四川省资阳中学高一自主招生试题.doc

数学试题（2016）
本试题卷分第Ⅰ卷（单项选择题）和第Ⅱ卷（非单项选择题），共4页。考生作答时，须将答案写在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。全卷满分120分，考试时间100分钟。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
Ⅰ卷 选择题部分
一、选择题：（每小题只有一个正确答案，共10小题，每小题4分，共40分）
1.某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095用科学计数法表示为（ A ）
A.9.5×10－7 B. 9.5×10－8 C.0.95×10－7 D. 95×10－8
2、一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数、众数、方差分别是(A)
A．3，3，0.4 B．2，3，2 C．3，2，0.4 D．3，3，2
3．若长为的线段能构成一个三角形，则的取值范围是（ B ）
A. B. C. D.
4. 为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增。计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%。为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：），绘制了统计图，如图所示，下面有四个推断：其中正确的是（　B　）
① 年用水量不超过180的该市居民家庭按第一档水价交费
② 年用水量超过240的该市居民家庭按第三档水价交费
③ 该市居民家庭年用水量的中位数在150-180之间
④ 该市居民家庭年用水量的平均数不超过180
A、①③ B、 ①④ C、②③ D、②④
5．如图，I是∆ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI，BD，DC下列说法中错误的一项是(D)
A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合
B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合
C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合
D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合
6.如图，已知菱形OABC的顶点是O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转450，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（ B ）
A.（1，-1） B.（-1，-1） C.（，0） D.（0，-）
7、如图：A、B、C是反比例函数图像上三点，作直线，使点A、B、C到直线的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线共有（　　D　）
A、1条　B、2条C、3条D、4条
8、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落在点C’处，作∠BPC’的角平分线交AB于点E，设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是 （ D ）

9. 已知抛物线y=﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA（　A　）
A．始终相似　 B．始终不相似
C．只有AB=AD时相似　 D．无法确定
10、在一次球类比赛中有八个队参赛，每两个队要进行一场比赛，胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分，若一个队要进入前四名（即积分至少要超过其他四个队），则该队的积分最少是（　C）分
A、9分B、10分C、11分D、12分
Ⅱ卷 非选择题部分
二、填空题：（本题5小题，每小题4分，共20分）
11、因式分解：a4+7a2-8=　　　　　　．(a+1)( a-1)(a2+8)

12. 对于X，Y定义一种新运算“*”：X*Y=aX+bY，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若成立，那么2*3=　　1　　　　．
13、如图，摩天轮⊙P的最高处A到地面l的距离是62米，最低处B到地面l的距离是2米．若游客从B处乘摩天轮绕一周需15分钟，则游客从B处乘摩天轮到地面l的距离是47米时至少需 5 分钟．

14．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为　24+9　．

15、 在如图所示的网格中，从顶点A到顶点B的所有不同的走法中；其中走从点A至点C再至点B线路的概率是

三、解答题：（本题共7小题，共60分）
16.先化简，再求值
，其中x的值从不等式组的整数解中选取。（7分）
解：原式=
==
解得-1≤x≤，∴不等式组的整数解为-1，0，1，2.
若分式有意义，只能取x=2，∴原式=-=－2
．
17．(8分）某国发生强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0，9，tan25°≈0.5，≈1.7）

解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x米．
在Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，
所以AD==2x．
Rt△BDC中，∠DBC=60°，
由tan 60°==，
解得：x≈3．
即生命迹象所在位置C的深度约为3米．

