湖南省湘潭市湘潭县一中2018-2019年高二(.doc

湖南省湘潭市湘潭县一中2018-2019年高二（下）开学数学试卷（2月份）-解析版

2018-2019学年湖南省湘潭市湘潭县一中高二（下）开学数学试卷（2月份）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 在△ABC中，AC=2，BC=22，∠ACB=135°，过C作CD⊥AB交AB于D，则CD=（　　）
A. 255 B. 2 C. 3 D. 5
2. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=5，c=2，cosA=23，则b=（　　）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
3. 锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2asinC=3c，a=1，则△ABC周长的最大值为（　　）
A. 3+1 B. 2+1 C. 3 D. 4
4. 在△ABC中，A=60°，B=45°，b=2，则a等于（　　）
A. 2 B. 3 C. 3 D. 6
5. 已知数列{an}和{bn}首项均为1，且an-1≥an（n≥2），an+1≥an，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2SnSn+1+anbn+1=0，则S2019=（　　）
A. 2019 B. 12019 C. 4037 D. 14037
6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（　　）
A. 17(87−8)人 B. 17(89−8)人 C. 8+17(87−8)人 D. 8+17(89−84)人
7. 等比数列{an}中，a1=98，q=23，an=13，则n=（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 已知等差数列{an}的前n项和Sn，若a2+a3=8，S5=25，则该数列的公差为（　　）
A. −2 B. 2 C. −3 D. 3
9. 若实数x，y满足x−2y+2≤03x−y−3≥0，则x+y（　　）
A. 有最小值无最大值 B. 有最大值无最小值
C. 有最小值也有最大值 D. 无最小值也无最大值
10. 已知x，y满足不等式组x−y+2≥02x+y−2≤0y≥0，则目标函数z=x+3y的最大值为（　　）
A. −2 B. 1 C. 6 D. 8
11. 不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则不等式a（x2+1）+b（x-1）+c＞2ax的解集为（　　）
A. {x|0<x<3} B. {x|x<0或x>3} C. {x|−2<x<1} D. {x|x<−2或x>1}
12. 设x，y满足约束条件x+2y≥0x−y≤0y−4≤0，则z=x+y的最大值是（　　）
A. −4 B. 0 C. 8 D. 12
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2+a9+a19=6，则S19=______
14. 等差数列{an}的公差d≠0，a3是a2，a5的等比中项，已知数列a2，a4，ak1，ak2，……，akn，……为等比数列，数列{kn}的前n项和记为Tn，则2Tn+9=______
15. 在△ABC中，tanA=-3，△ABC的面积S△ABC=1，P0为线段BC上一定点，且满足CP0=13BC，若P为线段BC上任意一点，且恒有PA⋅PC≥P0A⋅P0C，则线段BC的长为______
16. 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，且4c＞9a，若不等式f（x）＞0恒成立，则f(1)f(0)−f(−1)的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c•cosC+c=a•cosB+b•cosA．
（1）求角C；
（2）若点P在边AB上，且BP=2，sin∠PCA=13，求CP+CB的最大值．

18. 如图，在△ABC中，AB=2，AC=4，线段BC的垂直平分线交线段AC于点D，且DA-DB=1．
（1）求cosA的值；
（2）求△BCD的面积S．

19. 已知数列{an}满足a1=32，an+1=2an-2n+3n+1−1n+2（n∈N*）．
（1）若bn=an-1n(n+1)，证明：{bn}为等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．

20. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，且4S1，3S2，2S3成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=n•an，设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．

21. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a-0.8x%）万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.4x%．
（I）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（Ⅱ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创遣的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

22. 已知函数f(x)=lg(2−x2+x)．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域，判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）是否存在这样的实数k，使f（k-x2）+f（2k-x4）≥0对一切x∈[−2，2]恒成立，若存在，试求出k的取值集合；若不存在，请说明理由．

