高二二次函数经典练习题.doc

二次函数
若，且，，求的值．
变式1：若二次函数的图像的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为(0,11)，则
A． B．
C． D．
变式2：若的图像x=1对称，则c=_______．
变式3：若二次函数的图像与x轴有两个不同的交点、，且，试问该二次函数的图像由的图像向上平移几个单位得到？

2．
将函数配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．
变式1：已知二次函数，如果(其中)，则
A． B． C． D．
x
y
O
变式2：函数对任意的x均有，那么、、的大小关系是
A． B．
C． D．
变式3：已知函数的图像如右图所示，
请至少写出三个与系数a、b、c有关的正确命题_________．
3．单调性
已知函数，．
(1)求，的单调区间；(2) 求，的最小值．
变式1：已知函数在区间内单调递减，则a的取值范围是
A． B． C． D．
变式2：已知函数在区间(,1)上为增函数，那么的取值范围是_________．
变式3：已知函数在上是单调函数，求实数的取值范围．

4．最值
已知函数，．
(1)求，的单调区间；(2) 求，的最小值．
变式1：已知函数在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是
A． B． C． D．
变式2：若函数的最大值为M，最小值为m，则M + m的值等于________．
变式3：已知函数在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．

5．（人教A版第43页A组第6题）奇偶性
已知函数是定义在R上的奇函数，当≥0时，．画出函数的图像，并求出函数的解析式．
变式1：若函数是偶函数，则在区间上是
A．增函数 B．减函数 C．常数 D．可能是增函数，也可能是常数
变式2：若函数是偶函数，则点的坐标是________．
变式3：设为实数，函数，．
(I)讨论的奇偶性；(II)求的最小值．

6．（北师大版第64页A组第9题）图像变换
已知．
(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值．
变式1：指出函数的单调区间．
变式2：已知函数．
给下列命题：①必是偶函数；
② 当时，的图像必关于直线x=1对称；
③ 若，则在区间[a，＋∞上是增函数；
④有最大值．
　　 其中正确的序号是________．③
变式3：设函数给出下列4个命题：
①当c=0时，是奇函数；
②当b=0，c>0时，方程只有一个实根；
③的图象关于点（0，c）对称；
④方程至多有两个实根．
上述命题中正确的序号为 ．
7．（北师大版第54页A组第6题）值域
求二次函数在下列定义域上的值域：
(1)定义域为；(2) 定义域为．
变式1：函数的值域是
A． B． C． D．
变式2：函数y=cos2x+sinx的值域是__________．
变式3：已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx（a、b 为常数，且 a ≠ 0），满足条件 f (1 + x) = f (1－x)，且方程 f (x) = x 有等根．
(1)求 f (x) 的解析式；
(2)是否存在实数 m、n（m < n），使 f (x) 的定义域和值域分别为 [m,n] 和 [3m,3n]，如果
存在，求出 m、n 的值，如果不存在，说明理由．

8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题
当具有什么关系时，二次函数的函数值恒大于零？恒小于零？
变式1：已知函数 f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) ．
(I)若函数 f (x) 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；
(II)若函数 f (x) 的值域为 R，求实数 a 的取值范围．

变式2：已知函数，若时，有恒成立，求的取值范围．

变式3：若f (x) = x 2 + bx + c，不论 a、b 为何实数，恒有 f (sin a )≥0，f (2 + cos b )≤0．
(I) 求证：b + c = －1；
(II) 求证： c≥3；
(III) 若函数 f (sin a ) 的最大值为 8，求 b、c 的值．

9．（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系
右图是二次函数的图像，它与x轴交于点和，试确定以及，的符号．

变式1：二次函数与一次函数在同一个直角坐标系的图像为

D．
C．
x
y
O
x
y
O
O
O
x
y
x
y
A．
B．

变式2：直线与抛物线
中至少有一条相交，则m的取值范围是．

变式3：对于函数 f (x)，若存在 x0 Î R，使 f (x0) = x0 成立，则称 x0 为 f (x) 的不动点．如果函数 f (x) = a x 2 + bx + 1（a > 0）有两个相异的不动点 x1、x2．
(I)若 x1 < 1 < x2，且 f (x) 的图象关于直线 x = m 对称，求证m > ；
(II)若 | x1 | < 2 且 | x1－x2 | = 2，求 b 的取值范围．

