部分数学题的固定算法.doc

某些数学应用的固定算法
浓度问题，几乎每次省考都会有一道题目，所以十字相乘法是必学的知识点。
用一道比较简单的题来做例子，相信大家就会明白的：

20%的食盐水与5%的食盐水混合，要配成15%的食盐水900克，问：20%与5%的食盐水各需要多少克？
（如果常规解的话，肯定是去算它的溶质，然后再相加什么的，那样就特别麻烦，
但是用十字相乘法，如果熟练了的话，就会特别快速地把这道题解决。 ）

首先假设20%需要X克，5%需要Y克，则：

20%      10%    X

      15%                 = >10%/5%=X/Y，即是2Y=X，因为X+Y=900，所以Y就等于300，X=600。
5%          5%     Y

遵循一个原则：平均数放中间，“大减小”得数放对角，比如这里就是把平均数15放在中间，对角处大减小，
所以是20-15=5，15-5=10， 分别放在对角，就可以很明显地看出两者的比例，像这道题就是10/5=2/1。

二.余数问题：
这里只讨论碰到几种特殊情况：和同，差同，余同， 则可以根据“取最小公倍数，和同加和，差同减差，余同取同”来快速解题。

例：有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1。问这个数除以12余数是几？（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
很多人都是用代入法解这种题，但是如果数值比较大的情况代入法就显得很麻烦。
3+2=5，4+1也等于5，是“和同”的情况，3，4最小公倍数是12，“和同加和”，所以这个数是12n+5，余数也就是5了，几秒钟就可以搞定了。

另外一道： 一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有（ ）。
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
这个题目后面是“和同”的情况，也就是5+2=4+3，"和同加和"，5和4的最小公倍数20，所以表示为20n+7,
刚好跟前面的“除以9余7”是“余同”的情况，“余同取同”，20和9的最小公倍数是180，所以表示为180n+7.
因为是三位数，所以n只能取1，2，3，4，5，也就是187，367，547，727，907一共五个数。

这些情况考试时经常会碰到，当然如果不是这些特殊情况的，能代入就尽量代入，不能代入的，就还是老老实实地用剩余定理来解题，或者蒙- 。-

三.求尾数：
最有代表性的去年省考那道题目，我把它修改一下： 22458 + 32008 的尾数是( )

求尾数的问题，遵循一个原则：保留个位数字，然后指数除以4，能除得尽的则指数取4，除不尽的则取余数。
比如在这道题目里面，保留2不变，指数2458除以4，余数是2，所以22458的尾数就跟22相同；
32008也一样，保留3不变，指数2008除以4，刚好除得尽，所以取4，整个就表示为34；

所以22458 + 32008 的尾数跟22+34相同，也就是5。

四.容斥问题：
自己想的公式：
二者容斥的问题：满A + 满B - 两满= 总- 两不满，（满A就是满足A,两满就是两者都满足的情况）

例：一个俱乐部，会下象棋的有 69 人，会下围棋的有58人，两种棋都不会下的有 12 人，
两种棋都会下的有 30 人，问这个俱乐部一共有多少人？
A．109 人 B．115 人 C．127 人 D．139 人

所以直接根据公式套进去：69+58-30=总-12，所以总就是109，选A。

五.抽屉问题：
其实也就是把它想成最倒霉的情况-.-

例：一个袋子里有10个黑球，6个白球，4个红球，则至少取出几个球才能保证取出的是白球？
A.14   B.15   C.16   D.17
最倒霉的情况就是在取出白球前，取出的全是其它颜色的球，也就是取出10个黑球，4个红球，一共14个，再取一次就一定是白球了，所以是14+1=15。

  数学运算在狂做题之外，更需要冷静下来做做相关题型的总结，这样才能达到熟悉题型，事半功倍的效果。
        本贴中所列公式，大部分都是高中的东西，现在捡起来而已。
        仅供参考理解，不提倡盲目死记。
        其他算法总结今后仍会持续更新中～～～～～～～
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        利润率＝利润/成本
        增长率＝增长额/第一年
        S1995~S2002 年均增长率：即年均增长幅度除以第一年 {(S2002－S1995)/7}/ S1995
        利率总额＝年数×年利率
        平均效率＝总量/总时间
        在抽水问题中：『动机效率（台数×虚拟单位效率1）－渗水率』×时间 是一个恒定量。
        牛吃草问题中：『吃草效率（头数×虚拟单位效率1）－草生长率』×时间 是一个恒定量。
        球体积＝(4∏R^3)/3   球表面积＝4πr^2
        锥体体积＝1/3 sh
        等差：An＝A1＋（n－1）d   Sn=n(A1+An)/2
       等比：An=A1•q的n-1次方   Sn=A1•(1-q的n次方)/1-q
        立方和公式： a^3＋b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
        立方差公式： a^3－b^3=(a－b)(a^2+ab+b^2)
        求24、60最小公倍数：   两数最小公倍数为2×2×3×2×5
        末数求值：2343×343 的最后两位 即：43×43＝49
        1海里＝1.852千米