答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：因为AC=2，，∠ACB=135°
由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AB•BCcos∠ACB=4+8+2×2×2×=20，
即AB=2，
∴S△ABC=AC•BC•sin∠ACB=AB•CD，
即×2×2×=×2•CD，
即CD=，
故选：A．
先根据余弦定理求出AB=2，再根据三角形面积公式即可求出
本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题
2.【答案】D
【解析】
解：∵a=，c=2，cosA=，
∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2-8b-3=0，
∴解得：b=3或-（舍去）．
故选：D．
由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2-8b-3=0，从而解得b的值．
本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】
解：∵，
∴由正弦定理得，
∵0＜C＜π，
∴sinC≠0．
∴．
∵三角形ABC是锐角三角形，
∴．
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，
∴1=（b+c）2-3bc，
∴bc=．
∵b＞0，c＞0，
∴，
∴（b+c）2≥4bc．
∴bc=≤．
∴b+c≤2，当且仅当b=c=1时等号成立．
∴△ABC周长a+b+c的最大值为1+2=3．
故选：C．
由正弦定理，可求sinA，结合已知条件求出A的值，再利用余弦定理，基本不等式可求bc=≤，解得b+c≤2，即可得解△ABC的周长的最大值．
本题考查了正弦定理和余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】
解：∵△ABC中，A=60°，B=45°，b=2，
由正弦定理可得，，
则a===
故选：D．
由正弦定理可得，，代入即可求解．
本题主要考查了正弦定理求解三角形，属于基本公式的简单应用．
5.【答案】D
【解析】
解：∵an-1≥an（n≥2），an+1≥an，
∴an≥an+1≥an，
∴an=an+1，
另外：a1≥a2≥a1，可得a2=a1=1，
∴an=1．
∵2SnSn+1+anbn+1=0，
∴2SnSn+1+bn+1=0，∴2SnSn+1+Sn+1-Sn=0，
∴-=2．
∴数列{}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴=1+2（n-1）=2n-1，
∴Sn=．
∴S2019=．
故选：D．
an-1≥an（n≥2），an+1≥an，可得an≥an+1≥an，an=an+1，另外：a1≥a2≥a1，可得a2=a1=1，可得an=1．根据2SnSn+1+anbn+1=0，可得2SnSn+1+Sn+1-Sn=0，通过转化，利用等差数列的通项公式即可得出．
本题考查了数列递推关系、不等式的性质、等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】
解：根据题意，该问题中有8名将官，82名先锋，83名旗头，84名队长，85名甲头，86名士兵，
则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有8+82+83+84+85+86==（87-1），
故选：A．
根据题意，分析可得该问题中有8名将官，82名先锋，83名旗头，84名队长，85名甲头，86名士兵，结合等比数列的前n项和公式计算可得答案．
本题考查数列的应用，涉及数列的求和，注意建立数列的模型，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】
解：根据题意，等比数列{an}中，a1=，q=，an=，
则有an=a1×qn-1=（）×（）n-1=，
解可得：n=4；
故选：B．
根据题意，结合等比数列的通项公式可得an=a1×qn-1=（）×（）n-1=，解可得n的值，即可得答案．
本题考查等比数列的通项公式，关键是掌握等比数列的通项公式的形式，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】
解：∵等差数列{an}的前n项和Sn，设公差为d，若a2+a3=2a1+3d=8，S5=25=5a1+10d，
解得 d=2，
故选：B．
由条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式，求出该数列的公差．
本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】
解：如图即为实数x，y满足的可行域，
得A（，）．
由图易得：当x=，y=时，
x+y有最小值．没有最大值．
故选：A．
先由约束条件画出可行域，再求出最优解，利用目标函数的几何意义，推出结果．
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
10.【答案】C
【解析】
解：由x，y满足不等式组作出可行域如图，
化目标函数z=x+3y为y=-x+，
由图可知，当直线y=-x+过A（0，2）时，
直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6．
故选：C．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
11.【答案】A
【解析】
解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，所以-1和2是方程ax2+bx+c=0的两根且a＜0，
所以，
由a（x2+1）+b（x-1）+c＞2ax，得：ax2-（2a-b）x+a-b+c＞0，
设ax2-（2a-b）x+a-b+c=0的两根为x3，x4，则①，
②，联立①②得：x3=0，x4=3，
因为a＜0，所以ax2-（2a-b）x+a-b+c＞0的解集为{x|0＜x＜3}，
所以不等式a（x2+1）+b（x-1）+c＞2ax的解集为{x|0＜x＜3}．
故选：A．
根据题目给出的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到a＜0，且有，然后把要求解的不等式整理为二次不等式的一般形式，设出该不等式对应的二次方程的两根，借助于根与系数的关系求出两个根，再结合三个二次的关系可求得要求解的不等式的解集．
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了二次方程的根与系数关系，训练了借助于“三个二次”的关系求解一元二次不等式的方法，是基础题．
12.【答案】C
【解析】
解：先根据x，y满足约束条件
画出可行域，
然后平移直线0=x+y，
当直线z=x+y过点，解得A（4，4）时，
z最大值为8．
故选：C．
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+y过点A（4，4）时，z最大值即可．
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．
13.【答案】38
【解析】
解：∵a2+a9+a19=6，
∴a1+d+a10-d+a19=6，
∴a1+（a1+a19）+a19=6，
∴a1+a19=4，
∴S19==38，
故答案为：38
根据等差数列的性质和求和公式可求出a1+a19=4，再根据求和公式计算即可．
本题主要考查了等差数列的性质和求和公式，属于基础试题
14.【答案】3n+2+2n
【解析】
解：由a3是a2，a5的等比中项得a32=a2a5，
即（a1+2d）2=（a1+d）a1+4d），
又d≠0，∴a1=0，
又数列a2，a4，，，……，，…为等比数列，
可得该数列的公比为q===3，
所以=a2•3n+1=d•3n+1，
又=a1+（kn-1）d=（kn-1）d，
则kn=3n+1+1，
前n项和记为Tn=（9+27+…+3n+1）+n
=+n=，
可得2Tn+9=3n+2+2n．
故答案为：3n+2+2n．
由已知a3是a2与a5的等比中项，我们可构造一个关于数列基本量（首项与公差）的方程，解方程可以找到首项与公差的关系，又由数列a2，a4，，，……，，……为等比数列，则我们可以得到该数列的公比，进而给出该数列的通项公式，进一步给出数列{kn}的通项kn，由数列的分组求和和等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等比数列中项性质和等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
15.【答案】6
【解析】
解：如图，设AC中点为M，由极化恒等式可得：，．
∵且恒有，则PM≥P0M恒成立．
∴MP0⊥BC．
作AD⊥BC于D，则BD=DP0=P0C=a．
设AD=h，∴tan．
∵tanA=-3，△ABC的面积S△ABC=1，
∴tan（∠CAD+∠BAD）=，
∴⇒a=