10．（北师大版第52页例3）应用
绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？
变式1：在抛物线与x轴所围成图形的内接矩形(一边在x轴上)中(如图)，求周长最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数．

变式2：某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元）

(I) 分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(II) 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？

变式3：设a为实数，记函数的最大值为g(a) ．
（Ⅰ）求g(a)；（Ⅱ）试求满足的所有实数a．

1．（人教A版第27页A组第6题）解析式、待定系数法
变式1： 解：由题意可知，解得，故选D．
变式2： 解：由题意可知，解得b=0，∴，解得c=2．
变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为，
展开得，
∴，
∴，即，解得．
所以，该二次函数的图像是由的图像向上平移 单位得到的，它的解析式是，即．
2．（北师大版第52页例2）图像特征
变式1： 解：根据题意可知，∴ ，故选D．
变式2： 解：∵，∴抛物线的对称轴是，
∴ 即，
∴，∴、、，
x
y
O
故有，选C．
变式3： 解：观察函数图像可得：
① a>0(开口方向)；② c=1(和y轴的交点)；
③ (和x轴的交点)；④()；
⑤ (判别式)；⑥ (对称轴)．
3．（人教A版第43页B组第1题）单调性
变式1： 解：函数图像是开口向上的抛物线，其对称轴是，
由已知函数在区间内单调递减可知区间应在直线的左侧，
∴，解得，故选D．
变式2：解：函数在区间(,1)上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴或与直线重合或位于直线的左侧，即应有，解得，
∴ ，即．
变式3：解：函数的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是，
∵ 已知函数在上是单调函数，∴ 区间应在直线的左侧或右侧，
x
y
O
即有或，解得或．
4．（人教A版第43页B组第1题）最值
变式1： 解：作出函数的图像，

开口向上，对称轴上x=1，顶点是(1，2)，和y轴的交点是(0，3)，
∴m的取值范围是，故选C．
变式2： 解：函数有意义，应有，解得，
∴ Þ Þ ，
∴ M=6，m=0，故M + m=6．
变式3： 解：函数的表达式可化为．
① 当，即时，有最小值，依题意应有，解得，这个值与相矛盾．
②当，即时，是最小值，依题意应有，解得，又∵，∴为所求．
③当，即时，是最小值，
依题意应有，解得，又∵，∴为所求．
综上所述，或．
5．（人教A版第43页A组第6题）奇偶性
变式1： 解：函数是偶函数 Þ Þ ，
当时，是常数；当时，，在区间上是增函数，故选D．
变式2：解：根据题意可知应有且，即且，∴点的坐标是．
变式3： 解：（I）当时，函数，此时，为偶函数；
当时，，，
，，此时既不是奇函数，也不是偶函数．
（II）（i）当时，，
若，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为．
若，则函数在上的最小值为，且．
（ii）当时，函数，
若，则函数在上的最小值为，且，
若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为．
综上，当时，函数的最小值为；
当时，函数的最小值为；
当时，函数的最小值为．
6．（北师大版第64页A组第9题）图像变换
变式1： 解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单调区间．
x
yx
O
当时，，
当时，．
作出函数图像，由图像可得单调区间．

