北京市平谷区2015届九年级上期末考试数学试题及答案.doc

北京市平谷区2015届九年级上期末考试数学试题及答案
初 三 数 学 2020年1月
考生
须知
1．试卷分为试题和答题卡两部分，所有试题均在答题卡上作答．
2．答题前，在答题卡上考生务必将自己的考试编号、姓名填写清晰．
3．把选择题的所选选项填涂在答题卡上；作图题用2B铅笔．
4．修改时，用塑料橡皮擦洁净，不得使用涂改液．请保持卡面清洁，不要折叠．
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下列各小题均有4个选项，其中只有一个选项是正确的.
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则的值是
　 A． B． C． D．
2．将抛物线向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式为
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则是
　 A． B． C． D．
4．如图，已知A、B、C三点在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为
　 A．50° B．25° C．75° D．100°
5．在一个不透亮的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号为偶数的概率为
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部
分的面积为
A．4 B．
C． D．
7．若关于的二次函数的图象与x轴仅有一个公共点，则k的取值范畴是
A． B． C． D．
8．如图反映的过程是：矩形中，动点从点动身，依次沿对角线、边、边运动至点停止，设点的运动路程为， ．则矩形的周长是

A．6 B．12 C．14 D．15
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．在函数中，自变量的取值范畴是 ．
10．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为　 　米．
11．请写出一条通过原点的抛物线解析式 ．
12．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．设坐标轴的单位长度为1cm，整点P从原点O动身，作向上或向右运动，速度为1cm/s．当整点P从原点动身1秒时，可到达整点（1,0）或（0,1）；当整点P从原点动身2秒时，可到达整点（2,0）、（0,2）或 ；当整点P从原点动身4秒时，能够得到的整点的个数为 个．当整点P从原点动身n秒时，可到达整点（x,y），则x、y和n的关系为 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．
（1）求证：△ABC∽△DAE；
（2）若AB=8，AD=6，AE=4，求BC的长．

14．运算：．

15．如图，小明要测量河内小岛B到河边公路AD的距离，在A点测得，在C点测得，又测得米，求小岛B到公路AD的距离．

16．我区某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内
温度y(℃)随时刻x (小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请依照图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时刻有 小时；
（2）求k的值；
A
B
O
x(时)
y(℃)
2
12
18
C
16题图
（3）当x=16时，大棚内的温度约为 度．

17题图

17．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E．
连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD．
（2）若BE=3，CD=8，求⊙O的直径．
1
﹣4
﹣1
A
B
C
O
x
y
18．如图，抛物线通过点A、B、C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求△ODC的面积．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结AP、CP，
延长CP交AD于E，交BA的延长线于F．
（1）求证：∠DCP=∠DAP；
（2）若AB=2，DP:PB=1:2，且PA⊥BF，求对角线BD的长．

20题图
19题图

20．如图，BC为⊙O的直径，以BC为直角边作Rt△ABC，∠ACB=90°，斜边AB与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥BC于点F，交⊙O于点G．
（1）求证：AE=CE；
（2）若AD=4，AE=，求DG的长．
21．如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第二象限交于点C．假如点A的坐标为，OA=2OB，点 B是AC的中点．
（1）求点C的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式．

22．阅读下面材料：
如图1，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．
（1）当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=　 　；
（2）如图2，在△ABC中，点O是线段AD上一点（不与点A、D重合），且AD=nOD，连结BO、CO，求S△BOC：S△ABC的值（用含n的代数式表示）；
（3）如图3，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，补全图形并直截了当写出的值．
图1
图2
图3

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，现在的点称为函数的零点．例如，关于函数，令，可得，我们就说1是函数的零点值，点是函数的零点．
已知二次函数．
（1）若函数有两个不重合的零点时，求k的取值范畴；
（2）若函数的两个零点差不多上整数点，求整数k的值；
（3）当k<0时，在（2）的条件下，函数的两个零点分别是点A，B（点A在点B的左侧），将二次函数的图象在点A，B间的部分（含点A和点B）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将直线向上平移个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，求的取值范畴．

24．已知平面直角坐标系中两定点、，抛物线过点A，B，与y交于C点，点P（m，n）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范畴；
（3）当∠PAB=∠ABC时，求点P的坐标．