故答案为；．
设AC中点为M，由极化恒等式可得：，．依题意可得PM≥P0M恒成立，MP0⊥BC．作AD⊥BC于D，设AD=h，tan⇒a=
本题考查了向量的极化恒等式的应用，及三角运算，属于难题．
16.【答案】（-∞，-116）∪（3，+∞）
【解析】
解：若不等式f（x）＞0恒成立，则，
又由4c＞9a，
∴设x=，y=，则，
则==1+，
令z=，则z表示区域内的点（x，y）与P（1，-2）连线的斜率，
因为A（-3，），所以kPA==-，
设直线PB：y=k（x-1）-2，联立得x2-4kx+4k+8=0，
△=16k2-16k-32=0⇒k=-1，k=2，
由图可知，z∈（-∞，-）∪（2，+∞），
故答案为（-∞，-）∪（3，+∞）．
若不等式f（x）＞0恒成立，则，设x=，y=，则，则==1+，令z=，则z表示区域内的点（x，y）与P（1，-2）连线的斜率，结合图象利用PA和PB的斜率可得．
本题考查了二次函数的性质与图象，属难题．
17.【答案】解：（1）∵2c•cosC+c=a•cosB+b•cosA，
由正弦定理可得，2sinCcosC+sinC=sinAcosB+sinBcosA，
即2sinCcosC+sinC=sin（A+B）=sinC，
∵sinC≠0，
∴cosC=0，
∵0＜C＜π，
∴C=12π，
（2）令CP=x，CB=y，∠BCP=θ，
∵sin∠PCA=13，C=12π，
∴cosθ=13，
△BCP中，由余弦定理可得，cosθ=x2+y2−42xy
∴13=(x+y)2−2xy−42xy，
整理可得，(x+y)2=4+8xy3≤4+83×(x+y2)2，
解不等式可得，0＜x+y≤23，
即CP+CB的最大值23．
【解析】

（1）由已知结合正弦定理，两角和的正弦公式可求cosC，进而可求C
（2）令CP=x，CB=y，∠BCP=θ，由，及（1）所求的C可求cosθ，然后在△BCP中，由余弦定理及基本不等式即可求解CP+CB的最大值．
本题主要考查了和角正弦公式及余弦定理，基本不等式在求解三角形中的应用，属于知识的简单综合．
18.【答案】（本题满分为12分）
解：（1）依题意得BD=DC，
因为AC=DA+DC=4，DA-DC=1，
所以DA=52，DC=DB=32，
在△ABD中，cosA=AD2+AB2−BD22AD⋅AB=45．……………………………………………（5分）
（2）由（1）知cosA=45，
所以sinA=35，
在△ABC中，BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA=365，
又由sinCAB=sinABC，即sinC=AB⋅sinABC=55，
所以S=12CD•CB•sinC=12×32×655×55=910．…………………………………（12分）
（注意：还可以用△ABC的面积减去△ABD的面积进行求解）．
【解析】

