2，所以a5a4d1(2)1.答案：1 8(2016驻马店调研)若数列 an 满足a115，且 3an13an4，则an_解析：由3an13an4，得an1an43，所以 an 是等差数列，首项a115，公差d43，所以an1543(n1)494n3.答案：494n39(2016东北三校联考)已知正项数列 an满足a12，a21，且anan1anan12，则a12_解析：因为anan1anan12，所以1an11an12an，所以1an为等差数列，且首项为1a112，公差为1a21a112，所以1an12(n1)12n2，所以an2n，所以a1216.答案：1610已知数列 an是首项为a，公差为1 的等差数列，bn1anan，若对任意的nN*，都有bnb8成立，则实数a的取值范围为 _解析：依题意得bn11an，对任意的nN*，都有bnb8，即数列 bn的最小项是第8 项，于是有1an1a8.又数列 an 是公差为1的等差数列，因此有a80，a90，即a70，a80，由此解得 8a 7，即实数a的取值范围是(8，7)答案：(8，7)11(2016无锡质检)已知数列 an的前n项和Sn是n的二次函数，且a1 2，a22，S36.(1)求Sn；(2)证明：数列 an 是等差数列解：(1)设SnAn2BnC(A0)，则2ABC，04A2BC，69A3BC，解得A 2，B 4，C 0，故Sn2n24n.(2)证明：当n 1 时，a1S1 2；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学当n2 时，anSnSn12n24n2(n1)24(n 1)4n6，a1 2 也满足故an4n6(n N*)因为an1an4，所以数列 an成等差数列12各项均为正数的数列an 满足a2n 4Sn2an1(n N*)，其中Sn为an 的前n项和(1)求a1，a2的值(2)求数列 an的通项公式解：(1)当n1 时，a21 4S12a11，即(a11)2 0，解得a11.当n2 时，a22 4S22a21 4a12a2132a2，解得a23 或a2 1(舍去)(2)a2n4Sn 2an1，a2n14Sn12an11.得a2n1a2n4an1 2an 12an2(an1an)，即(an 1an)(an1an)2(an1an)因为数列 an各项均为正数，所以an1an0，an1an2，所以数列 an是首项为1，公差为2 的等差数列所以an 2n1.1(2016唐山统考)若等差数列 an 的公差为d，关于x的不等式d2x2a1d2xc0 的解集为 0，22，则使数列 an 的前n项和Sn最大的正整数n的值是()A9 B 10 C11 D 12 解析：选 C.法一：因为关于x的不等式d2x2a1d2xc0 的解集为 0，22，所以c 0，22a1d2d2，且d20，即a1212d 0，则Snd2n2a1d2nd2n211dn，所以在对称轴n11 处，Sn取得最大值法二：因为关于x的不等式d2x2a1d2xc0的解集为 0，22，所以c0，22a1d2d2，且d20，即a1212d0，则a11a110dd2 0，a12a1 11dd20，故使数列 an 的前n项和Sn最大的正整数n的值是 11.2(2016河北省衡水中学模拟)有n个首项都是1 的等差数列，设第m个数列的第k项为amk(m，k1，2，3，n，n3)，公差为dm，并且a1n，a2n，a3n，ann成等差数列若dmp1d1p2d2(3mn，p1，p2是m的多项式)，则p1p2_解析：由题意知amn1(n1)dm，则a2na1n1(n 1)d2 1 (n1)d1 (n1)(d2d1)，同理，a3na2n(n1)(d3d2)，a4na3n(n1)(d4d3)，anna(n1)n(n1)(dndn1)又因为a1n，a2n，a3n，ann成等差数列，所以a2na1na3na2nanna(n1)n，故d2d1d3d2dndn1，即 dn是公差为d2d1的等差数列，所以dmd1(m1)(d2d1)(2 m)d1(m1)d2.令p12m，p2m1，则dmp1d1p2d2，此时p1p21.答案：1 3(2016宿州模拟)已知函数f(x)x22(n1)xn25n7(nN*)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(1)设函数yf(x)的图像的顶点的纵坐标构成数列an，求证：an为等差数列；(2)设函数yf(x)的图像的顶点到x轴的距离构成数列bn，求 bn的前n项和Sn.解：(1)证明：因为f(x)x22(n1)xn2 5n7 x(n1)23n 8，所以an3n8，因为an1an3(n1)8(3n 8)3，所以数列 an为等差数列(2)由题意知，bn|an|3n8|，所以当 1n2 时，bn 83n，Snb1bnn（b1bn）2n5（83n）213n3n22；当n3 时，bn 3n8，Snb1b2b3bn521(3n8)7（n2）1（3n 8）23n2 13n282.所以Sn13n3n22，1n2，3n213n282，n3.4设数列 an的前n项和为Sn，a110，an19Sn10.(1)求证：lg an是等差数列；(2)设Tn是数列3（lg an）（lg an 1）的前n项和，求Tn；(3)在(2)的条件下，求使Tn14(m25m)对所有的nN*恒成立的整数m的取值集合解：(1)证明：依题意，a29a110100，故a2a110.当n2 时，an 19Sn10，an9Sn 110，两式相减得an 1an9an，即an110an，an1an10，故an为等比数列，且ana1qn110n(nN*)，所以 lg ann.所以 lg an1 lg an(n 1)n 1，即lg an是等差数列(2)由(1)知，Tn31121231n（n1）3 11212131n1n133n1.(3)因为Tn33n1，所以当n1 时，Tn取最小值32.依题意有3214(m25m)，解得 1m6，故所求整数m的取值集合为0，1，2，3，4，5