25．（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
①∠AEB的度数为　 　；
②线段AD，BE之间的数量关系为　 　；
（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判定∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，要求出点A到BP的距离．

平谷区2020～2020学年度第一学期末考试试卷答案及评分标准
初 三 数 学 2020年1月
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
A
B
A
D
B
C
D
C

二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．；10．5；11．答案不唯独，如：；
12．（1,1）；……………………………………………………………………………………1分
5； ………………………………………………………………………………………2分
x+y=n………………………………………………………………………………………4分
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠CAB．……………………………………1分
∵∠B=∠DAE，
∴△ABC∽△DAE．…………………… ……………3分
（2）∴．………………………………………4分
∵AB=8，AD=6，AE=4，
∴．
∴．…………………………………………5分

14．解：
……………………………………………………………………………4分
………………………………………………………………………………………5分

15．解：过B作BE⊥AD于E
∵，，
∴．……………………………………1分
∴．…………………………2分
∴BC = AC=50（米）．…………………………………3分
在Rt△BCE中，．
∴（米）． ………………………………………………………………………4分
答：小岛B到公路AD的距离是米．…………………………………………………5分
16．解：（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时刻为 10 小时．………………1分
（2）∵点B(12，18)在双曲线上， …………………………………………2分
∴18=，
∴k=216. ………………………………………………………………………3分
（3）当x=16时，，…………………………………………………4分
因此当x=16时，大棚内的温度约为 13.5 度．……………………………………5分
17．证明：(1)∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于E，
∴CE=ED， .………………………1分
∴BCD=BAC.
∵OA=OC,
∴OAC=OCA .
∴ACO=BCD. …………………………2分
(2) ∵CE=ED=4，……………………………3分
方法一：在RtBCE中，.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BEC=90°.
∵∠B=∠B，
∴△CBE∽△ABC．………………………………………………………………4分
∴．
∴.………………………………………………………………5分
方法二：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OBEB=R-3
在RtCEO中，由勾股定理可得
OC=OE+CE 即R= (R3) +4
解得 R=………………………………………………………………………4分
∴2R=2=………………………………………………………………5分
1
﹣4
﹣1
A
B
C
O
x
y
答：⊙O的直径为．
18．解：（1）由题意知，，
设抛物线的解析式为．………………1分
把代入，解得a=1．……………………………2分
∴．………………………3分
（2）∵对称轴x=1，
∴点D的坐标为．………………………………………………………………………4分
∴．…………………………………………………………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD，∠CDP=∠ADP．
∵DP=DP，
∴△CDP≌△ADP．……………………………………………………………………………1分
∴∠DCP=∠DAP． ……………………………………………………………………………2分
（2）解：∵CD∥BA，
∴△CDP∽△FPB．
∴．……………………………………3分
∵CD=BA，
∴BA=AF．
∵PA⊥BF，
∴PB=PF．………………………………………………4分
∴∠PBA=∠PFA．
∴∠PCD=∠PDC．
∴PD =PC=PA．
∴BD=BP+PD．
∵，
∴．
在Rt△ABP中，，
∵AB=2，
∴，．
∴．…………………………………………………………………………………5分
20．（1）证明：连结CD，
∵BC为⊙O的直径，∠ACB=90°，
∴AC是⊙O的切线.
又∵DE与⊙O相切，
∴ED=EC. ……………………………1分
∴∠1=∠3.
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°.
∵∠1+∠2=∠3+∠A=90°,
∴∠A=∠2.
∴ED=EA.
∴AE=CE. ………………………………………………………………………………………2分
（2）解：∵AE=,
∴AC=2AE=．
在Rt△ACD中，.…………………………………………………3分
∴
∵∠3+∠4=∠3+∠A=90°,
∴∠A=∠4.
∴
∴…………………………………………………………………………………4分
∵DG⊥BC于点F，
∴DG=2DF=．……………………………………………………………………………5分
21．解：⑴作CD⊥轴于D，
∴CD∥BO．
∵OA=2OB，
∴OB=2．
∴．………………………………………1分
∵点B是AC的中点，
∴O是AD的中点．………………………………2分
∴OD=OA=4，CD=2OB=4．
∴点C的坐标为．………………………3分
⑵设反比例函数的解析式为，