18．(8分) 某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：

原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
270
500元
餐椅
a﹣110
70
已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（2）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？
解：（1）由题意得=，
解得a=150，
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．
由题意得：x+5x+20≤200，
解得：x≤30．∵a=150，
∴餐桌的进价为150元/张，餐椅的进价为40元/张．
W=x•(500-310)+x•(270-150)+(5x+20-x•4)(70-40)=245x+600，
∵k=245＞0，∴W随x的增大而增大，
∴当x=30时，W取最大值，最大值为7950．
故购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元．
（3）涨价后每张餐桌的进价为160元，每张餐椅的进价为50元，
设本次成套销售量为m套．
依题意得：m(500-360)+（30-m）×(270-160)+(170-4m)×(70﹣50)=7950﹣2250，
即6700﹣50m=5700，解得：m=20．
答：本次成套的销售量为20套．
19．(8分)如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．
（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．

解：（1）四边形EBGD是菱形．
理由：∵EG垂直平分BD，∴EB=ED，GB=GD，∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EBD=∠DBC，∴∠EDF=∠GBF，
在△EFD和△GFB中，
，∴△EFD≌△GFB，∴ED=BG，∴BE=ED=DG=GB，
∴四边形EBGD是菱形．
（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，
在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2，
∴EM=BE=，
∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，
∴EM∥DN，EM=DN=，MN=DE=2，
在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，
∴∠NDC=∠NCD=45°，
∴DN=NC=，∴MC=3，
在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=．MC=3，
∴EC===10．
∵HG+HC=EH+HC=EC，∴HG+HC的最小值为10．

20.(8分) (1)类比探究：根据完全平方公式可知
，故当时，（ ）2，
从而可得
（2）归纳猜想：若，则 ，由此可知当 时，有最小值 ；
（3）学以致用：某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，为长方形薄板，沿AC折叠后，交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能．
①已知AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
②若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？

解.（1）， （2），，
（3）①由题意，，．因，故．
设，则．因△≌△，故．
由 ，得 ，．

（说明：不写定义域扣1分）
②记△的面积为，则，
当且仅当时，S1取得最大值．
故当薄板长为米，宽为米时，节能效果最好．

21.(10分) 如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连结CD，求证：AC=BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

解：（1）∵，∴∠ACB=∠ADB=45°，
∵∠ABD=45°，∴∠BAD=90°，
∴BD是△ABD外接圆的直径；
（2）在CD的延长线上截取DE=BC，连接EA，
∵∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，
∵∠ADE+∠ADC=180°，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
，∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∵，∴∠ACD=∠ABD=45°，∴△CAE是等腰直角三角形，
∴AC=CE，∴AC=CD+DE=CD+BC；
（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，连接BF，
由对称性可知：∠AMB=ACB=45°，
∴∠FMA=45°，∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AM=AF，MF=AM，
∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB，∴∠FAB=∠MAD，
在△ABF与△ADM中，
，∴△ABF≌△ADM（SAS），
∴BF=DM，
在Rt△BMF中，∵BM2+MF2=BF2，∴BM2+2AM2=DM2．

22. (11分)已知二次函数
(1)当时，求这个二次函数的顶点坐标；
(2)求证：关于的一元次方程有两个不相等的实数根；
(3)如图，该二次函数与轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP交BC于点Q，求证：

解(1)将代入二次函数得，顶点坐标为
(2)∵
∴方程有两个不相等的实数根
(3)方法一：
点P的坐标为(0,1)，A，B,C
求出AB=1，OA=，

从而求出点Q坐标为
运用距离公式求出
代入可得证
方法二：
从角的关系发现△ABQ中∠AQB=90°，从而得△APO∽△ABQ
(AB=1, OA=,)
从而求出
代入可得。

数学试题（2016）答题卷
原学校 姓名 考号
///////////////////////////////////////////////////////// 密 封 线 内 不 要 答 题 /////////////////////////////////////////////////////////////////////

一、选择题：（每小题只有一个正确答案，共10小题，每小题4分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项

二、填空题：（本题5小题，每小题4分，共20分）

11. 12. 13.
14. 15.
三、解答题：（本题共7小题，共60分）
16.

17.

18.

19.

20.

21.

///////////////////////////////////////////////////////// 密 封 线 内 不 要 答 题 ////////////////////////////////////////////////////////////// ///////
22.