        用求包裹立方体的纸的大小，要求1.纸的面积大于立方体表面积 2.要求纸的长宽要大于立方体的展开的边幅。
        过多少天是星期几，关键看多少天能否被7整除，余几天。
        9^1992除以7的余数与 2^1992除以7的余数相等。
        遇到图形面积题，没必要死算，积极考虑补缺移填合成规则图形。
        六所学校派代表开会，选所有路程最短的学校，应重点考虑派代表最多的学校。
        甲除以13余9 甲＝13m＋9 （m为正整数）
        Ab与ba的差是s的4倍，则有4s＝a×10＋b－（b×10＋a） 『经常用于祖孙三代年龄问题』
        多位数相加时：abcd×dcba 应用观察法，首数乘乘ad，尾数乘乘da。
        3条纸带首尾相接，有2个1厘米的重合点，则比不重合相接牺牲了2厘米。
        子分财产问题。长子拿一份和剩下1/10。次子拿两份和剩下1/10……，结果所有儿子拿的一样多。
        则考虑最后两个儿子。最后的 n ＝ 倒数第二 n-1+n/9
        很多时候，8个以内的穷举法是最笨却最实际的办法。
        P除以10余9，除以9余8，除以8余7， 100<P 至1000以内的数       9×8×10＝720，则P＝359、719
        关于中国剩余定理的应用：一个数除以5余3，除以3余2，除以4余1。求该数最小值。             则 （5，3，4）＝60。有[5 3][3 4] [5 4] ,使15或其倍数 除以4余1，则该数为45， 使12或其倍数 除以5余1，则该数为36。使20或其倍数 除以3余1，则该数为40。所以45×1＋36×3＋40×2－60×3＝53
        关于闰年的判定，闰年为366天，一般来说，用年份除以4，能整除就是闰年。但是，整百年份要除以400。比如1900年不是闰年，1600年是闰年。
        300张牌，总是拿掉奇数牌。最后剩下的是2的n次方<300，n的最大值。 总是拿掉偶数牌，最后剩下的是第一张牌。
        N个人彼此握手，则总握手数
        s＝（n－1）{a1＋a(n－1)}/2=（n－1）{1＋1+(n-2)}/2=『n^2－n』/2
        三个圆圈相交：S1＋S2+S3＝S（总数）＋2×j（三块共有）＋j1（两块共有）＋j2（两块共有）＋j3（两块共有）（记住公式必须与画图结合起来！此公式在学生参加兴趣爱好等问题上慎用！！因为两个兴趣组都参加的真正人数应该是题目中给你的参加两个兴趣班人数再减去三个兴趣班都参加的人数）
        英语数学语文三个小组，每人至少参加一组，总共35人，英17人，数30人，语13人，5人全参加，问只参加一组多少人？ 设x个学生加了一组.
        x+2*(35-5-x)+3*5=17+30+13 x=15
        对于四人篮球，五次传球后回转本人的问题，应用组合逐个计算，分类讨论再相加。其中原始点是讨论的分歧点。  
        几个圆相交最多把平面分割成N^2－N+2
        n条线最多能画成多少个不重叠的三角形 F(n)＝F(n－1)＋ F(n－2) 如 f（11）＝19
        边长为N的立方体由边长为1的小立方体组成，一共有N^3个小立方体，露在外面的小立方体共有 N^3－（N－2）^3
        边长为ABC的长方体由边长为1的小立方体组成，一共有abc个小立方体，露在外面的小立方体共有 abc－（a－2）（b－2）（c－2）
        已知四个连续自然数的积。四个连续自然数为两个奇数和两个偶数，它们的和可以被2整除，但是不能被4整除。
        A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7,则A是5、6、7的倍数
        1000*999*998*……1 的结果后有多少个连续的零，则为1000/5＝200 1000/25=40
                1000/125=8   1000/625=1.235     则有249个零
        连续4个自然数（如1、2、3、4） 两奇两偶，记住：两个奇数和的一半是偶数 两个偶数和的一半是奇数。
        去程速度a 来程速度b，平均速度为v＝2ab/（a＋b）
        火车.自行车同向行进，速度分别为a、b，火车超过自行车时间为t，
        可知火车身长为s＝（a－b）t
        环形跑道周长500米，甲乙两人按顺时针沿环形跑道同时同地起跑，甲60米/分，乙50米/分，两人每跑200米均要停下来休息1分钟，那么甲首次追上乙需要多少分钟？
       有问题的解法： 解为乙跑的时间＋乙休息的时间＝甲跑的时间＋甲休息的时间，设乙跑x米，甲跑了x＋500米        列为： x/50+x/200=(x+500)/60+(x+500)/200
        其他解法：60x－50x＝500   x＝50
            50＋50*60/200+50*50/200=77
        关于含“1”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的1/5，再加上100。