∴．
∴所求反比例函数的解析式为．……………………………………………………4分
设一次函数为，
∵A（4,0），C ，
∴ 解得： ．
∴所求一次函数的解析式为．…………………………………………………5分
22．解：（1）S△ABD：S△ABC=　1：2　；………………………………………………………1分
（2）如图，作OM⊥BC于M，作AN⊥BC于N，
∴OM∥AN．
∴△OMD∽△AND．……………………………………2分
∴．
∵AD=nOD；
∴
∵，
∴．……………………………………………………………………3分
（3）…………………………………………………………………4分
． ………………………………………………………………5分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解:（1）证明：
.……………………………………………………………………………………1分
∵二次函数有两个不重合的零点
∴…………………………………………………………………………2分
∵
∴当且时，二次函数有两个不重合的零点． …………………………………3分
（2）解方程得：,
∴或．…………………………………………………………………………4分
∵函数的两个零点差不多上整数，是整数，
∴是整数．
∴． ……………………………………………………………………………………5分
（3）∵k<0，
∴．
∴，．
∵函数的两个零点分别是A，B（点A在点B的左侧），
∴，．
∴平移后的点为，．
平移后的解析式为．
∴ 解得 ，………………………………………………………6分
解得 ．
∴．……………………………………………………………………………………7分
24．解：（1）∵抛物线过点A，B，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：.…………………………………………………1分
∴C．……………………………………………………………………………………2分
（2）方法一：∵
∴∠ACO=∠OBC．
∴∠ACO+∠OCB=90°，即∠ACB=90°，
∴．…………………………………………………………………………………3分
由抛物线的对称性可知，
∴当﹣1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角．…………………………………………5分
方法二：以AB为直径作圆M，与y轴交于点P.则抛物线在圆内的部分，能是∠APB为钝角，
∴M（，0），⊙M的半径=．
在Rt△OMP中，∴．
∴．……………………………………3分
以下同方法一.
(3)在Rt△OBC中，.
第一种情形：过A作AP∥BC，交抛物线于点P .
∴∠PAB=∠ABC.
过P作PQ⊥AB于Q，
∴.
∵P（m，n）,
∴PQ=n，AQ=m+1
∴.
∴.
解得
∴………………………………………………6分
第二种情形：
方法一：点P关于x轴的对称点的坐标为
∴直线AP″的解析式为
∴解得
∴……………………………………………………………………………………7分
方法二：假设∠P’AB=∠ABC，交抛物线于点P’ .
过P’作P’Q’⊥AB于Q’，
∴.
∵P（m，n）,
∴P’Q’=﹣n，AQ’=m+1
∴.
∴.
解得
∴………………………………………7分
∴
25．解：（1）①60°．…………………………………………………………………………1分
②AD=BE．……………………………………………………………………………………2分
（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE．……………………………………………………………………………3分
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．……………………………………………………………4分
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM．……………………………………………………………………5分
（3）方法一：∵CD=，
∴BD=2．
第一种情形：当点P在BD上方时
∵PD=1，∠BPD=90°
∴∠PBD=30°．
∴∠PBA=∠PDA=15°．
在BP上截取BE=PD，
∴△ABE≌△ADP．
∴AE=AP，∠PAD=∠EAB
∵∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠PAD +∠EAD=90°．
即∠EAP=90°．…………………………………6分
过A作AH⊥BP于H，
由（2）可知，BP=DP+2AH.
∴AH=.…………………………………7分
第二种情形：当点P在BD下方时
同理可得：BP’=2AH’﹣P’D．
∴AH=.…………………………………………………………………………………8分
方法二：∵PD=1，
∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．
∵∠BPD=90°，
∴点P在以BD为直径的圆上．
∴点P是这两圆的交点．
①当点P在如图3①所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP于H，
过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，CD=，∴BD=2．
∵DP=1，∴BP=．
∵A、P、D、B四点共圆，∴∠APB=∠ADB=45°．
∴△PAE是等腰直角三角形．…………………………………………………………………6分
又∵△BAD是等腰直角三角形， AH⊥BP，
∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD．
∴AH=．…………………………………7分
②当点P在如图3②所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP于H，
过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．
同理可得：BP=2AH﹣PD．
∴AH=．……………………………………8分
综上所述：点A到BP的距离为或．
以上答案仅供参考，其它解法按相应步骤给分！