（1）依题意得BD=DC，可求，DC=DB=，利用余弦定理可求cosA的值；
（2）由同角三角函数基本关系式可求sinA，根据余弦定理，正弦定理，三角形面积公式即可求解．
本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
19.【答案】证明（1）数列{an}满足a1=32，an+1=2an-2n+3n+1−1n+2，
所以：bn+1=an+1−1(n+1)(n+2)，
=2an−2n+3n+1−1n+2−(1n+1−1n+2)，
=2an−2(1n−1n+1)，
=2(an−1n(n+1))，
则：bn+1bn=2（常数）．
故：数列{bn}为等比数列．
（2）由于数列{bn}为等比数列，
则：an−1n(n+1)=(32−12)⋅2n−1，
整理得：an=2n−1+1n(n+1)，
则：Sn=(1+21+22+…+2n−1)+（1−12+12−13+…+1n−1n+1），
=2n−1+1−1n+1，
=2n−1n+1．
【解析】

（1）直接利用等比数列的定义的应用和递推关系式的整理和应用求出结果．
（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的通项公式，最后利用分组法和裂项相消法求出数列的和．
本题考查的知识要点：等比数列的定义的应用，分组法和裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
20.【答案】解：（1）依题意得6S2=4S1+2S3，即6（a1+a2）=4a1+2（a1+a2+a3），
化简得2a2=a3，即q=a3a2=2，所以an=2n．
（2）由（1）知an=2n，则bn=n⋅2n，
所以Tn=1×2+2×22+3×23+…+(n−1)×2n−1+n×2n①2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n−1)×2n+n×2n+1②
①-②得−Tn=2+22+23+…+2n−n×2n+1，
所以−Tn=2(1−2n)1−2−n×2n+1，
整理得Tn=(n−1)×2n+1+2．
【解析】

（1）由已知得公比，进一步可得通项公式；
（2）由（1）得bn，然后用裂项求和得Tn．
本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力．
21.【答案】解：（Ⅰ）由题意得：10（1000-x）（1+0.4x%）≥10×1000，
即x2-750x≤0，又x＞0，所以0＜x≤750．
即最多调整750名员工从事第三产业，
（Ⅱ）从事第三产业的员工创造的年总利润为10（a-x125）x万元，
从事原来产业的员工的年总利润为10（1000-x）（1+1250x）万元，
则10（a-x125）x≤10（1000-x）（1+1250x），
即ax-x2125≤1000+4x-x-1250x2，
所以ax≤x2250+1000+3x，
即a≤x250+1000x+3，在x∈（0，750]恒成立，
因为x250+1000x≥24=4，
当且仅当x250=1000x，即x=500时等号成立．
所以a≤7，又a＞0，所以0＜a≤7，
故a的取值范围为（0，7]．
【解析】

（Ⅰ）根据题意可列出10（1000-x）（1+0.4x%）≥10×1000，进而解不等式求得x的范围，确定问题的答案．
（Ⅱ）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得a的取值范围
本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．
22.【答案】解：（Ⅰ）由2−x2+x＞0 得-2＜x＜2，
所以f（x）的定义域为（-2，2）；
∵f（-x）=lg2+x2−x=-lg2−x2+x=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（Ⅱ）假设存在满足题意的实数k，则
令t=2−x2+x=4−(2+x)2+x=42+x-1，x∈（-2，2），
则t在（-2，2）上单调递减，又y=lgt在（0，+∞）上单调递增，
于是函数f（x）在（-2，2）上单调递减，
∴已知不等式f（k-x2）+f（2k-x4）≥0⇔f（k-x2）≥-f（2k-x4）
⇔f（k-x2）≥f（x4-2k）⇔-2＜k-x2≤x4-2k＜2，
由题意知-2＜k-x2≤x4-2k＜2对一切x∈[-2，2]恒成立，
得不等式组k＞x2−2k＞12x4−1k≤13(x4+x2)对一切x∈[-2，2]恒成立，
∴k＞0k＞1k≤0，即k∈∅．
故不存在满足题意的实数k．
【解析】

（Ⅰ）真数大于0解不等式可得定义域；奇偶性定义判断奇偶性；
（Ⅱ）假设存在实数k后，利用奇偶性和单调性去掉函数符号后变成具体不等数组，然后转化为最值即可得．
本题考查了函数的定义域、奇偶性、单调性、函数的恒成立．属难题．

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