在和上，函数是增函数；在和上，函数是减函数．
变式2： 解：若则，显然不是偶函数，所以①是不正确的；
若则，满足，但的图像不关于直线x=1对称，所以②是不正确的；
若，则，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是，∴在区间[a，＋∞上是增函数，即③是正确的；
显然函数没有最大值，所以④是不正确的．
变式3： 解：，
(1)当c=0时，，满足，是奇函数，所以①是正确的；
(2)当b=0，c>0时，，
方程即 或 ，
显然方程无解；方程的唯一解是 ，所以② 是正确的；
(3)设是函数图像上的任一点，应有，
而该点关于（0，c）对称的点是，代入检验即，也即，所以也是函数图像上的点，所以③是正确的；
(4)若，则，显然方程有三个根，所以④ 是不正确的．
7．（北师大版第54页A组第6题）值域
变式1： 解：作出函数的图象，容易发现在上是增函数，在上是减函数，求出，，，注意到函数定义不包含，所以函数值域是．
变式2：解：∵ y= cos2x+sinx=－2sin2x+sinx+1，令t= sinx Î [－1,1]，
则y=－2t2+t+1，其中tÎ [－1,1]，
∴y Î [－2, ]，即原函数的值域是[－2, ]．
变式3： 解：(I) ∵ f (1 + x) = f (1－x)，
∴ － = 1，
又方程 f (x) = x 有等根 Û a x 2 + (b－1) x = 0 有等根，
∴ △= (b－1) 2 = 0 Þ b = 1 Þ a = －，
∴ f (x) = －x 2 + x．
(II) ∵ f (x) 为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1，
1° 当 m≥1 时，f (x) 在 [m,n] 上是减函数，
∴ 3m = f (x)min = f (n) = －n 2 + n (*)，
3n = f (x)max = f (m) = －m 2 + m，
两式相减得：3 (m－n) = －(n 2－m 2) + (n－m)，
∵ 1≤m < n，上式除以 m－n 得：m + n = 8，
代入 (*) 化简得：n 2－8n + 48 = 0 无实数解．
2° 当 n≤1 时，f (x) 在 [m,n] 上是增函数，
∴ 3m = f (x)min = f (m) = －m 2 + m，
3n = f (x)max = f (n) = －n 2 + n，
∴ m = －4，n = 0．
3° 当 m≤1≤n 时，对称轴 x = 1 Î [m,n]，
∴ 3n = f (x)max = f (1) = Þ n = 与 n≥1 矛盾．
综合上述知，存在 m = －4、n = 0 满足条件．
8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题
变式1： 解：(I) 函数 f (x) 的定义域为 R，即不等式a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集为 R，
∴应有 Þ a > 1，
∴ 实数 a 的取值范围是(1,+¥) ．
(II) 函数 f (x) 的值域为 R，即a x 2 + 2x + 1 能够取 (0,+¥) 的所有值．
1° 当 a = 0 时，a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1满足要求；
2° 当 a ≠ 0 时，应有 Þ 0 < a≤1．
∴ 实数 a 的取值范围是[0,1] ．
变式2： 解法一：(转化为最值)
在上恒成立，即在上恒成立．
⑴， ；
⑵，．
综上所述．
解法二：（运用根的分布）
⑴当，即时，应有， 即，不存在；
⑵当，即时，应有，
即，；
⑶当，即时，应有，即 ，
综上所述．
变式3： 证明：(I) 依题意，f (sin ) = f (1)≥0，f (2 + cos p) = f (1)≤0，
∴ f (1) = 0 Þ 1 + b + c = 0 Þ b + c = －1，
(II) 由 (I) 得： f (x) = x 2－(c + 1) x + c (*)
∵ f (2 + cos b )≤0 Þ (2 + cos b ) 2－(c + 1) (2 + cos b ) + c≤0
Þ (1 + cos b ) [c－(2 + cos b )]≥0，对任意 b 成立．
∵ 1 + cos b ≥0 Þ c≥2 + cos b ，
∴ c≥(2 + cos b )max = 3．
(III) 由 (*) 得：f (sin a ) = sin 2a－(c + 1) sin a + c，
设 t = sin a ，则g(t) = f (sin a ) = t 2－(c + 1) t + c，－1≤t≤1，
这是一开口向上的抛物线，对称轴为 t = ，
由 (II) 知：t≥= 2，
∴ g(t) 在 [－1,1] 上为减函数．
∴ g(t)max = g(－1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8，
∴ c = 3
∴ b = －c－1 = －4．