        l×l＋2×2＋…＋n×n＝n×（n＋1）×（2n＋1）÷6
        钟表几分重合，公式为： x/5=(x+a)/60 a时钟前面的格数。

        加速度公式 ： S＝V0T+(aT/2)T   V0：初速度   aT：末速度   T：经过的时间
        剩余价值与可变资本的比例关系称为剩余价值率
        利息=本金×利率×时间
        记住：现在银行利息计算采用单息制，而非利滚利的复息制，用“乘以”，而不用“乘方”
        溶液配比问题的“十字交叉法”
        某A溶液a克2％，某乙溶液b克4％，按如何比例可配成3％的溶液
        a2％＋b4％＝3％（a＋b）
        算出a/b即可～
        有很多排列组合问题可以用排除法来做。
        如：五信装封，全错种类的问题。不建议用排列组合正面去算，很复杂。可以用（总装法5！）减去（全装对＋装错2＋装错3＋装错4）。
        ps.想想为什么不能装错1封信呢？^_^
      1.2.2.3.3.3六个数字可组成多少个不重复的数字：先排1，有6种，再排2有5种，再排3有1种。即有6×5×1种

关于某些数学应用题目的固定算法(记住在应试中剩时间呦）

1 四个连续自然数的积为1680，它们的和为（ ）
A 、26 B、52 C、20 D、28
解析：四个连续自然数，为两个积数和两个偶数，它们的和可以被2整除，但是不能被4整除，选项中只有26符合。
2、 有300张多米诺骨牌，从1——300编号，每次抽取奇数牌，问最后剩下的一张牌是多少号？
答案是256号。
解析：总结出的公式是：小于等于总数的2的N次方的最大值就是最后剩下的序号。
3、 一本300页的书中含“1”的有多少页？
答案是160页
解析：关于含“1”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的1/10乘以2，再加上100。
4、 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余数是几？
A、4 B、5 C、6 D、7
解析：设这个数除以12，余数是A，那么A除以3余数是2；A除以4，余数是1。而在1、2….11中，符合这样条件的A只有5。
5、 中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点，时针与分针重合多少次？
答案：11次
解析：关于钟表指针重合的问题，有一个固定的公式：61T=S（S为题目中最小的单位在题目所要求的时间内所走的格书，确定S后算出T的最大值就知道相遇多少次。）
6、一个边长为8的正立方体，由若干个边长为1的正立方体组成，现在要将大立方体表面涂漆，问一共有多少小立方体被涂上了颜色？
答案：296
解析：公式：（大正方形的边长的3次方）—（大正方形的边长—2）的3次方。

Ab与ba的差是s的4倍，则有4s＝a×10＋b－（b×10＋a） 『经常用于祖孙三代年龄问题』
多位数相加时：abcd×dcba 应用观察法，首数乘乘ab，尾数乘乘da。
3条纸带首尾相接，有2个1厘米的重合点，则比不重合相接牺牲了2厘米。（可推而广之，如果是n条纸带呢？）
n条线最多能画成多少个不重叠的三角形 F(n)＝F(n－1)＋ F(n－2) 如 f（11）＝19
边长为N的立方体由边长为1的小立方体组成，一共有N^3个小立方体，露在外面的小立方体共有 N^3－（N－2）^3
已知四个连续自然数的积。四个连续自然数为两个积数和两个偶数，它们的和可以被2整除，但是不能被4整除
A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7,则A是5、6、7的倍数
100*99*98*……1 的结果后有多少个连续的零，则为1000/5＝200 1000/25=40
1000/125=8 1000/625=1.235 则有249个零
去程速度a 来程速度b，平均速度为v＝2ab/（a＋b）
关于含“1”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的1/5，再加上100。
l×l＋2×2＋…＋n×n＝n×（n＋1）×（2n＋1）÷6
钟表重合公式，公式为： x/5=(x+a)/60 a为时钟前面的格数。
追击休息问题，起始的路程差/(速度差)＝追击时间 若有休息，则加上休息时间即可
剩余价值与可变资本的比例关系称为剩余价值率
关于山羊称重问题的解法
求助：
食堂买来5只羊，每次取出两只合称重量，得到10种不同重量（单位：千克）：47，50，，51，52，53，54，55，57，58，59。最重一只是多少千克？A25 B28 C30 D32

解答如下：

十个数字中最大的是59

因此排除AB
再看D，如果最重的是32，那么一定有一只羊是59-32=27的重量，第二大的数字是58，那么一定有一只羊是58-27=31

正常来讲，五只羊中最重的两只相加总和最重32+31=63不等于59，所以排除。

因此选择C

数学运算之倒推法