深圳市2018届高三年级第一次调研考试(理数).doc

深圳市2018届高三年级第一次调研考试(理数)
深圳市2018届高三年级第一次调研考试
数学（理科）
本试卷共6页，共23小题（含选考题），全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名
和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、
不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定
区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和 涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则=
A．（0，3] B．[1，2) C．[-1，2) D．[-3,2)
2．已知，i为虚数单位，若复数，且则a=
A． B．1 C．2 D．1
3．已知，则的值为
A． B． C． D．
4． 夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鲟回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海。一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鲟鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为
A．0.05 B．0.0075 C． D．
5．若双曲线的一条渐近线及圆相切，则该双曲线的离心率为
A．3 B． C． D．
6．设有下面四个命题：

R,“x>1”是“x>2”的充分不必要条件；
命题“若，则 ”的逆否命题是“若，则”；
“”是真命题，则一定是真命题。
其中真命题的是
A． B． C． D．
7． 中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的
问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松
竹何日而长等。意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，
松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一
倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高?如图是源于其
思想的一个程序框图，若输入的x=5，y=2，输出的n为
4，则程序框图中的 应填入
A． B．
C． D．
8． 如图，网格纸上小正方形的边长为1，某几何体的三视图
如图所示，则该几何体的外接球表面积为
A． B．
C． D．
9．在中，，
则
A． B．
C． D．
10．已知函数是定义在R上的奇函数，且在区间上
恒成立，若，令，，则
A． B．
C． D．
11．设等差数列满足：，
公差，则数列的前项和的最大值为
A．100 B．54 C．77 D．300
12．一个等腰三角形的周长为10，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每道试题考生都必须作答，
第22~23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为 .
14．展开式的的系数为 .
15．已知F为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于
A，B两点，若，则= .
16．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=2BC=，P是△ABC内一
动点，∠BPC=120°，则AP的最小值为 .

三、解答题：本题共6小题，共70分。请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
设数列的前n项和为，，,.
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，证明：.

18．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为边长为的等边三角形，BB1=4，
A1C1⊥BB1，且∠A1B1B=45°.
（I）证明：平面BCC1B1⊥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求二面角B-AC-A1的余弦值。

19．（本小题满分12分）
某重点中学将全部高一新生分成A，B两个成绩相当（成绩的均值、方差都相同）的级部，A级部采用传统形式的教学方式，B级部采用新型的基于信息化的自主学习教学方式.期末考试后分别从两个级部中各随机抽取100名学生的数学成绩进行统计，其频率分布直方图如下：

记成绩不低于130分者为“优秀”。
（I）根据频率分布直方图，分别求出A,B两个级部的数学成绩的中位数和众数的估计
值（精确到0.01)；请根据这些数据初步分析A，B两个级部的数学成绩的优劣.
（Ⅱ)根据频率分布直方图填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为“优秀”及教学方式有关?
是否优秀
级部
优秀
不优秀
合计
A级部

B级部

合计

（Ⅲ）①现从所抽取的B级部的100人中利用分层抽样的方法再抽取25人，再从这25人中随机抽出2人去参加“信息化的自主学习”的学习体会座谈，求抽出的两人中至少有一个为“优秀”的概率；
②将频率视为概率，从B级部所有学生中随机抽取25人去参加“信息化的自主学习”的学习体会座谈，记其中为“优秀”的人数为X，求X的数学期望和方差。

附：

20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：（a>b>0)的离心率为，直线：x+2y=4及椭圆有且只有一个交点T.
（I）求椭圆C的方程和点T的坐标；
（Ⅱ)O为坐标原点，及OT平行的直线及椭圆C交于不同的两点A，B，及直线交于点P，试判断是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.

21．（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（I）求的值；
（Ⅱ）若当时，恒成立，求的取值范围.

请考生在第22、23题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时。
请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号后的方框涂黑。
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系及参数方程
在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）.在O为极点、
x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为
（I）求直线和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ)已知点P(a,1)，设直线及曲线C的两个交点为A，B，若.求的值。

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知且.
（I）恒成立，求x的取值范围；
（Ⅱ）证明：.
数学（理科）参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1.B 2.D 3.A 4.C 5.D 6.D
7.B 8.D 9.D 10.C 11.C 12.A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．-6 14．172 15． 16．
三、解答题：本题共6小题，共70分．
17．解：(I)由①，可得②．
①一②得：，所以 …………2分
故. …………4分
当时，，所以 …………6分
(Ⅱ)由(I)得，
……………8分
所以. ………12分

18．解：(I)过点在平面内作的垂线，垂足为，连接

平面 …………1分
平面. …………………2分
由题可知
在中，
，在中， ……3分

平面. …………4分
平面，平面平面. …………………5分
(Ⅱ)由（I）可知两两垂直，故以为坐标原点，的方向为轴正方向，
的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系.
又

………………7分
设，为平面的法向量，则有即
可取 …………9分
设，为平面的法向量，则有 即
可取. ……………11分
所以二面角的余弦值为. ………12分

19．解：(I)设A级部的数学成绩的中位数为则
解得分. 众数：分，………2分
设B级部的数学成绩的中位数为，则
解得分． 众数：分．
从A、B两个级部的数学成绩的中位数和众数的估计值看，B级部的数学成绩的三个数据都大于A级部的数据，故初步分析B级部的数学成绩优于A级部的数学成绩. …………4分
(Ⅱ)
是否优秀
级部
优秀
不优秀
合计
A级部
7
93
100
B级部
24
76
100
合计
31
169
200
……………5分
由列联表可知的观测值：

所以有99%的把握认为“优秀”及教学方式有关； …………8分
(Ⅲ)①依题意B级部的100个样本利用分层抽样的方法再抽取的25人中“优秀”的有6人，“不优秀”的有19人．则这25人中随机抽出2人至少有一个为“优秀”的概率为
. ……………10分
②由题意可知，随机变量服从二项分布(25，0.24)，
则 ………12分

20．解：(I)由，得，则椭圆的方程为，
则 消去，得①，由，得
椭圆的方程为 …………4分
由①得，所以点的坐标为. …………………5分
(Ⅱ)设直线的方程为，由 得点的坐标为，
所以. ……………6分
设 联立 消去得
则有 ………………7分
，所以
. ………9分
同理 所以
，
， ……………10分
所以为定值． ………………12分

21．解：(I)，所以直线过点(0，1)，故，
又，
由于直线的斜率为1，所以，所以.
综上. ………………4分
(Ⅱ)由(I)可知，即.
所以在时，恒成立．
设，显然
又，设
则. …………6分
当时，，故单调递增，所以，
故也单调递增，所以，及题设矛盾；………………8分
当时，，故
①当时，，在上，故单调递减，
又 故也单调递减，所以恒成立； ………10分
②当时，，当时，，
当时，，此时函数在上单调递增，
在上单调递减；又，
所以在时，故在上单调递增，
所以，及题设矛盾．
综上，. …………12分

22．解：(I)因为 所以 所以，
故直线的直角坐标方程为 ……………2分
由，得
又 所以，所以
故的直角坐标方程为 ……………4分
(Ⅱ)设的两个参数分别为所以 所以，
所以 所以 ……………6分
由，得
因为，所以或 ……………8分
当时， 解得，
当时， 解得，
综上或. ……………10分

23．解：(I)设 ……………1分
由，得
故
…………………3分
所以
当时，，得，
当时，，得.
当时，，得.
综上. ……………5分
(Ⅱ)

……………10分
另解：由柯西不等式可得

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