9．（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系
变式1： 解：二次函数与一次函数图象交于两点、，由二次函
数图象知同号，而由中一次函数图象知异号，互相矛盾，故舍去．
又由知，当时，，此时与中图形不符，当时，，与中图形相符．
变式2： 解：原命题可变为：求方程，，
中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的的值，即得所求．
解不等式组得 ，
故符合条件的取值范围是或．
变式3： 解：(I) 由 f (x) 表达式得 m = －，
∵ g(x) = f (x)－x = a x 2 + (b－1) x + 1，a > 0，
由 x1，x2 是方程 f (x) = x的两相异根，且 x1 < 1 < x2，
∴ g(1) < 0 Þ a + b < 0 Þ －> 1 Þ －> ，即 m > ．
(II) △= (b－1) 2－4a > 0 Þ (b－1) 2 > 4a，
x1 + x2 = ，x1x2 = ，
∴ | x1－x2 | 2 = (x1 + x2) 2－4x1x2 = () 2－= 2 2，
∴ (b－1) 2 = 4a + 4a 2 (*)
又 | x1－x2 | = 2，
∴ x1、x2 到 g(x) 对称轴 x = 的距离都为1，
要 g(x) = 0 有一根属于 (－2,2)，
则 g(x) 对称轴 x = Î (－3,3)，
∴ －3 < < 3 Þ a > | b－1 |，
把代入 (*) 得：(b－1) 2 > | b－1 | + (b－1) 2，
解得：b < 或 b > ，
∴ b 的取值范围是：(－¥, )∪( ,+¥)．
10．（北师大版第52页例3）应用
变式1： 解：设矩形ABCD在x轴上的边是BC，BC的长是x(0<x<a)，
则B点的坐标为，A点的坐标为．
设矩形ABCD的周长为P，
则P=2(0<x<a)．
① 若a>2，则当x=2时，矩形的周长P有最大值，这时矩形两边的长分别为2和，两边之比为8:；
②若0 <a≤2，此时函数P=无最大值，也就是说周长最大的内接矩形不存在．
综上所述，当a>2时，周长最大的内接矩形两边之比为8:；当0 <a≤2时，周长最大的内接矩形不存在．
变式2： 解：(I) 依题意设 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式分别为
f (x) = kx，g(x) = m，
由 f (1) = k = 0.25， g(4) = 2m = 2.5 Þ m = ，
∴ f (x) = x（x≥0），g(x) = ．
(II) 设企业在 B 产品投资 x 万元，则在 A 产品投资 10－x 万元，
∴ 企业的利润 y = (10－x) + = [－(－) 2 + ]（0≤x≤10），
∴ = ，即 x = 6.25 万元时，企业获得最大利润 ≈4 万元．
答：在 A 产品投资 3.75 万元，在 B 产品投资 6.25 万元，企业获得最大利润约 4 万元．
变式3： 解：设，要使有意义，必须且，即，
∵，且……①
∴的取值范围是．
由①得：，
不妨设，．
（I）由题意知即为函数，的最大值，
当时，，，有=2；
当时，此时直线是抛物线的对称轴，
∴可分以下几种情况进行讨论：
（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，
由知在上单调递增，故；
（2）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，
若即时，，
若即时，，
若即时，．
综上所述，有=．
（II）若a>0，则>0，此时g(a)=g( ) Û a+2= +2 Û a = Þa =1(舍去a=－1)；
若－<a<0，则<－2，此时g(a)=g( ) Û a+2=Þ a=－2+<－(舍去)；
若－<a≤－，则－2≤<－，
此时g(a)=g( ) Û －a－= Þ a=－ (舍去)；
若－≤a≤－，则－≤≤－，
此时g(a)=g( ) Û =恒成立；
若－2≤a<－，则－<≤－，
此时g(a)=g( ) Û =－a－Þ a=－ (舍去)；
若a<－2，则－<<0，
此时g(a)=g( ) Û = a+2Þ a=－2+>－2 (舍去) ．
综上所述，满足的所有实数a为：或．

18