天津大学概率论考试试卷B答案.doc

天津大学试卷专用纸
学院 专业 班 年级 学号 姓名 共4 页 第 1 页
2012～2013学年第1学期期末考试试卷
《概率论》（B卷 共 4 页）
（考试时间：2012年12月09日）
题号
一
二
三
成绩
核分人签字
1
2
3
4
5
6
得分

一、选择题 （共12分，每题2分）
1、对于任意两个随机变量，若，则（ B ）
A) B)
C) 一定独立 D) 不独立
2、与B相互独立， 且，， 则有（C ）
A) 与B互不相容 B) 与互不相容
C) 与B相容 D) .
3、设为三个随机事件，且，则一定有( D )
A) 与独立； B) 为不可能事件；
C) ； D) .
4、设与是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们概率密度函数分别为与
,分布函数分别为与，那么下列命题不正确的是( B )
A) ，则必为某一随机变量的概率密度函数；
B) 为二维型随机变量的联合的概率密度函数；
C) 必为某一随机变量的分布函数；
D) 必为某一随机变量的分布函数.
5、如果存在常数，使得， 且，则与的相关系数为（ C ）
A) 1 ； B) -1 ； C) ； D) .
6、设为一随机变量，若 则一定有（ B ）
A) B)
C) D) .

二、填空题（共18分，每空2分）
1、已知，, ，则 3/4 (0.75).

2、将20只球放入10个盒子中去，设每只球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数X的数学期望为 .

3、取一根长为3米的绳子， 拉直后在任意位置剪断， 那么剪得两段的长都不少于1米的概率为 1/3 .

4、设一系统由五个相互独立的元件串联而成, 每个元件的寿命X服从均值为1500的指数分布（单位：小时），在使用的前600 h内至少有一个元件需要更换的概率是 , 且该系统的平均寿命是__300__ _（小时）.
5、设是独立同分布的随机变量序列,且其相同的分布函数为：　 　 　 　 　 　 　 　 　　　
则的分布律为 _______　 　 　 　 　 　 　 ，　
且依概率收敛于 0.6 　 .
6、二维正态分布表示为设随机变量满足，随机变量， 则 1 , 37 .

天津大学试卷专用纸
学院 专业 班 年级 学号 姓名 共 4 页 第 2 页
三、解答题（共70分）
1、（本题14分）盒子里装有2个黑球、5个红球、3个白球共10个球， 从中一次随机地摸出两个球，令

求 （1） 的联合概率分布律； （2） ， ；
（3） 随机变量的边缘分布律；
（4） 在的条件下随机变量的条件分布律；
解：（1）

因此，随机变量和的联合分布律为：

(6分)

（2），
(9分)
X
Y
0
1
0
1/45
4/9
1
1/5
1/3

(3) 随机变量的边缘分布律
Y
0
1

7/15
8/15
(11分)
（4）在的条件下随机变量的条件分布律为

(14分)(其中公式1分)
2、（本题10分）已知电源电压服从正态分布（单位：伏）,在电源电压处于以下三种状态: ,,时,某电子元件损坏的概率分别为0.1, 0.01, 0.2. 试求: (1) 该电子元件损坏的概率; (2) 该电子元件损坏时, 电压在（200，240]内的概率. (已知: ).
解：令,
电子元件损坏 ----------------------1分
（1）电子元件损坏的概率

-------------------------------------（全概率公式1分，算到最后共6分）
（2）
----------------------------贝叶斯公式 1分，算到最后共3分

天津大学试卷专用纸
学院 专业 班 年级 学号 姓名 共 4 页 第 3 页
3、（本题7分）设甲乙两台设备的寿命分别服从参数为3与4的指数分布, 且两台设备的好坏与否相互独立, 求甲比乙先坏的概率.
解：设甲乙两台设备的寿命分别为、,
则其概率密度函数分别为
(1分)
因为与相互独立,所以的联合概率密度函数为
(3分)
甲比乙先坏的概率为

(7分)(其中过程3分,结果1分)

4、（本题18分）设二维随机变量在由直线及所围成的区域内服从均匀分布．求
（1）求的联合概率密度函数；
（2）求、的边缘概率密度函数，;
（3）判断与是否相互独立，为什么？
（4）求，；
（5）判断与是否相关，为什么？
解：（1）由题知平面区域的面积为
所以 (2分)
（2） (4分)
(6分)
（3）因为,所以与不独立. (8分)
（4）当时，
当时 ， (10分)
(11分)
(13分)
（5）因为,
， 或
，
. (18分)
所以 与不相关.

天津大学试卷专用纸
学院 专业 班 年级 学号 姓名 共 4 页 第 4 页
5、（本题13分）设随机变量X的概率密度为
，
令 ，为二维随机变量的联合分布函数.
求 （1）k；
（2）Y的分布函数.
解：（1）
所以 （2分）
(2) Y的取值范围为[0，9]， (3分)
故 当时， ；
当时， (5分)
Y的分布函数为
(7分)
当时，
(10分)
当时，

(13分)

6、（本题8分）（用中心极限定理近似计算）
某互联网站有10000个相互独立的用户，已知每个用户在平时任一时刻访问该网站的概率为0.1求在任一时刻有940到1075个用户访问该网站的概率.
解： 设X表示任一时刻访问该网站的用户数,则
（1分）
并且
.
. （3分）
由中心极限定理
（8分）

设随机变量X服从(-2,3)上的均匀分布，即，令 ，为二维随机变量的联合分布函数.
求 （1）Y的分布函数；
（2）.
解 (1)Y的取值范围为[0，9]， (1分)
故 当时， ；
当时， (3分)
Y的分布函数为
(5分)
当时，
(8分)
当时，
(10分)

天津大学试卷专用纸
学院 专业 班 年级 学号 姓名 共 5 页 第 5 页
设随机变量X 的分布函数为：

则随机变量X为
A）离散型随机变量 B）连续型随机变量
C）非离散非连续随机变量 D）不能确定

设随机变量X 的分布函数为：

则______________.